Еще про нормальные и характеристические подгруппы
Простейший пример нормальной подгруппы, не являющейся характеристической, дает группа Клейна — Z_2 (+) Z_2. Все три ее собственных подгруппы переводятся друг в друга внешними автоморфизмами.

Всем известно, что свойство нормальности подгруппы нетранзитивно, т.е. если K нормальна в H, а H нормальна в G, то K вовсе не обязательно нормальна в G. Например, Z_2 нормальна в Z_2 (+) Z_2, которая нормальна в S_4, но Z_2 в S_4 уже не будет нормальной. Почему так происходит? По определению, «ненормальная» подгруппа имеет сопряженные. А откуда может взяться сопряженная подгруппа для K, если H нормальна в G? Единственный возможный вариант — сопряженные с K подгруппы могут находиться внутри H, причем изначально они не являются сопряженными, а становятся таковыми лишь только при расширении H до G, т.е. внешний автоморфизм, переводящий эти подгруппы друг в друга, после расширения становится внутренним.

Соответственно, если K характеристична в H, а H нормальна в G, то K останется нормальной и в G: при таких условиях сопряженным подгруппам просто неоткуда будет взяться. Ну, и сразу же следствие: если H характеристична в G, то H нормальна в Hol(G). Привет.