4-лемма и полудекартовы квадраты
Сначала общее (и чуть в сторону).

---------------------

В категории модулей над ассоциативным унитальным кольцом существует очевидная эквивалентность между категорией квадратов и категорией диаграмм, состоящих из короткой последовательности, снабжённой разложением среднего члена в прямую сумму, то есть бипроизведение.

(<<Короткая последовательность>> --- это просто пара компонуемых морфизмов.)

Типа квадрату A \to B, B \to D, A \to C, C \to D соответствует последовательность A \to B \oplus C \to D (плюс 4 стрелки из B \oplus C в и из B и С).

Квадрат антикоммутативен тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность является комплексом.
Антикоммутативный квадрат декартов/кодекартов тогда и только тогда, когда соответствующий комплекс точен слева/справа соответственно.

Категория коммутативных квадратов, в свою очередь, изоморфна категории антикоммутативных, например, с помощью любого из изоморфизмов замены нечётного числа стрелок квадрата на аддитивно обратные.

При тривиальном разложении в прямую сумму условие коммутативности соответствующего квадрата совпадает с условием антикоммутативности, а наблюдение --- с определением ядра/коядра.

Если соответствующий коммутативному/антикоммутативному квадрату короткий комплекс точен в среднем члене, то квадрат называется полудекартовым. Квадрат, который и декартов, и кодекартов, называется бидекартовым.

---------------------

Конец копипасты, теперь, собственно, к теме.

Есть такая лемма --- 4-лемма, из гом. алгебры.

Пусть у нас есть морфизм из точной последовательности A \to B \to C \to D в точную последовательность A' \to B' \to C' \to D'. Пусть соответствующая компонента A \to A' сюръективна, а компонента D \to D' --- инъективна. Тогда индуцированное отображение из ядра B \to B' в ядро C \to C' сюръективно, а отображение из коядра B \to B' в коядро C \to C' инъективно.

Докажем.

Сначала переформулируем. Мы можем заменить A на образ A в B, A' на образ A' в B', D на образ C в D, D' на образ C' в D'. Тогда лемма переформулируется следующим образом.

Пусть A \to B, B \to D, A \to C, C \to D --- коммутативный квадрат. Скажем, морфизм A \to B нарисован горизонтально, A \to C --- вертикально. Если индуцированное отображение между ядрами горизонтальных морфизмов сюръективно, а между коядрами горизонтальных морфизмов --- инъективно, то индуцированные отображения между ядрами/коядрами вертикальных морфизмов тоже сюръективны/инъективны соответственно.

Переведём на язык короткого комплекса A \to B \oplus C \to D.
Условие сюръективности отображения между ядрами переводится так: циклы вида (0,c) (в B \oplus C) являются границами.
Условие инъективности отображения между коядрами переводится так: для любого цикла (b,c) существует граница вида (b,c').
Эти условия очевидным образом эквивалентны полудекартовости квадрата (точности комплекса в B \oplus C), а это условие, очевидно, симметрично относительно отражения квадрата вдоль диагонали AD.

Надеюсь, что ничего не напутал.

---

PDF: https://files.catbox.moe/nftklr.pdf (upd. 2023-02-15 15.28 MSK)