[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| March 10th, 2005 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 07:14 pm [Link] |     Коллеги, Существует задача рассчета распределения электрического поля в плоскости, в которой расположены эллиптические проводящие структуры (частный случай - сферы). Предполагается, что распределение структур обладает определенной симметрией. Например, несколько таких эллипсоидов формируют "звезду" с числом лучей от 2 до, скажем, 5и. Оси вращения эллипсоидов компланарны и пересекаются в одной точке, таким образом, образовавшаяся фигура принадлежит группе симметрии Dnh, где n соответствует числу лучей. Для сфер такая задача решается аналитически. Для эллипсоидов приходится численно интегрировать, и при больших эксцентриситетах программам не хватает компутерной памяти. С курса ТФКП я краем мозга (бо видел последний раз этот курс во всей красе 16 лет назад) помню, что для подобных ситуаций в гидродинамике используются конформные отображения. Там решается задача для элементарного случая, а затем граничные условия преобразуются к реальным путем конформных отображений. При этом линии тока в пространстве преобразуются в решения требуемой задачи. ВОПРОС: существует ли подобные методы в электродинамике? (это неочевидно, поскольку уравнения тока гидродинамики не совсем такие, как в электростатике). Интересует только распределение поля в плоскости фигуры. UPD: К сожалению, расстояния между ближайшими точками эллипсоидов соразмеримо с их малыми радиусами, так что дипольное приближение увы, не приветствуется. Буду благодарен за краткое пояснение и ссылку на статьи. Danke. Current Music: Masaki Batoh - Collected Works 1996-1996 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Comments | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Можешь изобразить графически свою систему? Со слов не очень понял, но на слух очень похоже на то, что я делаю сейчас численно. (Reply to this) (Thread)
Ну, представь себе плоскую симметричную "ромашку". В центре пусто, "лепестки" - это вытянутые эллипсоиды. Ну, или скажем, самолетный пропеллер. (Reply to this) (Parent) Есть ли у тебя Джексон? Этот учебник меня раздражал уклоном в электоростатику. Кажется там описаны все возможные способы решения подобных задач. Если я не ошибаюсь там всё сводилось к разложению в ряд на сферические (3dim) или цилиндрические (2dim case) функции.
У меня от упоминания учебника Джексона до сих пор глазик дергается. Получил А- в свое время и был счастлив что это говно (в котором идей примерно на 1/3 Сивухина максимум) закончилось. То есть, если приспичит, то, конечно там есть ответы на все вопросы, как в Библии, но хочется красиво и без еботни. Я к тому же так понимаю, что те программы, которые сыпятся из-за недостатка памяти, используют boundary charge method, который, кстати, не самый лобовой из. С разложением в ряд плохо в том слысле, что в простых циллиндрических координатах заебешься писать граничные условия, а если выбрать систему координат с хорошими граничными условиями, там заебешься искать собственные функции. Одним словом, это "fire exit", до которого, надеюсь, дело не дойдет. (Reply to this) (Parent)
Похоже, что из Вашей формулировки задачи неясно, откуда берется поле между элипсоидами - например, может быть дано, что элипсоиды имеют заданое значение потенциала - либо одно и то же для всех элипсоидов, либо разное. Если известен потенциал элипсоидов, то нельзя ли использовать метод отражений применяемый в электростатике? Т.е. найти (угадать) распределение фиктивных дискретных точечных зарядов внутри сфер/элипсоидов, которое бы обеспечило, что каждый элипсоид/сфера - эквипотенциальная поверхность с заданным значением потенциала. Очевидно, что для одной сферы радиуса R с заданным значением потенциала U, можно поместить фиктивный заряд q = U*R в ее центре. Очевидно, что поле этого заряда вне сферы и будет полем эквипотенциальной сферы с потенциалом U и радиусом R. Известен также такой факт: если есть проводящая сфера радиуса R и точечный заряд q1 на расстоянии R1 > R от центра сферы, то можно поместить точечный заряд q2 ("отражение", см Сивухина(?)) на определенном расстоянии R2 < R от центра сферы, так чтобы потенциал поля создаваемый зарядами q1 и q2 был бы равен нулю на всей поверхности сферы. В результате, вне сферы, поле этих двух зарядов совпадает с полем от заряда q1 и проводящей сферы. Можно ли найти распределение точечных зарядов внутри двух сфер с радиусами R1 и R2, так чтобы эти заряды давали бы требуемое значение потенциала на поверхности этих сфер? Имеет ли такой вид известное аналитическое решение для двух сфер? Если это можно сделать для 2х сфер, то можно ли обобщить для большего числа сфер? Можно ли обобщить "метод отражений" на элипсоиды? (Reply to this) (Thread)
Поле прикладывается внешнее, т.е. краевая задача ставится путем задания поля на бесконечности. Но требуется найти решение для произвольно ориентированного вектора внешнего поля. Метод отражений применить для эллипсоидов конечно можно, но думаю, что геометрия фиктивных зарядов будет не менее кривой, и мы ничего не выиграем. Собственно, поэтому заманчиво было найти соответствующее преобразование пространства, тогда удалось бы избежать проблем с триангуляцией и вообще не интегрировать. А методы решения "по-честному" известны, в общем-то.
Деда! А поле-то на бесконечности обычно равно нулю (sic!). Иначе как бы вело себя решение уравнения Лапласа типа С1*r + C2/r^2. Там, мне помнится, с1 требовалось нулю класть.
Это если оно создается тощещным зарядом. А не, скажем, бесконечно заряженной плоскостью. (Reply to this) (Parent)
В случае, если задано постоянное поле на бесконечности, если правильно припоминаю, фиктивным зарядом для одной проводяшей сферы должен быть один диполь в ее центре - так же как и в случае гидродинамики. Можно поискать среди этих ссылок: http://www.google.com/search?&q=%22method+of+images%22+%22uniform+fiel В случае более чем одной проводящей сферы или эллипсоидов, можно посмотреть вот эти ссылки: http://www.google.com/search?q=%22method+o http://www.google.com/search?q=%22method+o
А уравнение-то у тебя однородное? Или в правой части что-то есть? Кстати, поищи Морса-Фешбаха. Помнится мне, что там были явно выписаны виды операторов Лапласа и собственные функции для очень многих систем координат (для эллиптических--точно было). (Reply to this) (Thread)
Глеб, понимаешь, смысл вопроса состоял в том, чтобы не писать операторы лапласа вообще, а использовать преобразования координат и аналитическое решение для частного случая. Если такого метода не окажется, для вычисления подобных вещей существует известный boundary charge method. (Reply to this) (Parent)
Конформные отображения однозначно применяются в электродинамике и довольно успешно (сделай, например, поиск на "conformal mapping in physics") . В свое время я по этой теме писал на физтехе курсовую. Если не ошибаюсь, в "Электродинамике сплошных сред" Ландау было довольно доступно все расписано и приведено достаточно примеров для получения наглядного представления о том как все работает и как использовать метод для решения своих задач. Поможет ли это в твоем конкретном случае - сразу не очевидно, поскольку метод этот изначально разработан для 2D, и со сферами будет напряжно... (Reply to this) (Thread) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![[info]](http://lj.rossia.org/img/imported-profile.gif){kind=small}