Геометрические структуры на куммеровых поверхностях
Хорошо известен пример эллиптической К3, для которого можно всякие вещи легко посчитать: это кумметова поверхность произведения двух эллиптических кривых. Сами эти кривые отображаются в две рациональные кривые на куммере, но их сдвиги отображаются в честные эллиптические кривые, и отображения проекции задают два взаимно трансверсальных эллиптических пучка. К сожалению, эти пучки изотривиальны.

Но на куммеровой поверхности можно сделать и неизотривиальный эллиптический пучок! Для этого надо взять абелеву поверхность с гладкой кривой рода три. Барт заметил, что такая кривая есть всегда двулистное накрытие эллиптической кривой, и обратно. В частности, умножение на -1 на абелевой поверхности индуцирует на кривой рода три инволюцию, переставляющую листы этого накрытия, и в куммерову поверхность кривая рода три после подходящего сдвига отображается эллиптической кривой. Начиная деформировать кривую по поверхности так, чтобы она продолжала сохраняться инволюцией, мы получим семейство эллиптических кривых, пересекающихся в четырёх точках кручения, которые после раздутия становятся нетривиальным эллиптическим пучком (с двенадцатью особыми слоями типа I_2).

Аналогично, исчислением размерностей доказывается, что общая кривая рода четыре на абелевой поверхности есть двулистное накрытие кривой рода два, ветящееся в двух точках, а рода пять -- неразветвлённое накрытие кривой рода три. Соответственно, при подходящем сдвиге кривая рода четыре отображается в куммера как кривая рода два, деформирующаяся в двумерном семействе, то есть прообраз прямой на плоскости при двойном накрытии, ветвящемся в секстике, а рода пять -- как кривая рода три с трёхмерным семейством деформаций. Заметим, что для рода два также бывает тривиальный пример: это куммер якобиева многообразия кривой рода два, её сдвиги определяют изотривиальное двумерное семейство. Что такое изотривиальное семейство кривых рода три на куммеровой поверхности, я уже не понимаю.

Интересно, можно ли соорудить у этих семейств послойные якобианы. Так можно было бы опровергнуть гипотезу Мацушиты: если взять кривую рода три на абелевой поверхности, её всевозможные деформации, в том числе и сдвиги, спустятся в куммерову К3 как слои эллиптического пучка плюс некоторое семейство кривых рода три, изотривиальное по двум направлениям, но неизотривиальное по третьему, как бы коллинеарному направлению эллиптического пучка. Послойный якобиан был бы шестимерным многообразием с лагранжевым расслоением, изотривиальным всего по двум направлениям, и нетривиальным по третьему.