крест и радуга

Фантазия на тему Лебрюна и Брайанта-Саламона
На тотальном пространстве расслоения \Lambda^p T^*X существует универсальная (p+1)-форма, однозначно определяемая тем, что ограничение её на график p-формы \alpha при проекции на базу превращается в (p+1)-форму d\alpha. Для p=1, например, это стандартная гамильтонова 2-форма. Если выбрать локальную тривиализацию, она пишется очень похоже на \sum dp \wedge dq: именно, на векторном пространстве V \oplus \Lambda^p V^* всегда есть (p+1)-форма, пишущаяся как \alpha(v_0 + \eta_0, v_1 + \eta_1, \dots, v_p + \eta_p) = \eta_0(v_1, \dots, v_p) + (-1)^p\eta_1(v_2, \dots, v_p, v_0) + \dots + (-1)^p\eta_p(v_0, v_1, \dots, v_{p-1}); вот это ровно она и будет.

К сожалению, линейно-алгебраические свойства такой формы хороши только при p = 1, а при больших p её необходимо корректировать. Например, если p = 2, \dim V = 3, то, выбрав на V форму объёма, можно получить и форму объёма на \Lambda^2 V^*; прибавляя её к описанной 3-форме на V \oplus \Lambda^2 V^*, имеем мнимую часть (3,0)-формы относительно комплексной структуры, продолжающей отображение V \to \Lambda^2 V^*, заданное подстановкой вектора в форму объёма. Аналогичным образом при \dim V = 4 можно получить G_2-форму (только от \Lambda^2 V^* нужно будет взять только самодвойственное подпространство). И эти конструкции, в отличие от конструкции гамильтоновой 2-формы, требуют не только дополнительного линейно-алгебраического данного на базе (бог с ним!), но ещё и выбора отображения \Lambda^p V^* \to V \oplus \Lambda^p V^* -- то есть, связности. Соответственно, для замкнутости необходимо будет ещё некоторое условие на кривизну этой связности. Для построения G_2-многообразий, например, это янг-миллсовость. Соответственно, их конструкция работает только для CP^2 и S^4.

Как замечено у самих Брайанта и Саламона, применение конструкции Калаби к расслоению единичных векторов в их примерах даёт структуру твисторных расслоений над CP^2 и S^4. Оно и неудивительно. Для (почти) SL(3, C)-структуры на расслоении 2-форм над трёхмерным многообразием должны, по идее, получиться твисторы Лебрюна (и это соображение и должно содержаться в его невразумительнейшей конструкции в известной статье). Но как-то слишком уж много тут несостыковок: для КР-твисторов Лебрюна нужна не форма объёма, а напротив, конформная структура; совершенно непонятно, откуда берётся связность. Может и вздор я вовсе пишу, и нет тут ничего общего.

Кстати если ограничить твисторы S^4 на S^3, расположенную в ней экваториально, то на этом образовании сразу возникнет геодезической поток (2-форма ограничивается на трёхмерное подпространство с одномерным ядром, натянутом на образ нормали к этому трёхмерному подпространству относительно поворота комплексной структурой, этой 2-формою определённой). Его орбиты, в проекции на S^3, суть большие окружности, то есть фактор по этому геодезическому потоку хорошо определён и биголоморфен двумерной квадрике. Это можно воспринимать и в терминах G_2-геометрии. А именно, пятимерное пространство в G_2-пространстве имеет выделенный вектор: векторное произведение двух перпендикулярных к нему векторов (иначе говоря, нормаль к единственному содержащемуся в нём коассоциативном подпространстве). На факторе пятимерного подпространства по линейному пространству, натянутому на этот вектор, имеется, во-первых, комплексная структура, заданная векторным умножением на этот вектор, а во-вторых, параметризованное окружностью семейство комплексных структур, антикоммутирующих с первой -- заданных векторным умножением на вектора из подпространства, перпендикулярного к изначальному пятимерному. Соответственно, на пятимерном подмногообразии в G_2-многообразии возникает поток, похожий на гамильтонов -- но на 'пространстве его орбит', конечно, никакой комплексной структуры (или двумерного распределения в пространстве эндоморфизмов) нет, вообще говоря, и в помине. Однако для ограничения расслоения единичных 2-форм на экватор, как видно из сказанного выше, комплексная структура всё же имеется. А например что происходит в случае ограничения уже всего расслоения антисамодвойственных форм, но на подмногообразие в базе коразмерности два? Наверняка в данном случае наличие совместной комплексной структуры влечёт суперминимальность соответствующей поверхности в S^4, а результатом такой 'G_2-редукции' будет голоморфное кокасательное расслоение к ней как к кривой. Может, в этом случае даже S^1-семейство антикоммутирующих комплексных структур спускается, и даёт всевозможные сопутствующие (в терминологии Каледина) комплексные структуры на тотальном пространстве голоморфного кокасательного расслоения.

Current Mood: sleepy
Current Music: Валентина Толкунова -- Песенка без конца