Настроение:

calm

Векторное пространство без непрерывных функционалов
Придумал очень простой пример векторного пространства без непрерывных функционалов. Рассмотрим комплексный тор X, а на нём пространство мероморфных функций M(X) (с какой-нибудь разумной топологией, наверняка её можно выбрать локально выпуклой). Тор X действует на пространстве M(X) левыми сдвигами, это определяет отображение из тора в непрерывные эндоморфизмы M(X). Обозначим линейную оболочку его образа за L. Размерность L больше 1, поскольку действие тора нетривиально. Функционал f на L определяется своими значениями на образе тора. Но ограничение f на тор -- константа, значит, на L с точностью до пропорциональности ровно один функционал, и фактор L, например, по подпространству, натянутому на тождественный эндоморфизм, не допускает функционалов.