Пусть E \to X -- расслоение с плоской связностью D с ковариантно постоянным скалярным произведением. Если имеется евклидово расслоение F \to X с ортогональной, но не обязательно плоской связностью \nabla, то её можно реализовать при помощи отображения \alpha \colon F \to E, которое является изометрией на образ, как \nabla_us = \pi(D_u\alpha(s)), где \pi -- ортогональная проекция на образ \alpha, если ранг E достаточно велик. Не знаю, как доказывать это утверждение, и хотя бы верно ли оно; для случая, когда многообразие X компактно, F -- его касательное расслоение, а \nabla есть связность Леви-Чивиты, это утверждение следует из теоремы Нэша о вложении. Мы, однако, ищем не вложения в евклидово пространство, а лишь отображения расслоений; быть может, этот результат можно доказать совсем элементарно.

Для связностей в касательном расслоении, реализованных таким образом, тензор кручения очень просто описать. Именно, в таком разе \alpha можно воспринять как дифференциальную форму с коэффициентами в сечениях E, и плоская связность D позволяет распространить дифференциал де Рама на такие формы. Тогда кручение есть просто проекция \pi(d\alpha). Это, разумеется, следует из стандартного определения кручения как дифференциала от тождественного оператора, рассмотренного как 1-форма с коэффициентами в векторных полях. Но в таком виде это позволяет понять, что всё, что я написал (pdf, 204 kB), к сожалению, не может быть верно.

Вообще очень обидно, что придумываются только тавтологии.