К предыдущему
Саша Петров сразу придумал, как отвечать на вопрос из предыдущего поста. Именно, рассмотрим стрелку f^*K_{P^1} \to K_C. Дуализируя, имеем стрелку T_C \to f^*T_{P^1}, коядро которой, согласно формуле Гурвица, есть \oplus_{p \in R} \O_p \o T_{f(p)}P^1, где R -- дивизор ветвления. Теперь можем написать длинную точную последовательность групп когомологий: H^0(T_C) \to H^0(f^*T_{P^1}) \to H^0(\oplus_{p \in R} \O_p \o T_{f(p)}P^1) \to H^1(T_C) \to H^1(f^*T_{P^1}) \to H^1(\oplus \O_p) \to .... Первый член зануляется также согласно оценке Гурвица, последний -- в силу отсутствия когомологий выше нулевых у пучков-небоскрёбов. Более того, отображение H^0(T_{P^1}) \to H^0(f^*T_{P^1}) есть изоморфизм в силу теоремы Лиувилля о жесткости конформных автоморфизмов. Итак, последовательность сводится к следующей:

H^0(T_{P^1}) \to \Oplus_{p \in R} T_{f(p)}P^1 \to H^1(T_C) \to H^1(f^*T_{P^1}).

Связывающий гомоморфизм в этой точной последовательности и задаёт дифференциал вложения гиперэллиптического локуса (а касательное пространство к нему есть, конечно, фактор суммы касательных пространств в точках ветвления по действию глобальных векторных полей на сфере). Осталось понять, каким образом пространство H^1(f^*T_{P^1}) может быть отождествлено с касательными пространствами к локусам, вдоль которых мы хотим двигаться.