Вырожденная твисторная деформация
Закон Лоренца утверждает, что частица, движущаяся в магнитном поле, испытывает силу, равную векторному произведению её скорости на направление магнитного поля (с каким-то коэффициентом, зависящим от заряда). Соответствующее математическое понятие таково: если есть риманово многообразие X с замкнутой 2-формой \omega, то распределение ядер формы d\lambda + p^*\omega, где \lambda -- тавтологическая 1-форма на T^*X, а p : T^*X \to X -- проекция, в ограничение на расслоение единичных ковекторов UT^*X \subset T^*X называется магнитным геодезическим потоком, а проекции его интегральных кривых на базу -- магнитными геодезическими. Так вот, вырожденная твисторная деформация, как легко видеть -- это ровно то же самое. Более конкретно, если хочется сделать какое-то сечение s \in \Gamma(T^*X) голоморфного кокасательного расслоения голоморфным (и при этом разрешить, чтобы получившееся многообразие не было больше голоморфным кокасательным расслоением ни к чему), нужно просто вычесть из стандартной 2-формы 'магнитное поле' -- (2,0)+(1,1)-форму ds.

Вообще очень странная конструкция. Вот мы ограничиваем голоморфно симплектическую форму на T^*X на сечение -- график (1,0)-формы \alpha, который проекцией отождествляется с базой. Получаются две формы: (2,0)- и (1,1)-часть, \partial \alpha и \bar{\partial} \alpha. Но мы нигде не пользовались тем, что \alpha -- сечение расслоения; иногда график -- это просто график. Например, когда есть голоморфное лагранжево расслоение (на торы), для всякого его вещественного сечения получаются две такие формы. То есть можно дифференцировать сечение, не являющееся сечением векторного расслоения, и получать дифференциальные формы? Мы знаем, что на кэлеровых многообразиях голоморфные формы замкнуты -- то есть если (1,1)-часть дифференциала (1,0)-формы зануляется, то и (2,0)-часть тоже зануляется. Верно ли это для сечений голоморфно лагражевых расслоений? Для K3 ответ тавтологичен, и вообще кажется должно быть что-то очевидное, но сообразить не могу.

Ещё такой парадокс. При вырожденной твисторной деформации ни база, ни слои не меняют своей комплексной структуры. В частности, отображение периодов из (универсального накрытия) базы в пространство периодов для всех представителей вырожденной твисторной деформации -- это одно и то же голоморфное отображение из одного и того же комплексного многообразия. При этом геометрия при вырожденной твисторной деформации может существенно меняться: мы имеем возможность любое сечение сделать голоморфным (что задаёт условие на решётку Пикара). С другой стороны, 'очевидно, что' геометрия тотального пространства определяется тем, что мы оттягиваем универсальное семейство и как-то его компактифицируем. Ясно, где в таком рассуждении ошибка -- для пространства модулей абелевых многообразий нужно фиксировать нуль -- но в чём именно состоит сущность проблемы, мне до конца не ясно.