Время от времени я начинаю разъяснять, почему геометрия, в том виде, как она сейчас преподаётся в школе, малоосмысленна, и почему ситуацию с этим необходимо менять. Вот, например, несколько недавних дискуссий, есть и другие: 1, 2, 3.

Недавно я прочитал предисловие к книге Dieudonné 1964 года Algèbre linéaire et géométrie élémentaire и обнаружил, что в этом предисловии ясно и понятно изложены все те мысли, которые я уже давно пытаюсь разъяснять в различных дискуссиях. По этой причине я решил воспроизвести русский перевод этого предисловия ниже.

Что (не)удивительно, с 1964 года прошло уже 45 лет, а воз и ныне там — за это время ничего не изменилось. Из различных маразмов, описанных Dieudonné, единственное, чего мне удалось избежать — шары Данделена. Зато очень много времени было потрачено впустую на окружность девяти точек, построения циркулем и линейкой, решения задач на треугольники, разучивание псалтыря тригонометрических формул и прочие бессмыслицы. В свете параграфа про высоты треугольника и сопротивление материалов донельзя забавным представляется комментарий в одной из недавних дискуссий. Система аксиом, которой мы пользовались на геометрии, была неполной, по причине чего теоремы часто «доказывались» неявным использованием интуитивно очевидного утверждения. И это — в двух лучших математических школах Петербурга — 30-ой и 239-ой. Что творится в обычных школах, страшно даже подумать.

От себя могу добавить, что при первоначальном изучении геометрии, по-видимому, можно определить точку как пару рациональных чисел. После можно ввести операции векторного пространства, подробно изучить их геометрический смысл. Затем можно определить прямую параметрическим образом, научиться пересекать прямые (и доказать, что точка пересечения единственная), проводить прямую через две точки (с доказательством единственности), и так далее. Через некоторое время станет ясной необходимость введения вещественных чисел (а на алгебре будет параллельно доказана иррациональность квадратного корня из 2). Вещественные числа, по-видимому, проще всего ввести как сечения.

Что самое забавное, аргументация Dieudonné точно также применима к студенческой программе по математике. Вот список некоторых вещей, которые я или люди на курс младше меня в своё время должны были изучать или делать:

• Условно сходящиеся ряды и интегралы;
• Эпсилон-дельта формализм;
• Остаточный член формулы Тейлора в форме Шлёмильха-Роша;
• Интеграл Римана;
• Интеграл Стильтьеса;
• Вычислить производные от 50 функций;
• Вычислить интегралы от 50 функций;
• Формулы Грина, Гаусса и Стокса;
• Вихрь, градиент и дивергенция;
• Раскрытие неопределённостей;
• Криволинейные интегралы первого и второго типа;
• Тензор — это набор чисел, изменяющийся следующим образом при замене системы координат…;
• Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом разделяющихся переменных, методом подстановки и ещё десятком трюков (про это ещё Rota написал в своё время);
• Курс «аналитической геометрии» (при наличии курса линейной алгебры);
• Набор трюков для решения трёх уравнений с частными производными («математическая физика»);
• Вычисление интегралов путём вычетов.

Каждый может легко продолжать этот список до бесконечности. Было бы неплохо изъять из учебного плана принудительную галиматью вроде «математического анализа», «аналитической геометрии», «теории функций комплексного переменного», «дифференциальных уравнений», «теории вероятностей», «математической физики», «дискретной математики», «математической статистики», «численных методов» и им подобных и заменить их на такие: «общая топология», «линейная алгебра», «гладкие многообразия», «комплексная геометрия», «теория меры», «гармонический анализ», «микролокальный анализ», «алгебраический анализ и D-модули», «геометрический анализ» и так далее. С современным содержанием и в современном изложении. [Наличие в любом плане научно-технической специальности кучи принудительной гуманитарной ахинеи я и вовсе оставляю за скобками.] К сожалению, всё это абсолютно нереалистично в нынешних условиях… А жаль. Извините, что так резко — мне просто жаль кучи бессмысленно потраченного времени в студенческие годы. Просьба воспринимать всё это как призыв к конструктивной деятельности, а не деструктивной. [Впрочем, банальное изъятие из плана кучи гуманитарного мусора, отнимающего ценное время, можно, наверное, рассматривать как конструктивное действие.]

А теперь — собственно предисловие к книге Dieudonné. Ввиду ограничения на длину записи в LJR выкладываю его отдельно здесь.