|
Dmitri Pavlov - January 24th, 2009
[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
|
04:40 pm
[Link] |
Гипотеза о кобордизмах
Jacob Lurie недавно опубликовал статью с доказательством гипотезы о кобордизмах Баеза-Долана,
которая, грубо говоря, утверждает, что n-категория кобордизмов
является свободной n-категорией на одном объекте (в соответствующем смысле — подробности в статье).
У него же, если кто не знает, лежит замечательный обзор по топологическим модулярным формам.
Tags: математика
|
|
05:00 pm
[Link] |
Изложение математики
Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно
концептуализировать и упростить а ля Гротендик
изложение некоторых хорошо известных разделов математики.
Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке
коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр.
Частное: Lp-пространства должны формулироваться и излагаться
на языке модулярных алгебр Ямагами.
Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке
симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания
координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии,
позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры,
а также алгебр Клиффорда и Вейля.
Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке
вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов.
Возможно также использование языка пучков,
хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий.
Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии,
в частности должно даваться концептуальное изложение
дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек,
вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия
группы диффеоморфизмов суперточки.
Тоже самое для комплексных многообразий — только
здесь уже надо использовать пучки.
(Надо сказать, что теории схем сказочно повезло —
для схем координаты невозможно использовать в принципе.)
Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке
модельных категорий, одновременно для
топологических пространств и симплициальных множеств.
Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке
модельных категорий, без упоминания резольвент,
кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены.
Операды должны формулироваться и излагаться на языке
свёртки Дея и подстановочного произведения.
Где бы теперь взять книги,
излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?…
Добавление: То, что некоторые области должны излагаться
по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей
интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то
подумали именно это.
Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям,
многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики.
Это не так, я не предлагаю никаких программ.
Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики.
Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники,
использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их
существовании и давали ссылки на литературу.
Tags: математика
|
|