[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
Below are the 20 most recent journal entries recorded in the "Dmitri Pavlov" journal:| May 15th, 2015 | |
|---|---|
| 07:20 pm [Link] |
Топос уравнений в частных производных Категория уравнений в частных производных над гладким многообразием образует топос: http://mathoverflow.net/questions/20640 Tags: математика |
| March 25th, 2013 | |
| 06:15 pm [Link] |
Дискуссия про венгерскую математику Интересная дискуссия про венгерскую математику с участием ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo-lj.gif) sowa@lj, Гауэрса, Тао, и других математиков:http://gowers.wordpress.com/2013/03/2 (С большим количеством ad hominem доводов от множества менее квалифицированных комментаторов.) И если кто ещё не видел, новый блог sowa@lj: http://owl-sowa.blogspot.com/.
Tags: математика |
| March 26th, 2012 | |
| 10:44 am [Link] |
Ударения Кто-нибудь знает, на какие слоги ставятся ударения в фамилиях Гельфанд и Наймарк? В идеале хотелось бы знать, как свои фамилии произносили сами Гельфанд и Наймарк. Русская Википедия, а вслед за ней и английская утверждают, что в фамилии Гельфанд ударение ставится на первый слог. «Математический энциклопедический словарь» утверждает, что на второй, что согласуется с моими воспоминаниями. Про Наймарка вообще ничего не удаётся найти. Tags: математика |
| January 5th, 2012 | |
| 12:00 am [Link] |
Революция в математике Фрэнк Квинн (один из двух крупнейших специалистов по 4-многообразиям) в январском выпуске Notices пишет про математическую революцию 1890–1930 годов, и про то, как её отвергли в «прикладной» математике и математическом образовании: The mathematical transition had such a low profile that no one understood its significance. Felix Klein was still denouncing the new methods in the 1920s, and because his views were not only unrefuted but almost unchallenged, outsiders accepted them as fact. Historians, educators, and philosophers went forward largely unaffected, propelled by the momentum of three thousand years and rebuffed instead of justifying them. В связи с этим интересно отметить книгу Кляйна Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Упоминаемые в названии «высшие точки зрения» на самом и являются методологией 19 века, которая устарела к моменту выхода книги в 1908 году, а ко времени её переиздания в середине 1920 годов так и вовсе являлась мракобесием. Уже после написания этого параграфа я обнаружил, что у Квинна есть целая книга по мотивам его статьи, в которой, в частности, разбирается книга Кляйна (глава 15): http://www.math.vt.edu/people/quinn/edu Чуть далее про это же (выделения мои): The final problem concerns the disconnect between school mathematics and higher education. School mathematics is still firmly located in the nineteenth century, so student success rates in modern courses have been very low. There is a great deal of pressure to improve this situation, but recent changes, such as use of calculators and emphasis on vague understanding over skills, have actually worsened the disconnect. Something has to change. Ideally, school mathematics could be brought into the twentieth century. Unfortunately the K12 education community is better organized, more coherent, and far more powerful politically. External funding agencies are committed to the K12 position. At the NSF this means funds have shifted from research to educational programs that are actually hostile to the research methodology. It seems possible that the K12/college articulation will be “improved” by forcing higher education to revert to nineteenth-century models. Нынешний анахроничный маразм, подающийся в школе как геометрия и не имеющий к ней никакого отношения — ярчайшее тому свидетельство, про что я уже рассказывал: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/102 Алгебра также испытывает проблемы по той же причине, но другого характера, про что я тоже писал: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/524 Университетское образование на младших курсах также следует методологии 19 века — достаточно вспомнить курс «матанализа», про что также говорится в последней ссылке. В статье Квинна также написано про «прикладную» математику (выделения мои): Yet another problem comes from changes in applied mathematics. Up through the late twentieth century, applied mathematicians were trained in mainstream graduate programs and had foundations in modern methods and values. Today many are several generations removed from these core mathematical foundations. Many are scientists rather than mathematicians in the modern sense, and some are actually hostile to core methodology. At the same time, demand from science and engineering and pressure for more highly visible research have caused many academic departments to shift toward applied areas. The result is culturally divided departments in which core mathematics is increasingly at a disadvantage. Всё тоже самое (а выделенные предложения так и вовсе слово в слово) можно сказать и про венгерскую математику (пресловутую «вторую культуру»). Интересно отметить, что Квинн также пользуется терминологией Атии (core mathematics), про которую я недавно писал здесь: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/134 Статья, кстати, довольно интенсивно обсуждается. Вот, например, дискуссия в списке рассылке FOM: http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/201 От себя могу добавить, что попытки исправления ситуации (для России — реформы Колмогорова, которым активно противостояли Понтрягин и, позднее, Арнольд) провалились по вполне понятной причине: такая реформа в первую очередь должна менять учителей, а именно этого ни одна из них и не пыталась сделать. Дополнительная проблема заключается в том, что в местах, где учатся будущие учителя, полностью доминирует подход 19 века, что приводит к тому, что каждое следующее поколение учителей воспроизводит предыдущее. Поэтому минимально необходимые действия для исправления ситуации представляются следующими: (1) Организовать новые педагогические факультеты/кафедры для будущих учителей математики, на которых студенты обучаются по современной программе (core mathematics) современными математиками. Важно не допускать до обучения «прикладных» и венгерских математиков. (2) Выпускники этих факультетов идут в школы, где имеют полную свободу в выборе материала и учебной литературы. При этом старые учителя продолжают учить по старой программе, ибо их уже невозможно переучить. Постепенно все старые учителя будут заменены новыми. Как следствие, появятся современные учебники, написанные новыми учителями. (На первых порах вполне можно обойтись без учебников, их важность обычно преувеличивают.) (3) ЕГЭ по математике необходимо либо полностью отменить, либо радикально изменить (этим тоже должны будут заниматься новые учителя). В своей нынешней форме он лишь усугубляет ситуацию. Tags: математика, образование |
| October 22nd, 2011 | |
| 06:45 pm [Link] |
Когомологии, категории и прочая алгебраическая муть А вот забавная иллюстрация к моему посту про образование: http://luch-sweta.livejournal.com/4 Автор, в математическом мировоззрении которого категории и когомологии являются частью алгебры (смотри цитату про «муть» ниже), глубоко возмущён моим высказыванием «Почти все выпускники потока не знакомы с категориями, пучками или когомологиями, что характеризует крайнюю степень математического невежества», из которого он цитирует «когомологии, категории и прочую алгебраическую муть» и требует предъявить ему применения оных в теории графов: «Теория графов ждет - не дождется, когда Вы, сильно крутой и великий, наконец объясните нам, убогим, за каким чертом все это величие духа нужно за пределами одной подобласти, так честно и называющейся - алгебраическая теория графов.» Разъяснения ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif) tiphareth понимания не находят.Следуя неведомой логике (которую сам автор в своём комментарии ниже разъясняет так: «Теория групп изучается на мат-мехе, причем всеми математическими потоками»), автор выводит также, что я «не считаю теорию групп сколь-нибудь современной математикой, достойной изучения студентами» (как автор умудряется сочетать это с предыдущим высказыванием про то, что категории и когомологии — часть алгебры, не очень понятно). В связи с очередной дискуссией (слово из четырёх букв, возможно, более уместно) на тему «второй культуры» хочу сделать несколько комментариев. Касательно терминологии: вместо «первой» и «второй» культур (что неявно влечёт за собой утверждение о существовании оных) гораздо лучше использовать терминологию Атии. Атия в своей статье How research is carried out говорит o the central core of mathematics. Терминология «(центральное) ядро-периферия», на мой взгляд, гораздо лучше отражает суть ситуации. Сказанное имеет смысл, если математикой называть всю естественнонаучную деятельность, в которой не требуются эмпирические данные. В принципе, термин Mathematical Sciences, подразумевающий, что кроме математики там есть что-то ещё, также представляется вполне разумным, и, возможно, даже более приемлемым. Там же nikaan@lj говорит, что «деление исключает появление фундамента в будущем»(имеется ввиду деление на центральное ядро и остальное). По этому поводу ещё Гельфанд говорил, что комбинаторика может стать математикой 21 века (буду признателен за точную ссылку). Но вряд ли общий фундамент может появиться, если попытки введения в программу категорий, пучков, и когомологий будут сопровождаться реакцией, подобной реакции вышецитированного персонажа (при условии, что таких персонажей будет достаточно много). Tags: математика, образование |
| October 19th, 2011 | |
| 10:09 am [Link] |
Исходный текст в arXive Обнаружил, что многие математики, не только из старшего поколения, но также и из младшего, не знают, что на arXive для любой статьи доступен исходный текст в TeXe. Если зайти на страницу любой статьи и перейти по ссылке Other formats, то последним пунктом в списке всегда будет исходный текст. Он полезен как минимум в двух случаях:
Tags: tex, математика |
| October 7th, 2011 | |
| 11:45 pm [Link] |
Куда поступать, что делать?nikaan@lj задал мне вопросы, а я на них ответил ниже. Чтение рекомендую всем, кто заканчивает школу. 1. Где Вы учились? Насколько давно это было? Опишите, как оно, и зачем Вы бы туда рекомендовали/не рекомендовали пойти. 239, 1999–2002. ИТМО, кафедра компьютерных технологий, 2002–2006 (бакалавриат), кафедра высшей математики, 2006–2007 (магистратура). 2007–2011 — аспирант University of California, Berkeley, получил степень Ph.D. в 2011 году. Впечатления об ИТМО: Очень много времени тратится зря, учебный план состоит из бессмысленных гуманитарных, программистских (бессмысленных также и для программистов), физических (бессмысленных также и для физиков) курсов. Содержательные курсы (не попадающие в указанные три категории) почти отсутствуют. Из преподавателей запомнились Додонов, Кохась (его лекции в ИТМО я не застал, но слушал курс в ПОМИ), Попов. Все три ведут анализ в разных вариациях, к сожалению предельно упрощённый и растянутый (хотя могли бы рассказать гораздо больше), в результате чего посещение их лекций малоосмысленно — гораздо легче и быстрее всё выучить самому. Елизаров ведёт единственный осмысленный курс по computer science (параллельное программирование). Это всё, больше ничего содержательного (по крайней мере, в 2011 году) в ИТМО нет. Как легко видеть, ИТМО находится в стадии глубокой деградации и вырождения. Тратить четыре года на такой учебный план — запредельный идиотизм. Впрочем, надо отметить, что в ИТМО есть возможность составить индивидуальный учебный план (про который почти никто не знает), чем я пользовался, включая туда курсы физматклуба ПОМИ. В магистратуре ИТМО я учился (и закончил её) только потому, что не успел поступить в аспирантуру годом раньше, хотя и собирался. Надо отметить, что в моё время состав студентов был довольно неплохим: с моего потока (40 человек) три студента (включая меня) поступили в американские аспирантуры по математике (Berkeley, Yale, Northwestern), что, как я понимаю, превосходит отделение математики матмеха. Не уверен, что такой же интеллектуальный климат сохранился в ИТМО в 2011 году. Ещё надо отметить, что в ИТМО более доброжелательное отношение со стороны руководства кафедры (то есть Парфёнова), нежели на матмехе. (Парфёнов не отчисляет за несданные гуманитарные предметы, например.) У матмеха (и московского мехмата) идентичные проблемы, различия в деталях: гуманитарной бессмыслицы немного больше, программистской и физической бессмыслицы немного меньше. Даже в пресловутом ПОМИ-потоке отделения математики матмеха математическая программа устарела на 90 лет (это ни в какой степени не является преувеличением: некоторые теоремы из курса функционального анализа матмеха получены как раз примерно 90 лет назад, около 1920 года, а более свежие результаты просто не входят в программу). Почти все выпускники потока не знакомы с категориями, пучками или когомологиями, что характеризует крайнюю степень математического невежества. Что касается аспирантуры в Berkeley, то там всё было абсолютно замечательно, чего и другим желаю. 2. Куда бы Вы порекомендовали пойти сейчас учиться человеку, который хочет заниматься математикой, или программированием, или лингвистикой, или сельхоз. генетикой, или игрой на контрабасе etc. Про что знаете — про то и пишите. Есть разница между «учиться» и «числиться». В Петербурге эта деятельность всегда протекает в разных местах: ПОМИ (физматклуб, CS-клуб, возможно АФТУ) — с одной стороны и матмех, ИТМО, другие места — с другой. В Москве, соответственно, НМУ и НОЦ МИАН против мехмата. Матфак ВШЭ, возможно, является единственным местом, где это можно совмещать. (В дальнейшем я буду писать про Петербург, хотя написанное верно для всей России. Я также ограничусь математикой, для cs и software engineering ситуация аналогичная.) Также есть большая разница между software engineering и computer science, программирование всегда является первым, хотя часто имеется ввиду второе. Для любого из этих видов деятельности наилучшим вариантом будет поступить в американский университет, получить там степень бакалавра, а затем поступить там же (в США, не обязательно в том же университете) в аспирантуру. Многие частные университеты (например, Harvard, MIT, Stanford, Princeton, Columbia) предоставляют стипендии с полной оплатой обучения. Я рекомендую подавать документы в десяток лучших университетов (некоторые из них перечислены выше), а также в десяток (или больше) средних, идущих за ними. Если лучшие не возьмут, то какие-то средние вероятно возьмут, а даже средний американский университет гораздо лучше всего, что можно найти в России, по крайней мере в математике и computer science. Готовиться к поступлению надо как минимум за год, сдавая тесты вроде TOEFL и SAT, готовля statement of purpose и другие документы. Если поступить в американский университет не удалось (или удалось, но без оплаты обучения), отчаиваться не стоит. Следует поступить в любое место (впрочем, СПбГУ и МГУ предпочтительны, поскольку про них могут знать приёмные комиссии американских аспирантур, в отличии от всех остальных российских университетов), после чего самостоятельно изучать математику (или cs) и готовиться к поступлению в американскую аспирантуру. 3. Нужно учиться самому или отдать себя в руки ВУЗа и там всему научат? Или пополам? Или вообще надо учиться самому, и идти в такой ВУЗ, чтобы там не нагружали? О том, чтобы чему-то научиться на матмехе, речи быть не может: все дисциплины матмеха либо просто бесполезны, либо откровенно вредны (последнее высказывание не является преувеличением, учитывая крайне устаревшее содержание многих курсов). Поэтому достаточно сдавать экзамены (номинально математические предметы должны сдаваться на пятёрки, ибо при приёме в американскую аспирантуру всё же смотрят на оценки), не ходя при этом на лекции. Всё, что может дать матмех студенту — минимальная легитимность его заявки в американскую аспирантуру (диплом и транскрипт). Если бы американские бюрократы не требовали эти два документа при поступлении, гораздо лучше было бы вообще на матмех не поступать, а ходить по выходным в физматклуб и общаться с единомышленниками. Лучше хотя бы потому, что не тратится время на (бессмысленные, иногда вредные) лекции и экзамены. (В Москве, наверное, можно ходить в НМУ — говорят, его диплом принимают в американских аспирантурах.) «Отдавать себя» в чьи-либо руки категорически нельзя. Даже если вы учитесь в Harvarde, необходимо прилагать существенные усилия по составлению учебного плана, то есть записываться не на курс калкулуса (который и в Harvarde — калкулус, пусть даже это Math 55), а на «аспирантские» курсы (graduate courses), на самом деле так называются просто все современные математические курсы (то есть не калкулус и подобные ему предметы, придуманные для отсева студентов в других специальностях). Если же поступить в нормальный университет не удалось (то есть вы остались в России), то тем более придётся учиться самому, ибо, как я уже говорил, все дисциплины в учебном плане будут либо пустой тратой времени, либо просто вредными. Посильную помощь в этом может оказать физматклуб (и cs-клуб) ПОМИ, однако он покрывает лишь небольшую часть необходимых знаний, всё остальное придётся изучать самому. Рекомендую найти единомышленников и общаться с ними на научные темы. Также полезно читать MathOverflow. Очень важно как можно раньше найти себе в ПОМИ научного руководителя и начать заниматься научной деятельностью, публикуя свои результаты. При поступлении в американскую аспирантуру публикации могут сыграть немаловажную (если не важнейшую) роль в увеличении шансов на поступление. 4. Просто порассказывайте каких-нибудь историй, характеризующих вузы. И самообразование. Надавайте советов по проф. ориентации. Когда-то я вёл семинар в ПОМИ на котором я и четыре других математика (один из них — сотрудник ПОМИ, остальные сейчас (2011 год) в американских аспирантурах). разбирали современные темы из алгебраической топологии. Это — пример того, как можно организовываться в отсутствии содержательной деятельности на матмехе. От семинара осталась страница, на которой есть материалы (и даже видеозаписи) многих лекций: http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/ 5. Напишите о себе (при желании советовать это чуть ли не самое главное). Эта анкета будет выложена в публичный доступ (поэтому можете подписаться анонимом, но это нивелирует доверие у читателей). Дмитрий Павлов, постдок в университете Мюнстера, Германия. Получил Ph.D. в UC Berkeley в 2011 году. Занимаюсь алгебраической топологией, в частности функториальной теорией поля. Домашняя страница: http://dmitripavlov.org/ Страница на MathOverflow: http://mathoverflow.net/users/402/dmitr Tags: математика, образование |
| January 24th, 2011 | |
| 10:17 am [Link] |
Обновление манифеста Прошло два года с момента публикации моего «манифеста» (терминология не моя) об изложении математики, и настало время для обновления, которое выложено в виде ответа на MathOverflow. Основные отличия:
Tags: математика |
| January 17th, 2011 | |
| 06:07 pm [Link] |
Алгебраическая топология управляет миром Победоносное шествие функториальной теории поля по математике продолжается. Только что слушал доказательство гипотезы Вейля о числах Тамагавы для случая функциональных полей в исполнении Лури (если кто не знает — самый великий математик за время после Гротендика). Tags: математика |
| March 8th, 2010 | |
| 08:00 pm [Link] |
Образование как карго-культ Вдогонку к предыдущей записи, мой бывший одногруппник из ЛИТМО, а ныне аспирант и преподаватель математики там же, написал, что реально происходит на занятиях по математике в этом университете. Студенты мехмата тоже озабочены той же самой проблемой. В связи с этим Миша Вербицкий делает очень актуальное наблюдение: «Сравнивать мехмат с аналогичными западными учреждениями нельзя: во-первых, там нет "факультетов" как таковых, то есть студенты могут выбрать себе специализацию и вообще ходить на другой факультет; по факту, МГУ это не "университет" в традиционном смысле, а конгломерат мало связанных специальных вузов. Во-вторых, мехмат вдесятеро больше математического департмента Гарварда или математического института в Оксфорде -- и по количеству профессоров, и по количеству студентов. Подобных размеров математических факультетов в Европе, кажется, нет.» Количественные оценки в цитате верные. Я произвёл автоматический подсчёт: на мехмате обнаружилось 193 профессора и 190 доцентов. Всего получается 383 человека на должностях, условно аналогичных американским tenure и tenure-track должностям. В моём математическом департаменте, одном из самых больших в США, насчитывается 67 человек на tenure и tenure-track позициях, что почти в 6 раз меньше. Создаётся впечатление, что суммарное качество обратно пропорционально количеству. Преподавание математики в российских университетах является в настоящее время изощрённым карго-культом: Cargo cult activity in the Pacific region increased significantly during and immediately after World War II, when large amounts of manpower and materials were brought in by the Japanese and American combatants, and this was observed by the residents of these regions. When the war ended, the military bases were closed and the flow of goods and materials ceased. In an attempt to attract further deliveries of goods, followers of the cults engaged in ritualistic practices such as building crude imitation landing strips, aircraft and radio equipment, and mimicking the behaviour that they had observed of the military personnel operating them. Практический пример карго-культа: «Спрашиваю: "Кто из вас, четверокурсников, планирует в дальнейшем работать по специальности, соответствующей диплому?" Улыбаются, но никто не говорит: "Я". Спрашиваю: "Так зачем вам эта шестилетняя лихорадка?" (как-то иначе спросил, конечно, корректно). Девушка: "У нас в фирме, если нет высшего образования, то ты первый кандидат на вылет при сокращении штатов". "А что за фирма, если не секрет, чем занимается?" "Торговлей".» Обновление: А вот ещё одно мнение бывшего студента ЛИТМО. Tags: математика, образование |
| February 8th, 2010 | |
| 11:26 pm [Link] |
Страх перед нулём и единицей. Наша жизнь полна предрассудков и необоснованных страхов. Однако не все знают, что предрассудки и страхи во множестве присутствуют в математике. Сегодня я расскажу всего лишь про один такой предрассудок — страх перед нулём и единицей. Древнегреческие математики не считали единицу числом, а понятия нуля у них вовсе не существовало. По этой причине утверждения о целых числах содержали в себе несколько аналогичных формулировок для случаев, когда рассматриваемые числа равны или не равны единице, что можно видеть у Эвклида, когда он излагает свой алгоритм нахождения наибольшего общего делителя («Начала», книга 7, предложения 1 и 2) — он вынужден формулировать два предложения вместо одного (предложение 1 излагает случай, когда наибольший общий делитель равен 1, а предложение 2 — когда не равен). За прошедшие две тысячи лет люди освоили понятия нуля и единицы, но страх перед ними остался. Далее я привожу список разнообразных верных утверждений, вызывающих отторжение под влиянием этого страха. У пустого множества есть ровно один эндоморфизм — пустая функция. Вообще, из пустого множество в произвольное есть ровно одна функция — функция с пустой областью определения. (А из произвольного непустого множества в пустое функций нет.) Натуральные числа — это те, которые используются при счёте. Это определение я услышал в пятом классе. Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств. Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное. Классическое проявление страха перед нулём — нумерация всего и вся с единицы, хотя зачастую более естественно нумерация последовательными натуральными числами, начиная с минимального — нуля, а часто наиболее естественным вариантом является отказ от нумерации. Некоторые Особенно популярно это мнение в среде жёстких аналитиков. (И вообще, жёсткий анализ (в противоположность мягкому) — это один из основных источников мракобесия в математике, как отметил один из моих знакомых.) Обосновывают они его следующим аргументом: функция (x,y) → x^y не является непрерывной в точке (0,0). Однако запись многочленов и рядов в форме ∑_k a_k x^k возможна только и исключительно при условии, что 0^0 = 1. Формула бинома (x+y)^n = ∑_k {n\choose k} x^k y^{n-k} верна для всех n≥0 и произвольных x и y также только при условии, что 0^0 = 1 (иначе надо потребовать, что x≠0, y≠0 и если n=0, то x+y≠0). Количество отображений из n-элементного множества в m-элементное равно m^n — смотри замечание выше про эндоморфизмы пустого множества. Отсюда тоже получаем, что 0^0 = 1. Список можно продолжать до бесконечности. Сумма пустого множества чисел есть 0. Произведение пустого множества чисел есть 1. Упражнение: вычислите значение башни степеней x^{y^{z^…}} для пустого семейства чисел. Нулевое векторное пространство имеет пустой базис и обладает ровно одним эндоморфизмом — нулевым. Определитель эндоморфизма нулевого векторного пространства равен 1, а его матрицей будет пустая матрица (матрица с пустым множеством строк и столбцов). Морфизмы из нулевого или в нулевое векторное пространство будут иметь пустое множество столбцов или строк. Произведение пустого семейства объектов (или предел пустой диаграммы) есть терминальный объект, копроизведение пустого семейства объектов (или копредел пустой диаграммы) есть начальный объект. Тензорное произведение (в моноидальной структуре) пустого семейства объектов есть моноидальная единица. В частности, тензорное произведение пустого семейства векторных пространств есть основное поле. Норму гомоморфизма нормированных пространств f: X→Y часто определяют как sup_{x∈X: x≠0} ‖f(x)‖/‖x‖ или как sup_{x∈X: ‖x‖=1} ‖f(x)‖. Эти определения не работают в случае X=0, а также, если допускаются полунормы, в случае если полунорма нулевая. Правильное определение, работающее во всех случаях, в том числе и для полунорм: ‖f‖=sup_{x∈X: ‖x‖≤1} ‖f(x)‖. Конъюнкция пустого семейства утверждений истинна, дизъюнкция пустого семейства утверждений ложна. Объединение пустого семейства множеств есть пустое множество. Пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств (или универсум, или другой аналогичный объект — зависит от используемых теоретико-множественных оснований). Например, топология на множестве X — это семейство его подмножеств, замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений внутри X. Забывающий функтор из категории пунктированных множеств в категорию морфизмов множеств, интерпретирующий пунктированное множество A как морфизм из одноэлементного множества в A, имеет левый сопряжённый функтор. Значение этого функтора на объекте A→B обозначается B/A и называется фактормножеством множества B по множеству A. (Здесь имеет место очевидная волность речи.) В случае A=∅ имеем B/∅=B⊔*, объединение B и одноэлементного множества, тем самым фактормножество иногда может быть больше исходного множества, а факторотображение может не быть сюръективным. Весьма показательна ошибка, которую сделал Hartshorne в своём учебнике алгебраической геометрии в определении предпучка — он определяет предпучок абелевых групп как предпучок абелевых групп в обычном смысле, удовлетворяющий дополнительному условию F(∅)=0. Это вызывает проблемы уже на элементарном уровне (нельзя определить постоянный предпучок обычным образом, непонятно как определить предпучок со значениями в произвольной категории), а куча утверждений про предпучки (например, про универсальные копополнения) становятся просто неверными. На самом деле это условие является следствием аксиом пучка. Действительно, для произвольной категории C предпучок со значениями в C — это контравариантный функтор из противоположной категории открытых множеств данного топологического пространства в C, а пучок — это предпучок, удовлетворяющий свойству спуска: конус спуска произвольного покрытия произвольного открытого множества является предельным конусом. Если взять пустое покрытие пустого множества, получаем, что значение пучка на пустом множестве является терминальным объектом. Желаю всем читателям избавиться от своего страха перед нулём и единицей, если он у них есть, и пользоваться этими понятиями свободно, без дополнительных оговорок. Поводом к написанию записи послужило одно замечание одного математика, в котором он использовал пучки абелевых групп, обладающие свойством F(∅)=0, и весьма обрадовался, когда я объяснил ему, что это свойство является тривиальным следствием определения пучка. Tags: математика, преподавание |
| December 28th, 2009 | |
| 08:45 pm [Link] |
Семинар по струнной топологии Приехав на зимние каникулы, организовал очередной топологический семинар, на этот раз будем изучать струнную топологию (Chas, Sullivan, Cohen, Jones, Воронов и другие). Первый доклад во вторник, 29 декабря 2009 года в 19 часов в ПОМИ. Приглашаются все желающие, если таковые имеются. Домашняя страница семинаров: http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/ Надеюсь записывать лекции на камеру и выкладывать их. Не уверен, правда, что это кому-то нужно. Посещаемость семинаров неуклонно падает — старые участники понемногу уезжают в аспирантуру (и не приезжают на каникулы), новых топологов не видно. Из моего потока в ЛИТМО (Институт точной механики и оптики, 2002 год поступления, на потоке изначально училось 42 человека, некоторых потом отчислили) три человека поступили в математические аспирантуры различных западных университетов (Berkeley, Yale, Northwestern). Сложно представить себе, чтобы такое могло произойти сейчас, видимо даже если рассматривать поток отделения математики матмеха, да и весь матмех. Или это не так? Будет интересно, если кто-нибудь с матмеха расскажет, сколько выпускников в среднем продолжают заниматься математикой и где. Тем временем, библиотека Эйлера выложила очередные два сборника «Математика». Кроме того, в ней по-прежнему лежат все журналы от Springera (и ещё несколько других), а скоро снова будет доступна колхозная коллекция (все выпуски вплоть до последнего 28-го, а возможно и до 32-го — когда выпустят очередное обновление). Коррекция: по пожеланиям участников семинар перенесён на 19 часов. Tags: математика, преподавание |
| July 15th, 2009 | |
| 11:02 pm [Link] |
Манифест Dieudonné («Все мы учились в одном гадюшнике…») Время от времени я начинаю разъяснять, почему геометрия, в том виде, как она сейчас преподаётся в школе, малоосмысленна, и почему ситуацию с этим необходимо менять. Вот, например, несколько недавних дискуссий, есть и другие: 1, 2, 3. Недавно я прочитал предисловие к книге Dieudonné 1964 года Algèbre linéaire et géométrie élémentaire и обнаружил, что в этом предисловии ясно и понятно изложены все те мысли, которые я уже давно пытаюсь разъяснять в различных дискуссиях. По этой причине я решил воспроизвести русский перевод этого предисловия ниже. Что (не)удивительно, с 1964 года прошло уже 45 лет, а воз и ныне там — за это время ничего не изменилось. Из различных маразмов, описанных Dieudonné, единственное, чего мне удалось избежать — шары Данделена. Зато очень много времени было потрачено впустую на окружность девяти точек, построения циркулем и линейкой, решения задач на треугольники, разучивание псалтыря тригонометрических формул и прочие бессмыслицы. В свете параграфа про высоты треугольника и сопротивление материалов донельзя забавным представляется комментарий в одной из недавних дискуссий. Система аксиом, которой мы пользовались на геометрии, была неполной, по причине чего теоремы часто «доказывались» неявным использованием интуитивно очевидного утверждения. И это — в двух лучших математических школах Петербурга — 30-ой и 239-ой. Что творится в обычных школах, страшно даже подумать. От себя могу добавить, что при первоначальном изучении геометрии, по-видимому, можно определить точку как пару рациональных чисел. После можно ввести операции векторного пространства, подробно изучить их геометрический смысл. Затем можно определить прямую параметрическим образом, научиться пересекать прямые (и доказать, что точка пересечения единственная), проводить прямую через две точки (с доказательством единственности), и так далее. Через некоторое время станет ясной необходимость введения вещественных чисел (а на алгебре будет параллельно доказана иррациональность квадратного корня из 2). Вещественные числа, по-видимому, проще всего ввести как сечения. Что самое забавное, аргументация Dieudonné точно также применима к студенческой программе по математике. Вот список некоторых вещей, которые я или люди на курс младше меня в своё время должны были изучать или делать:
Каждый может легко продолжать этот список до бесконечности. Было бы неплохо изъять из учебного плана принудительную галиматью вроде «математического анализа», «аналитической геометрии», «теории функций комплексного переменного», «дифференциальных уравнений», «теории вероятностей», «математической физики», «дискретной математики», «математической статистики», «численных методов» и им подобных и заменить их на такие: «общая топология», «линейная алгебра», «гладкие многообразия», «комплексная геометрия», «теория меры», «гармонический анализ», «микролокальный анализ», «алгебраический анализ и D-модули», «геометрический анализ» и так далее. С современным содержанием и в современном изложении. [Наличие в любом плане научно-технической специальности кучи принудительной гуманитарной ахинеи я и вовсе оставляю за скобками.] К сожалению, всё это абсолютно нереалистично в нынешних условиях… А жаль. Извините, что так резко — мне просто жаль кучи бессмысленно потраченного времени в студенческие годы. Просьба воспринимать всё это как призыв к конструктивной деятельности, а не деструктивной. [Впрочем, банальное изъятие из плана кучи гуманитарного мусора, отнимающего ценное время, можно, наверное, рассматривать как конструктивное действие.] А теперь — собственно предисловие к книге Dieudonné. Ввиду ограничения на длину записи в LJR выкладываю его отдельно здесь. Tags: математика, преподавание |
| June 26th, 2009 | |
| 10:01 pm [Link] |
Гомотопическая теория графов Удивительное рядом. Bisson и Tsemo опубликовали статью, в которой они вводят нетривиальную модельную структуру на топосе ориентированных графов. Категория ориентированных графов определяется как категория предпучков множеств на категории, состоящей из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними. В частности, эта категория образует топос. Более удивительно, что на этом топосе можно ввести нетривиальную кофибрантно порождённую модельную структуру. Расслоениями в этой структуре будут морфизмы графов, индуцирующие для каждой вершины и её образа сюръекцию на множестве выходящих из них рёбер. Корасслоениями будут вложения, получающиеся путём приклеивания к графу путём толчка нескольких деревьев, растущих от корня. Наконец, слабыми эквивалентностями будут морфизмы, индуцирующие биекцию на множестве циклов. В этой модельной структуре граф будет фибрантным, если у него нет тупиков — вершин, из которых не выходят рёбра. Кофибрантный граф — это в точности копроизведение произвольного набора конечных циклов, к которым приклеены путём толчка несколько деревьев, растущих от корня. Кофибрантной заменой будет копроизведение всех циклов в графе с очевидным морфизмом в этот граф. У категории графов есть важная цепочка подкатегорий: полная подкатегория графов, у которых из каждой вершины выходит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория графов, у которых в каждую вершину входит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория дискретных графов: у каждой вершины есть петля. Между этими категориями есть несколько пар сопряжённых функторов, которые не являются гомотопическими, но являются функторами Квиллена, и у них есть тотальные производные функторы, вычисляющие нетривиальную информацию. А вот забавная теорема: два конечных графа гомотопически эквивалентны в том и только в том случае, если они почти изоспектральны, что равносильно совпадению дзета-функций этих графов. Tags: математика |
| June 22nd, 2009 | |
| 07:07 pm [Link] |
Русская терминология При проведении семинаров на русском языке (чем я занимаюсь каждый год в зимние и летние каникулы) постоянно возникает необходимость в переводе английских терминов. В четверг участниками семинара был составлен следующий словарик: pullback — оттяг; pushforward — толчок; cup product — чашечное произведение; cap product — кепочное производение (в просторечии — шапочное произведение). Если у кого есть собственные переводы этих или других терминов — оставьте комментарий. Tags: математика |
| January 24th, 2009 | |
| 05:00 pm [Link] |
Изложение математики Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно концептуализировать и упростить а ля Гротендик изложение некоторых хорошо известных разделов математики. Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр. Частное: Lp-пространства должны формулироваться и излагаться на языке модулярных алгебр Ямагами. Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии, позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры, а также алгебр Клиффорда и Вейля. Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов. Возможно также использование языка пучков, хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий. Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии, в частности должно даваться концептуальное изложение дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек, вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия группы диффеоморфизмов суперточки. Тоже самое для комплексных многообразий — только здесь уже надо использовать пучки. (Надо сказать, что теории схем сказочно повезло — для схем координаты невозможно использовать в принципе.) Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, одновременно для топологических пространств и симплициальных множеств. Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, без упоминания резольвент, кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены. Операды должны формулироваться и излагаться на языке свёртки Дея и подстановочного произведения. Где бы теперь взять книги, излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?… Добавление: То, что некоторые области должны излагаться по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то подумали именно это. Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям, многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики. Это не так, я не предлагаю никаких программ. Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики. Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники, использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их существовании и давали ссылки на литературу. Tags: математика |
| 04:40 pm [Link] |
Гипотеза о кобордизмах Jacob Lurie недавно опубликовал статью с доказательством гипотезы о кобордизмах Баеза-Долана, которая, грубо говоря, утверждает, что n-категория кобордизмов является свободной n-категорией на одном объекте (в соответствующем смысле — подробности в статье). У него же, если кто не знает, лежит замечательный обзор по топологическим модулярным формам. Tags: математика |
| August 7th, 2008 | |
| 12:25 am [Link] |
Grothendieck Я, как всегда, узнаю всё последним, но если кто-то ещё не видел отчёт о поездке к Гротендику в июне 1988 года, который написал Roy Lisker, то его можно найти здесь: http://fermentmagazine.org/Quest88.h И вообще, интересная страница с материалами про Гротендика: http://fermentmagazine.org/home5.ht Tags: математика |
| April 3rd, 2008 | |
| 06:55 pm [Link] |
Больше всего в математике я ненавижу… По мотивам известной страницы. В обозначениях Δx и δx d/dx и ∂/∂x когда используют выражение «функция f(x)», имея ввиду «функция f» когда путают расслоение и его тотальное пространство вертикальную нотацию для дробей нотацию для возведения в степень нотации для интеграла и суммы обозначение производной штрихом нотацию f(x) когда композицию морфизмов пишут справа налево (особо ненавижу) смешанную нотацию для дробей вида a b/c, обозначающую a+b/c В терминологии неопределяемые понятия утверждения, принимаемые без доказательства аксиомы В теории множеств аксиоматику Цермело-Френкеля В линейной алгебре координаты матрицы когда рассказывают внешнюю алгебру без геометрического смысла отдельной строкой я ненавижу аксиоматику Эвклида-Гильберта В топологии язык ε-δ В мере меру Жордана и интеграл Римана изложение меры по Каратеодори В многообразиях координаты (лютой ненавистью) карты и атласы производную как число или набор чисел дивергенцию, градиент и ротор В образовании школьную математику олимпиадную математику (против самих олимпиад ничего не имею) вступительную математику высшую математику прикладную математику (то, что сейчас понимают под этим термином) В изложении когда проводят длинное рассуждение и не говорят заранее, что при этом доказывается Список неполный, постоянно пополняется. Tags: математика |
| January 23rd, 2008 | |
| 09:58 am [Link] |
Филдсовская медаль Арнольда Из статьи В. А. Успенского в журнале «Новый мир» за декабрь 2007 года: Проблемы и даже скандалы, сопровождавшие процедуры присуждения и вручения филдсовских медалей, возникали и раньше. Так, по причине Мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений в промежутке между 1936 и 1950 годами (в 1936 году в Осло прошёл последний предвоенный Международный конгресс математиков, а в 1950 году в Кембридже, что в Массачусетсе, — первый послевоенный). Все последующие причины были порождены советскими властями. Например, конгресс в Варшаве, намеченный на 1982 год, был перенесён на август 1983 года из-за объявленного в Польше военного положения. В 1966 году французский математик Александр Гротендик, один из крупнейших математиков XX века, в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов; вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов и всех чохом пригласил на сцену для получения медалей; кто есть ху, понять из зала было невозможно. В 1970 и в 1978 годах конгрессы состоялись, соответственно, в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить свои медали два математика из СССР: в Ницце — Сергей Петрович Новиков (родился в 1938 году; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки — Григорий Александрович Маргулис (родился в 1946 году). Их поездки были признаны, по советской бюрократической терминологии, «нецелесообразными», а сами они не были выпущены за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (едва ли не единственном издании, откликнувшемся на присуждение ему высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «и… [даже] докторская диссертация на подходе». Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 году. Далее — изложение рассказа самого Арнольда; надеюсь, что помню его правильно. Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Окончательное решение должен был принять высший орган Международного математического союза — его исполнительный комитет. В 1971–1974 годах вице-президентом Исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне своей поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и на беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждение тому филдсовской медали. В случае, если исполком с этим не согласится и всё же присудит Арнольду медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации в Ванкувер на очередной Международный конгресс математиков, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал ему о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые ему Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним — интересна, а обед — хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только филдсовскую медаль Арнольд тогда не получил — и было выдано две медали вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 году Арнольд исчерпал возрастной лимит. В 1995 году Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 году на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда. Осталось выяснить, кто отдал Понтрягину приказ не давать Арнольду медаль. Вообще, очень странно, что филдсовский комитет не присуждает медали единолично. Зачем нужна эта бюрократическая процедура утверждения? Tags: математика |