Настроение:	accomplished
Музыка:	Forseti - ERDE
Entry tags:	math

Sasakian structures on CR-manifolds
Выложили вот статью:

Sasakian structures on CR-manifolds
http://arxiv.org/abs/math.DG/0606136
Authors: Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Comments: 23 pages
Subj-class: Differential Geometry

A contact manifold $M$ can be defined as a quotient of a
symplectic manifold $X$ by a proper, free action of $\R$,
with the symplectic form homogeneous of degree 2. If $X$
is also K\"ahler, and its metric is homogeneous of
degree 2, $M$ is called Sasakian. A Sasakian manifold is
realized naturally as a level set of a Kaehler potential
on a complex manifold, hence it is equipped with a
pseudoconvex CR-structure. We show that any Sasakian
manifold $M$ is CR-diffeomorphic to an $S^1$-bundle of
unit vectors in a positive line bundle on a projective
Kaehler orbifold. This induces an embedding from $M$
to an algebraic cone $C$. We show that this embedding
is uniquely defined by the CR-structure. Additionally, we
classify the Sasakian metrics on an odd-dimensional sphere
equipped with a standard CR-structure.

Пусть задано симплектическое многообразие M,
на нем свободное, собственное действие мультипликативной
группы \R^{>0}, причем симплектическая форма относительно
этого действия однородна степени 2. Фактор называется
контактным многообразием. Это очень хорошее определение
контактного многообразия. В этом контексте,
M называется симплектическим конусом.

Если же M к тому же кэлерово, причем метрика,
как и симплектическая форма, однородна степени 2, фактор
называется сасакиево многообразие. То есть
сасакиева структура - это метрика на контактном
многообразии, которая становится кэлеровой
при переходе к риманову конусу.

Из того, что она однородна степени 2, легко вывести,
что сасакиево многообразие задано как множество уровня кэлерова
потенциала на конусе. Такие множества уровня называются
строго псевдовыпуклыми CR-многообразиями.

CR-многообразие (Коши-Римана) это многообразие
с заданным на нем подрасслоением H\subset TM и
комплексной структурой на H, причем она интегрируема
в следующем смысле:
\[
[ H^{1,0}, H^{1,0} ] \subset H^{1,0} (*)
\]
Естественно, что комплексные многообразия
можно рассматривать как CR-многообразия, с H=TM.
Гиперповерхности S\subset M в комплексных многообразиях имеют
естественную CR-структуру, с H= \{x\in TS | I(x)\in TS \}.
Рассмотрим тензор Фробениуса (коммутатор векторов из H,
факторизованный по H:
\[
[ H, H ] \stackrel \Phi \arrow TM/H
\]
В силу (*), \Phi задает полуторалинейную форму на H.
Эта форма называется формой Леви; она принимает значения
в линейном расслоении TM/H, которое одномерно, и в
классической литературе отождествляется с вещественными
числами.

Если гиперповерхность S задается как множество уровня
функции f:\; M \arrow \R, то \Phi - это ограничение
\[
d d^c f \restrict S
\]
Соответственно, когда f это кэлеров потенциал,
форма Леви (строго) положительно определена.

CR-многообразие со (строго) положительно определенной
формой Леви называются (строго) псевдовыпуклыми.

Гладкая граница голоморфно выпуклой области всегда
псевдовыпукла; также, если граница какой-то области
псевдовыпукла, эта область голоморфно выпукла.
Это утверждение называется "проблема Леви", ее
решал Леви и другие люди лет 30, а в 1950-х годах
ее решил Ока.

Естественная CR-структура на сасакиевом многообразии,
полученная из вложения его в его риманов конус,
строго псевдовыпуклая. Возникает вопрос - какие
CR-многообразия допускают сасакиеву структуру?

Есть известный пример псевдовыпуклых CR-многообразий,
который строится так. Пусть задано проективное
орбиобразие V, на нем эрмитово, голоморфное
линейное расслоение L с положительной
кривизной. Множество единичных векторов
в L - строго псевдовыпуклое CR-многообразие,
которое является U(1)-расслоением над V.

Оказывается, каждое сасакиево многообразие
CR-эквивалентно такому. Это задает вложение
сасакиева многообразия в "алгебраический конус" -
аффинное комплексное многообразие, снабженное
голоморфным действием C^*, стягивающим его
в точку. Мы также доказываем, что это вложение
определено канонически CR-структурой, и классифицируем
сасакиевы метрики на сфере.

Очень хорошая статья, хотя писалась месяца два,
с колоссальным скрипом, от того, что никто нифига
не понимает что это за зверь такой сасакиевы
многообразия. Но оно чрезвычайно важно в связи
с модными веяниями в физике.

Причем, когда мы ее закончили, оказалось, что какие-то
совсем ебанутые дифференциальные геометры на своем птичьем
и никому не понятном языке большую часть этих результатов
уже имели, году в 1994-м. И это при том, что
доказательство этих же самых teorem в размерности
3 Гайгесом и Белгуном в 2000-2002 годах
рассматривалось как колоссальное достижение.

То есть мы превзошли чрезвычайно Гайгеса и Белгуна,
конечно, но таки до половины нами полученного сто лет
как доказано, правда совершенно по-другому, просто
никто не связывал "связности Танаки без кручения"
с сасакиевой геометрией.

Дня через 3-4 мы выложим еще одну статью,
вполне замечательную и совершенно без ужасов
дифференциальной геометрии.

Привет