Гладко-этальный сайт схемы (стэка) не функториален.
В этом посте я расскажу про знаменитую ошибку в книжке "Champs Algebriques" Laumon'a и Morret-Bailley, которую обнаружил Габбер и заделал Олссон. Для определения квази-когерентных пучков на Артиновых стэках обычно используется гладко-этальная топология (lisse-etale topology), но оказывается, что топос, заданный этой топологией, не функториален, что создаёт кучу проблем в основаниях теории. Везде далее можно считать, что X--это схема. Пример нефункториальности данной топологии будет виден уже на уровне схем, единственная причина говорить тут про Артиновы стэки--это контекст в котором актуальна гладко-этальная топология.

Определение: Объектами гладко-этального сайта артинова стэка Х являются схемы с гладким морфизмом в U. Набор отображений {U_i}-->U является покрытием объекта U, если все отображения U_i-->U этальные и объединение образов совпадает со всем U.

Для того, чтобы доказать, что гладко-этальный топос не функториален нужно для начала определить понятие морфизма топосов (под топосом я понимаю просто категорию пучков множеств на каком-то сайте).

Определение: Пусть T_1 и T_2 два топоса (реально можно думать, что T_i=Shv(C_i) для какого-то сайта C_i, никакие больше случаи мне важны не будут), тогда морфизм топосов (f^{-1}, f_*): T_1-->T_2 пара сопряжённых функторов f_*:T_1-->T_2 и f^{-1}:T_2 --> T_1 (f^{-1}-левый сопряжённый, f_*-правый сопряжённый) с условием, что f^{-1}-точен.

Замечание 1: Что вообще значит, что f^{-1} есть точный функтор? Категория пучков множеств Shv(C_i) не абелева. На самом деле это просто жаргон для функтора, который коммутирует со всеми конечными пределами и копределами (равносильно коммутирует с (ко-)эквалайзерами и (ко-)прямыми произведениями). Несложно показать, что в случае морфизма абелевых категорий понятие точного функтора равносильно понятию аддитивного точного функтора в обычном смысле.

Замечание 2: По определению f^{-1} является сопряжённым слева функтором, поэтому он автоматически точен справа (коммутирует с конечными копределами). Следовательно, точность этого функтора равносильна его точности слева, что в свою очередь равносильно сохранению эквалайзеров и конечных произведений.

Замечание 3: Почему это "правильное" определение? Во-первых, мы знаем, что в случае непрерывного морфизма топологических пространств f:X-->Y функтор f^{-1} действительно точен. Ну и вообще это выполняется во многих естественных случаях. Но это объяснение не математическое, давайте скажем почему это важное условие чисто математически. Для простоты ограничимся случае T_i=Shv(C_i), хотя это, конечно, не обязательно. Прежде всего стоит заметить, что f^{-1} должен коммутировать с конечными прямыми произведениями, чтобы переводить пучки абелевых групп на С_2 в пучки абелевых групп на C_1! Действительно, если вы попробуете это строго доказать, то чтобы определить операцию умножения вам будет необходимо требовать, чтобы f^{-1}(AxA) было равно f^{-1}(A)xf^{-1}(A). OK, то есть любое разумное определение морфизма топосов должно требовать, чтобы f^{-1} коммутировал с прямыми произведениями.

Что насчёт эквалайзеров? Тут возникают две проблемы, одну я обсужу сейчас, а другую позже на конкретном примере. Первая проблема состоит в том, что без точности f^{-1} непонятно как строить спектралку Лере-Серра. То есть пусть у меня есть два морфизма топосов (f^{-1}, f_*):T_1-->T_2 и (g^{-1},g_*):T_2-->T_3, тогда хочется сказать, что существует спектральная последовательность

E_2^{p,q}=R^pg_*(T_2, R^qf_* F)=> R^{p+q}(g\circ f)_* F.

Действительно, это "просто" спектралка Гротендика композиции производных функторов (казалось бы). Но нет, чтобы спектралка Гротендика существовала необходимо требовать, чтобы f_* переводил инъективные объекты (пучки) в g_*-ацикличные! И единственный способ это доказывать в такой общности -- это сказать, что f_* есть правый сопряжённый к точному функтору f^{-1}, поэтому он сохраняет инъективные объекты! (Тут важно ещё, что мы считаем производные функторы в категории абелевых пучков, а не Qcoh или \O_X-модулей, чтобы f^{-1} был точен, f^* как правило не точен! Апостериори оказывается не важно считать прямые образы в \O_X-модулях или абелевых группах) Поэтому условие на точность функтора f^{-1} вполне естественно, иначе бы все основания были сильно хуже.

Вернёмся теперь к нашему случаю.
Что мы имеем в виду под функториальностью гладко-этального топоса для артиновых стэков? Мы хотели бы для каждого морфизма f:X-->Y артиновых стэков (опять же можно думать, что везде схемы, это не суть важно) построить морфизм топосов (f^{-1}, f_*):Shv(X_{l-e})-->Shv(Y_{l-e}), но не произвольный, а с заранее выбранным f_*. Предположим опять для простоты, что f:X-->Y представим алгебраическими пространствами (или даже схемами). Тогда у нас есть естественный кандидат на f_*, а именно, мы определяем (f_*F)(U)=F(U\times_Y X)(заметим, что при наших условиях U\times_Y X есть алгебраическое пространство (схема) с гладким морфизмом в Х, следовательно мы можем вычислять значение нашего пучка F на этом объекте. Строго говоря, это требует некоторой аккуратности в случае морфизма представимого алгебраическими пространствами (в моём определении сайте участвуют только схемы), но я не буду этого касаться). В случае произвольного морфизма артиновых стэков см. определение f_* в книжке Олссона "Algebraic Spaces and Stacks" гл.9. Теперь чтобы построить морфизм топосов необходимо построить функтор f^{-1}, сопряжённый к f_* и доказать его точность. Отметим, что у нас уже нет никакой свободы выбора по сути, если f^{-1} существует, то он единственен (вероятно, я должен сказать единственный с точностью до единственного изоморфизма)! Поэтому как только мы выбрали f_*, все остальные данные в определении морфизма топосов становятся условиями.

Оказывается, что f^{-1} всегда существует и конструкция примерно такая же как обычно: нужно взять некоторый копредел, а потом пучковизовать получившийся предпучок (это дело работает для произвольного непрерывного морфизма сайтов, доказательство и конструкция также содержатся в книжке Олссона). И, более того, f^{-1} всегда коммутирует с конечными копределами, что можно увидеть из явной конструкции. Остаётся единственный вопрос:"Верно ли что f^{-1} есть точный функтор?" Оказывается, что нет! По существу проблема состоит в том, что предел, который необходимо брать в определении f^{-1} не является фильтрованным, поэтому непонятно почему он должен быть точным слева. Но вместо этого я лучше построю конкретный контрпример в категории пучков абелевых групп на гладко-этальном сайте (это допустимо, так как f^{-1} коммутирует с конечными произведениями, поэтому переводит пучки абелевых групп в пучки абелевых групп).

Явный пример: рассмотрим замкнутое вложение f:Y:=Spec(k)-->X:=A^1_k=Spec(k[t]) как нулевое сечение (k-поле). Тогда я утверждаю, что f^{-1}\O_X=\O_Y (пулбэк в категории гладко-этальных пучков). Тут я должен объяснить что такое структурный пучок в гладко-этальной топологии, я определяю его как \O_X(U)=\O_U(U), легко проверить, что это действительно пучок абелевых групп в гладко-этальной топологии. Я не описал явную конструкцию для f^{-1}, но для того, чтобы это доказать мы ничего и не будем использовать кроме сопряжённости к функтору f_*.

OK, заметим, что пучок \O_X представлен схемой A^1_X, действительно \O_X(U)=\O_U(U)=Hom_X(U,\A^1_X). Теперь выберем произвольный пучок G в Shv(Y_{l-e}) и посчитаем Hom(f^{-1}\O_X, G) (я обозначаю за h_Z (пред-)пучок представленный схемой Z. Все представимые объекты в нашей топологии являются пучками по стандартному аргументу с строго плоским спуском).

Hom(f^{-1}\O_X, G)=Hom(\O_X, f_*G)=Hom(h_{A^1_X}, f_*G)=(f_*G)(A^1_X)=G(A^1_X\times_X Y)=G(A^1_Y)=Hom(\O_Y,G).

Чем я пользовался, чтобы написать эти равенства? Первое равенство -- сопряжённость f^{-1} и f_*, второе, четвёртое и пятое -- просто определения. Но чтобы написать третье (и шестое) равенство мне критически важно, что A^1_X лежит в гладко-этальном сайте Х, то есть что А^1_X гладко над Х. Иначе я бы просто не мог вычислять f_*(G) на A^1_X, эта схема бы не лежала в сайте и это значение было бы не определено! Также я пользуюсь леммой Йонеды в равенствах 3 и 6.

Теперь мы замечаем, что лемма Йонеды влечёт, что равенство Hom(f^{-1}\O_X,G)=Hom(\O_Y,G) равносильно f^{-1}\O_X=\O_Y. Хочу отметить, что это вычисление совершенно неверно в зариской топологии (не путать с f^*!)и в малой этальной топологии, например (A^1_X-->X не является объектом этих сайтов).

Наконец можно построить конкретный пример, когда f^{-1} не сохраняет точность слева. Рассмотрим морфизм пучков \O_X-->\O_X, заданный просто умножением на t. Этот морфизм инъективный, так как любая схема U c гладким морфизмом g:U-->A^1_k=X является гладкой над Spec k, значит там нет t-кручения, следовательно \O_X(U)-->\O_X(U) инъективно для любого объекта в гладко-этальном сайте X.

Но как только мы возьмём пулбэк этого морфизм на Y=Spec k, то это будет морфизм \O_{Spec k}-->\O_{Spec k}, который есть умножение на "t", но t=0 на Spec k (f:Y-->X есть нулевое вложение), поэтому этот морфизм не будет инъективным! То есть f^{-1} не является точным функтором! То есть гладко-этальный топос действительно не функториален. Удивительно, что никто не замечал эту ошибку до Габбера.








OK, теперь можно задаться насколько плохи наши дела из-за этого факта. Второй вопрос: можно ли использовать другую топологию, чтобы решить проблему нефункториальности? [Далее могут быть какие-то неточности или мелкие ошибки, я не уверен, что я ничего не пропустил или не перепутал]

Начнём с первого. Как я уже говорил непонятно почему существует спектралка Лерэ-Серра для морфизма артиновых стэков. Есть вторая проблема (которую я упоминал выше), а именно, непонятно как определять производный функтор Lf^*:D^{-}_{Qcoh}(\O_Y-mod)-->D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) на уровне производных категорий для (представимого) морфизма f:X-->Y. Для определения квази-когерентного пучка на артиновом стэке нужно опять же смотреть в книжку Олссона. В чём проблема с Lf^*? Для начала мне нужно сказать что значат все эти символы.

Напомню, что функтор f^* определяется как сопряжённый к f_* но в категории пучков \O_X-модулей (легко проверить, что f_*:Shv(X_{l-e})--> Shv(Y_{l-e} переводит пучки \O_X-модулей в пучки \O_Y-модулей), явная конструкция такая:f^*(F)=f^{-1}(F)\otimes_{f^{-1}(\O_Y)}\O_X. Теперь D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) является ограниченной снизу производной категорией комплексов \O_X-модулей с квази-когерентными когомологиями. Я не знаю никакой причины (мб это неверно) почему D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod)=D^{-}(Qcoh(X)), в случае локально-нётеровых схем это реальная теорема, в случае артиновых стэков я не уверен что это правда. Теперь чтобы определить морфизм Lf^*:D^{-}_{Qcoh}(\O_Y-mod)-->D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) нам необходимо проверить, что f^* есть точный справа аддитивный функтор на категории \O_Y-mod, который "переводит комплексы с квази-когерентными когомологиями в комплексы с квази-когерентными когомологиями" (не совсем).

Оказывается, что это неочевидно, но верно, что f^* действительно сохраняет квази-когерентные пучки, но непонятно почему он сохраняет комплексы с квази-когерентными когомологиями. По сути нам необходимо проверить, что после применения f^* к комплексу \O_X-плоских модулей с квази-когерентными когомологиями получается комплекс с квази-когерентными когомологиями. Хочется сказать, что когомологии будут просто пулбэком, но для этого нужна точность f^{-1}(понятно, если попробовать строго доказать).

Удивительным образом обе проблемы (и некоторые другие) были в некоторой степени решены Олссоном в его статье "Sheaves on Artin Stacks" с помощью симплициальных методов (но всё-таки Lf^* не определён на всей D^{-}).

Второй вопрос: На самом деле я не знаю ответа. Большой этальный сайт и большой плоский сайт автоматически функториальны. Поэтому таких проблем не будет, будут проблемы связанные с тем, что вложение категории квази-когерентных пучков в категорию всех пучков не есть точный функтор, поэтому подкатегория квази-когерентных пучков в \O_X-модулях не подкатегория Серра и производная категория D^{-}_{Qcoh}(\O_X) имеет мало смысла, а мы действительно хотим рассматривать в основаниях именно эту категорию. Чтобы увидеть, что Qcoh(X)_{big-flat} --> (\O_X-mod)_{big flat} не является точным функтором достаточно рассмотреть ровно тот же самый пример, что я рассмотрел выше.

Пусть X=A^1_k, тогда строго плоский спуск гарантирует, что категория квази-когерентных пучков в большом плоском сайте эквивалентна категории квази-когерентных пучков в Зарисской топологии. В частности морфизм пучков \O_X-->\O_X, заданный умножением на t инъективный. Но если мы ограничим это дело на Spec k-->A^1_k(нулевое сечение), то этот морфизм станет опять нулевым морфизмом \O_X(Spec k)=k-->k=\O_X(Spec k) (заметим, что тут Spec k-->A^1_k уже лежит в нашем сайте, значит мы можем просто вычислять \O_X на этом объекте и не должны уже доказывать, что f^{-1}\O_X=\O_{Spec k}). То есть в большом плоском сайте этот морфизм уже не инъективный, значит Qcoh(X)--> (\O_X-mod)_{big flat} уже не является точным для X=A^1_k. То есть, кажется, что проблема в обоих подходах по сути заключена в одном и том же, но проявляется чуть по разному.

Тем не менее, на стэкспроджекте теория пучков на артиновых стэках развита в большом плоском сайте. Я это не читал, но, насколько я понимаю, от этого не становится сильно проще жить, и де Йонгу требуется всё равно огромная работа, чтобы всё работало в таком сэттинге. Поправьте меня, если я не прав.