|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2017-11-15 20:57:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Группа Пикара может уменьшаться при сепарабельном расширении полей
В своём предыдущем посте я вкратце рассказал почему для полной(!) геометрически целой схемы X над полем k и (конечного) сепарабельного расширения k'/k, отображение групп Пикара Pic(X) \to Pic(X_{k'})^{Gal(k'/k)} всегда является вложением. Кроме того, я привёл пример геометрически целой гладкой одномерной схемы X и несепарабельного расширения полей k'/k и доказал, что соответствующее ядро есть бесконечная группа кручения, в частности, она даже не конечно-порождена.
В этот раз я хочу показать, что само по себе условие сепарабельности k'/k не влечёт инъективности отображения групп Пикара. В данном примере наша схема опять будет геометрически целой одномерной гладкой линейной алгебраической группой. Но в этот раз вместо формы G_a мы будем иметь дело с формой G_m. Кроме того, как следствие этой конструкции в следующем посте я построю забавный контрпример к Seesaw principle в аффинном случае.
Пусть K-- любое поле характеристики не 2, допускающее расширение степени 2 (которое всегда сепарабельно, так как char K\neq 2). Выберем любое такое квадратичное расширение, обозначим его за L. Группа Галуа Gal(L/K) есть Z/2Z, зафиксируем там образующую t. Мы будем рассматривать группу, которая получается из G_{m,L} с помощью ограничения скаляров Вейля. А именно, G':=R_{L/K} G_{m,L}, стандартный аргумент с инфинитезимальным критерием гладкости показывает, что G' всегда гладкая. Кроме того, сепарабельность расширения L/K влечёт геометрическую связность R_{k'/k}, так как (R_{k'/k} G_m)\otimes k_{s} = G_m \times t^*(G_m) -- связная схема. Более того, этот аргумент показывает, что G' --- двумерная групповая схема, которая является формой G_m^2.
Теперь мы вспомним определение отображения нормы Nm:R_{L/K} G_m \to G_m. Понятие нормы можно определить для любой группы мультипликативного вида, но давайте сделаем это в самом простом случае группы G_m. По определению R_{L/K} G_m(A)=G_m(A\otimes_K L)=(A\otimes_K L)^*, A\otimes_K L является конечным свободным A-модулем, поэтому там определено отображение нормы N:A\otimes_K L \to A (элемент a отправляет в det(L_a) -- детерминант линейного оператора умножения на a). Выберем базис в L над K вида <1,x>, тогда в явном виде это отображение записывается как a+bx|-->a^2-b^2x^2 \in A. Заметим, что N отправляет обратимые элементы в обратимые и является гомоморфизмов групп обратимых элементов. Другими словами, N:(A\otimes_K L)^* \to A^* есть функториальный по А гомоморфизм групп. По лемме Йонеды это задаёт морфизм групповых схем Nm:R_{L/K} G_m \to G_m.
Легко проверить, что отображение R_{L/K} G_m \to G_m сюрьективно. Давайте вычислим его ядро, будет делать это функториально. На уровне A-точек ядро есть пары {(a,b) \in A^2| a^2-x^2b^2=1}. Обозначим ядро за G, я утверждаю, что G_{L} изоморфно G_m. Действительно, определим отображения в обе стороны функториально на уровне А-точек для всякой L-алгебры A. Положим f:G_{L}(A) \to G_m(A) равным f((a,b))=(a+xb) и отображение g:G_m(A) \to G_L(A) равным g(y)=((y+y^{-1})/2,(y-y^{-1})/(2x)). Легко видеть, что эти отображения корректно определены и взаимно-обратны друг другу (важно, что А есть L-алгебра! иначе эти отображения не определены). Таким образом, мы проверили, что G есть геометрически связная гладкая одномерная форма группы G_m. Теперь нам необходимо посчитать группу Пикара G.
Для того, чтобы вычислить Pic(G), мы воспользуемся стандартной теоремой о том, что Pic(G) изоморфно расширениям G при помощи G_m в категории алгебраических групп над k. Мы будем обозначать последнюю группу за Ext^1(G,G_m). Это теорема не вполне тривиальна, я не хочу сейчас вдаваться в подробности её доказательства, давайте я только объясню как строятся отображения. Морфизм Ext^1(G,G_m) \to Pic(G) построить несложно, любое расширение задаёт G_m торсор над G, а G_m-торсоры находятся в биекции с обратимыми расслоениями. Таким образом мы определяем i:Ext^1(G,G_m) \to Pic(G), заметим, что это отображение определено для любой группы G. В другую сторону определить отображение несколько сложнее, и на самом деле не для любой группы это возможно. Идея заключается в том, чтобы по данному пучку L\in Pic(G) построить канонически структуру группы на "L^*", где под последним я имею тотальное пространство линейного расслоения L с выкинутым нулевым сечением. Более или менее, это сводится к равенству m^*L=p_1^*L\otimes p_2^*L, где m (соотв. p_1, p_2): G\times G \to G есть морфизм умножения (соотв. проекция на первый и второй факторы) и теореме Розенлихта об единицах. Грубо говоря, первое равенство позволяет определить структуру группы на L^*, а теорема Розенлихта об единицах позволяет сделать эту структуру группы согласованной со структурой группы на G и, более того, показывает единственность такой групповой структуры на L^*. То есть линейному расслоению мы сопоставляем расширение
0 --> G_m --> L^* --> G --> 0.
Зная единственность групповой структуры на L^* нетрудно проверить взаимно-обратность построенных отображений. Теперь я должен объяснить как можно доказывать равенство m^*L=p_1^*L\otimes p_2^*L. Ключевым соображением является рациональность G_{k_{sep}}, из которой следует равенство Pic(G\times G)=Pic(G)\oplus Pic(G). В нашем случае группа G_{k_{sep}}=G_m безусловно рациональна.
Мы свели задачу к вычислению Ext^1(G,G_m). Заметим, что G есть тор, ровно как и G_m. Расширение тора при помощи тора всегда тор (например, потому что расширение разрешимых разрешимо, а разрешимая группа в которой все \bar k точки полупросты есть тор). Значит мы может считать Ext уже в категории торов над k. Но категория торов над k антиэквивалентна категории свободных конечных Z-модулей с действием группы галуа Г_K:=Gal(K_{sep}/K). При этом отображении тор T переходит в Hom_{gp}(T_{k_{sep}},G_m). Очевидно, что решётка, соответствующая G_m, есть просто Z. Пусть M=Hom_{gp}(G_{k_{sep}},G_m), так как dim G=1, то заключаем, что размерность M равна 1. Кроме того, G становится изоморфным G_m уже над L, то есть действие Г_K пропускается через Gal(L/K)=Z/2Z. Если бы G было изоморфно G_m, то R_{L/K}G_m было бы расширением G_m при помощи G_m. Все такие расширения тривиальны, то есть в этом случае мы бы имели R_{L/K}G_m =G_m^2. Легко видеть, что это не так, например, из того, что (R_{L/K}G_m)_L=G_m\times t^*(G_m). В частности действие Gal(L/K) нетривиально на решётке, соответствующей R_{L/K}G_m. Получаем, что G не изоморфно G_m, следовательно, действие Gal(L/K) должно быть нетривиально на M. Единственное такое действие -- это действие, при котором образующая t действует умножением на -1.
Собирая всё вместе, мы получили, что Pic(G)=Ext^1(G,G_m)=Ext^1_{Z[Г_L]}(\Z, M). Но последняя группа по определению равна H^1(Г_L,M). Осталось её посчитать, в Г_K есть нормальная подгруппа Г_L индекса 2. Из спектральной последовательности Хохшильда-Серра мы имеем точную последовательность
0 --> H^1(Gal(L/K), M) --> H^1(Г_K, M) --> H^1(Г_L, M).
Действие Г_L на М тривиально, поэтому H^1(Г_L,M)=H^1(Г_L,Z)=Hom_{cont}(Г_L,Z)=0,
Прямое (несложное) вычисление с коциклами показывает, что H^1(Z/2Z,Z)= {(0,b)|b\in Z}/{(0,2b)|b\in Z}=Z/2Z. Таким образом, Pic(G)=H^1(G_K,M)=Z/2Z! Но как мы уже заметили G_{L}=G_m, а значит Pic(G_L)=0. Как следствие, Pic(G) \to Pic(G_L)^{Gal(L/K)} не инъективно!
В своём предыдущем посте я вкратце рассказал почему для полной(!) геометрически целой схемы X над полем k и (конечного) сепарабельного расширения k'/k, отображение групп Пикара Pic(X) \to Pic(X_{k'})^{Gal(k'/k)} всегда является вложением. Кроме того, я привёл пример геометрически целой гладкой одномерной схемы X и несепарабельного расширения полей k'/k и доказал, что соответствующее ядро есть бесконечная группа кручения, в частности, она даже не конечно-порождена.
В этот раз я хочу показать, что само по себе условие сепарабельности k'/k не влечёт инъективности отображения групп Пикара. В данном примере наша схема опять будет геометрически целой одномерной гладкой линейной алгебраической группой. Но в этот раз вместо формы G_a мы будем иметь дело с формой G_m. Кроме того, как следствие этой конструкции в следующем посте я построю забавный контрпример к Seesaw principle в аффинном случае.
Пусть K-- любое поле характеристики не 2, допускающее расширение степени 2 (которое всегда сепарабельно, так как char K\neq 2). Выберем любое такое квадратичное расширение, обозначим его за L. Группа Галуа Gal(L/K) есть Z/2Z, зафиксируем там образующую t. Мы будем рассматривать группу, которая получается из G_{m,L} с помощью ограничения скаляров Вейля. А именно, G':=R_{L/K} G_{m,L}, стандартный аргумент с инфинитезимальным критерием гладкости показывает, что G' всегда гладкая. Кроме того, сепарабельность расширения L/K влечёт геометрическую связность R_{k'/k}, так как (R_{k'/k} G_m)\otimes k_{s} = G_m \times t^*(G_m) -- связная схема. Более того, этот аргумент показывает, что G' --- двумерная групповая схема, которая является формой G_m^2.
Теперь мы вспомним определение отображения нормы Nm:R_{L/K} G_m \to G_m. Понятие нормы можно определить для любой группы мультипликативного вида, но давайте сделаем это в самом простом случае группы G_m. По определению R_{L/K} G_m(A)=G_m(A\otimes_K L)=(A\otimes_K L)^*, A\otimes_K L является конечным свободным A-модулем, поэтому там определено отображение нормы N:A\otimes_K L \to A (элемент a отправляет в det(L_a) -- детерминант линейного оператора умножения на a). Выберем базис в L над K вида <1,x>, тогда в явном виде это отображение записывается как a+bx|-->a^2-b^2x^2 \in A. Заметим, что N отправляет обратимые элементы в обратимые и является гомоморфизмов групп обратимых элементов. Другими словами, N:(A\otimes_K L)^* \to A^* есть функториальный по А гомоморфизм групп. По лемме Йонеды это задаёт морфизм групповых схем Nm:R_{L/K} G_m \to G_m.
Легко проверить, что отображение R_{L/K} G_m \to G_m сюрьективно. Давайте вычислим его ядро, будет делать это функториально. На уровне A-точек ядро есть пары {(a,b) \in A^2| a^2-x^2b^2=1}. Обозначим ядро за G, я утверждаю, что G_{L} изоморфно G_m. Действительно, определим отображения в обе стороны функториально на уровне А-точек для всякой L-алгебры A. Положим f:G_{L}(A) \to G_m(A) равным f((a,b))=(a+xb) и отображение g:G_m(A) \to G_L(A) равным g(y)=((y+y^{-1})/2,(y-y^{-1})/(2x)). Легко видеть, что эти отображения корректно определены и взаимно-обратны друг другу (важно, что А есть L-алгебра! иначе эти отображения не определены). Таким образом, мы проверили, что G есть геометрически связная гладкая одномерная форма группы G_m. Теперь нам необходимо посчитать группу Пикара G.
Для того, чтобы вычислить Pic(G), мы воспользуемся стандартной теоремой о том, что Pic(G) изоморфно расширениям G при помощи G_m в категории алгебраических групп над k. Мы будем обозначать последнюю группу за Ext^1(G,G_m). Это теорема не вполне тривиальна, я не хочу сейчас вдаваться в подробности её доказательства, давайте я только объясню как строятся отображения. Морфизм Ext^1(G,G_m) \to Pic(G) построить несложно, любое расширение задаёт G_m торсор над G, а G_m-торсоры находятся в биекции с обратимыми расслоениями. Таким образом мы определяем i:Ext^1(G,G_m) \to Pic(G), заметим, что это отображение определено для любой группы G. В другую сторону определить отображение несколько сложнее, и на самом деле не для любой группы это возможно. Идея заключается в том, чтобы по данному пучку L\in Pic(G) построить канонически структуру группы на "L^*", где под последним я имею тотальное пространство линейного расслоения L с выкинутым нулевым сечением. Более или менее, это сводится к равенству m^*L=p_1^*L\otimes p_2^*L, где m (соотв. p_1, p_2): G\times G \to G есть морфизм умножения (соотв. проекция на первый и второй факторы) и теореме Розенлихта об единицах. Грубо говоря, первое равенство позволяет определить структуру группы на L^*, а теорема Розенлихта об единицах позволяет сделать эту структуру группы согласованной со структурой группы на G и, более того, показывает единственность такой групповой структуры на L^*. То есть линейному расслоению мы сопоставляем расширение
0 --> G_m --> L^* --> G --> 0.
Зная единственность групповой структуры на L^* нетрудно проверить взаимно-обратность построенных отображений. Теперь я должен объяснить как можно доказывать равенство m^*L=p_1^*L\otimes p_2^*L. Ключевым соображением является рациональность G_{k_{sep}}, из которой следует равенство Pic(G\times G)=Pic(G)\oplus Pic(G). В нашем случае группа G_{k_{sep}}=G_m безусловно рациональна.
Мы свели задачу к вычислению Ext^1(G,G_m). Заметим, что G есть тор, ровно как и G_m. Расширение тора при помощи тора всегда тор (например, потому что расширение разрешимых разрешимо, а разрешимая группа в которой все \bar k точки полупросты есть тор). Значит мы может считать Ext уже в категории торов над k. Но категория торов над k антиэквивалентна категории свободных конечных Z-модулей с действием группы галуа Г_K:=Gal(K_{sep}/K). При этом отображении тор T переходит в Hom_{gp}(T_{k_{sep}},G_m). Очевидно, что решётка, соответствующая G_m, есть просто Z. Пусть M=Hom_{gp}(G_{k_{sep}},G_m), так как dim G=1, то заключаем, что размерность M равна 1. Кроме того, G становится изоморфным G_m уже над L, то есть действие Г_K пропускается через Gal(L/K)=Z/2Z. Если бы G было изоморфно G_m, то R_{L/K}G_m было бы расширением G_m при помощи G_m. Все такие расширения тривиальны, то есть в этом случае мы бы имели R_{L/K}G_m =G_m^2. Легко видеть, что это не так, например, из того, что (R_{L/K}G_m)_L=G_m\times t^*(G_m). В частности действие Gal(L/K) нетривиально на решётке, соответствующей R_{L/K}G_m. Получаем, что G не изоморфно G_m, следовательно, действие Gal(L/K) должно быть нетривиально на M. Единственное такое действие -- это действие, при котором образующая t действует умножением на -1.
Собирая всё вместе, мы получили, что Pic(G)=Ext^1(G,G_m)=Ext^1_{Z[Г_L]}(\Z, M). Но последняя группа по определению равна H^1(Г_L,M). Осталось её посчитать, в Г_K есть нормальная подгруппа Г_L индекса 2. Из спектральной последовательности Хохшильда-Серра мы имеем точную последовательность
0 --> H^1(Gal(L/K), M) --> H^1(Г_K, M) --> H^1(Г_L, M).
Действие Г_L на М тривиально, поэтому H^1(Г_L,M)=H^1(Г_L,Z)=Hom_{cont}(Г_L,Z)=0,
Прямое (несложное) вычисление с коциклами показывает, что H^1(Z/2Z,Z)= {(0,b)|b\in Z}/{(0,2b)|b\in Z}=Z/2Z. Таким образом, Pic(G)=H^1(G_K,M)=Z/2Z! Но как мы уже заметили G_{L}=G_m, а значит Pic(G_L)=0. Как следствие, Pic(G) \to Pic(G_L)^{Gal(L/K)} не инъективно!
