ljr_math: Плотность состояний для совместного спектра

(Анонимно)
2006-02-16 13:54 (ссылка)

Уважаемый П_к!
А можете вы попытаться обьяснить суть вашего вопроса
для физика: то есть на несколько менее формальном ( без C* алгебр) языке?
Тем более, что терминологически вы все равно
используете "плотность состояний" (физ.терминологию), а не "плотность собственных значений" (мат. терминологию).
Я правильно понял, что имеется два коммутирующих самосопряженных оператора (бесконечномерных? или это могут быть конечномерные матрицы?), и вы хотите найти их общий (дискретный?)
спектр? Вы ищете обобщение "формулы Сохоцкого"
(дельта-функция Диракa как Im 1/х) на этот случай?
Почему требуется обобщение (что плохого ожидается от использования стандартной формулы? Или бывает так, что не весь спектр общий?
Извините за невежество.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

p_k
2006-02-16 14:32 (ссылка)

Вместо C*-алгебры можно считать, что мы имеем дело с какой-то подалгеброй алгебры ограниченных операторов в некоем гильбертовом пространстве (это привязывает нас к конкретному представлению, но в той мере, в которой свойства представления не используются, разницы никакой).

Совместный спектр двух коммутирующих операторов - это подмножество C^2 (или R^2, если операторы эрмитовы). След на алгебре задает на этом множестве меру - плотность состояний. В частности, для маленькой площадки на R^2 можно сказать, какая доля от всех состояний там содержится. В случае одного оператора, тот же вопрос ставится про отрезок прямой, и ответ на него такой - надо рассмотреть спектральную проекцию а отрезок (она может не лежать в той же алгебре, но это не важно), и взять ее след. Такая проекция легко строится из резольвенты с помощью интеграла по контуру, охватывающему отрезок, откуда немедленно следует формула для плотности состояний через мнимую часть следа резольвенты (которая в случае конечных матриц и есть формула Сохоцкого).

Просто так применить эту формулу к совместному спектру, естественно, нельзя - что такое "совместная резольвента" двух операторов? Надо, по видимому, строить спектральный проектор на состояния со спектром внутри площадки, и считать его след, вопрос только - как? Очевидно, что этот вопрос исследован, уж больно он классический, может кто подскажет - где искать?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2006-02-16 17:47 (ссылка)

То есть проблема, как я понял, сводится к
тому, как в явном виде выделить из спектрального разложения резольвент
G_1(Е) и G_2(Е) каждого оператора кусок
соответствующий общим собственным векторам
(это вы повидимому и имеете ввиду под "спроектировать").

Наивно, казалось бы, \int dЕ_1 Тr [G_1(Е_1)G_2(Е_2)]
(знак следа -общий для произведения)
и должен оставлять такой кусок из Tr[G_2(Е_2)], после чего
взытие мнимой части должно дать требуемую плотность
для второго оператора. Но наверное это ошибочное ощущение,
ибо иначе бы вы не спрашивали...

(Ответить) (Уровень выше)

(Анонимно)
2006-02-16 17:57 (ссылка)

(Ответить) (Уровень выше)

(Анонимно)
2006-02-17 00:24 (ссылка)

В случае конечномерных операторов (матриц) можно действовать так:
Обозначив соответствующие матрицы А и B, а их действительные собственные значения,
соответствующие общему собств. вектору через $х_i, y_i$, соответственно. Введем (неермитову) матрицу $H=А+iB$.
Так как [А,B]=0, то собственные значения $H$ будут $z_i=х_i+iy_i$. Рассмотрим оператор $F_{\epsilon}(z,z^*)=\frac{1}{4\pi} Tr\ln [(z-H)(z-H)^*+\epsilon^2 I ]$, где I есть "identity matrix", а $H^*$ обозначает ермитово сопряженные.
Нетрудно проверить, что действие двумерного лапласиана $\Delta=\frac{\partiial}{\partial z\partial z^*}$ на $F(z,z^*)$ и последующий предельный переход $\epsilon\to 0$ в точности дает сумму (двумерных) дельта-функций вокруг каждого из
собственных значений $z_i$, то есть это и есть нужная вам "считающая мера". Я думаю, что для "разумных" операторов эта схема тоже должна быть применима, но конечно надо понять , при каких условиях.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

p_k
2006-02-23 03:06 (ссылка)

Я думал как раз о чем-то подобном. Собственно, двумерного лапласиана даже не нужно, достаточно взять след от резольвенты $H=А+iB$ и вычислить у него антиголоморфную производную, она как раз даст совместную плотность состояний. Однако у этого подхода есть дефект - он работает только для двух эрмитовых операторов.

Предложенное в комменте раньше годится, конечно, но там тоже есть дефект - это очень неинвариантный подход. Смотрите - если есть операторы A и B, их можно смешать - сделать X=(A+B)/sqrt(2) и Y=(A-B)/sqrt(2). Если вычислить совместный спектр X и Y, то получится повернутый на 45 градусов спектр A и B, то же касается плотности состояний. Хотелось бы, чтобы формула для плотности состояний имела бы такую же симметрию (а произведение функций Грина для A и B - не имеет).

(Ответить) (Уровень выше)