Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth) в [info]ljr_math
@ 2006-03-19 22:59:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:King Tubby - CRUCIAL DUB

SU(4)=Spin(6)
Как увидеть изоморфизм SU(4)=Spin(6).

Рассмотрим 4-мерное комплексное эрмитово
пространство V. \Lambda^2(V) - комплексное
шестимерное пространство, наделенное
эрмитовой метрикой (полученной из V)
и C-линейным отображением
\Lambda^2(V)\times \Lambda^2(V)\arrow \Lambda^4(V)=C.
Композиция эрмитовой метрики и спаривания
задает вещественную структуру на \Lambda^2(V):
\[
\Lambda^2(V)=\Lambda^2_+(V)\oplus \Lambda^2_-(V),
\]
при этом эрмитова структура положительно
определена на $\Lambda^2_+(V)$ и отрицательно
определена на $\Lambda^2_-(V)$.

Поскольку действие SU(4) сохраняет и эрмитову
структуру, и комплексный детерминант,
SU(4) сохраняет это разложение.
Это задает действие SU(4) на шестимерном пространстве,
к примеру \Lambda^2_+(V). Поскольку эрмитова метрика
на $\Lambda^2_+(V)$ положительно определена,
мы получили гомоморфизм SU(4) -> SO(6).
Поскольку SU(4) односвязно, он поднимается
до отображения в Spin(6). Легко проверить,
что мы получили изоморфизм: обе группы
односвязны, одной размерности, а если
элемент SU(4) действует тривиально на
$\Lambda^2_+(V)$, он тривиально действует
и на $\Lambda^2_-(V)$, то есть сохраняет
все вообще 2-формы, а значит является
плюс-минус единицей.

Привет



(Добавить комментарий)


[info]migmit.livejournal.com
2006-03-21 21:58 (ссылка)
Я, конечно, тормоз, но... разве Spin_6 изоморфно не SL_4?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2006-03-22 00:57 (ссылка)
SU(4) - компактная форма SL(4,\C).
Поэтому комплексификации SU(4) и SL(4, R) изоморфны.
Но глупо ожидать, что компактнтая группа
Spin(6) будет изоморфна некомпактной.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]migmit.livejournal.com
2006-03-22 13:14 (ссылка)
И правда тормоз. Спасибо.

(Ответить) (Уровень выше)