Настроение: | tired |
Музыка: | King Tubby - CRUCIAL DUB |
SU(4)=Spin(6)
Как увидеть изоморфизм SU(4)=Spin(6).
Рассмотрим 4-мерное комплексное эрмитово
пространство V. \Lambda^2(V) - комплексное
шестимерное пространство, наделенное
эрмитовой метрикой (полученной из V)
и C-линейным отображением
\Lambda^2(V)\times \Lambda^2(V)\arrow \Lambda^4(V)=C.
Композиция эрмитовой метрики и спаривания
задает вещественную структуру на \Lambda^2(V):
\[
\Lambda^2(V)=\Lambda^2_+(V)\oplus \Lambda^2_-(V),
\]
при этом эрмитова структура положительно
определена на $\Lambda^2_+(V)$ и отрицательно
определена на $\Lambda^2_-(V)$.
Поскольку действие SU(4) сохраняет и эрмитову
структуру, и комплексный детерминант,
SU(4) сохраняет это разложение.
Это задает действие SU(4) на шестимерном пространстве,
к примеру \Lambda^2_+(V). Поскольку эрмитова метрика
на $\Lambda^2_+(V)$ положительно определена,
мы получили гомоморфизм SU(4) -> SO(6).
Поскольку SU(4) односвязно, он поднимается
до отображения в Spin(6). Легко проверить,
что мы получили изоморфизм: обе группы
односвязны, одной размерности, а если
элемент SU(4) действует тривиально на
$\Lambda^2_+(V)$, он тривиально действует
и на $\Lambda^2_-(V)$, то есть сохраняет
все вообще 2-формы, а значит является
плюс-минус единицей.
Привет