Plurisubharmonic Functions in Calibrated Geometries
Очень интересная статья:
http://arxiv.org/abs/math.CV/0601484
Plurisubharmonic Functions in Calibrated Geometries
Authors: F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson, Jr

Калибрация (calibration) есть, пожалуй, самое важное
понятие, возникшее в дифференциальной геометрии за
последние 30-40 лет. Калибрации были изобретены
Харви и Лоусоном в начале 1980-х. Определяются
они так.

Пусть (M,g) риманово многообразие, \psi замкнутая дифференциальная
i-форма. Форма \psi определяет форму объема V_\psi на всех i-мерных
плоскостях в TM. Другую форму объема R_g задает риманова
метрика (эта форма называется "риманов объем", и
определена она с точностью до знака). Форма \psi называется
калибрацией, если
\[
|V_\psi| \leq |R_g| (*)
\]
для любой i-мерной плоскости. Плоскость называется
калиброванной, если для нее (*) превращается
в равенство. i-мерное подмногообразие называется
калиброванным, если его касательные плоскости все
калиброванные. Отмечу, что калиброванные плоскости
ориентированы; ориентация задается знаком V_\psi.

Почти все геометрические задачи можно описать в терминах
калибраций. Например, на кэлеровом многообразии калибрация
задается любой степенью кэлеровой формы; а калиброванные
подмногообразия - то же самое, что комплексные. На многообразии
Калаби-Яу вещественная часть голоморфной формы объема
тоже является калибрацией; в такой ситуации, калиброванные
подмногообразия суть специальмые лагранжевы подмногообразия,
хорошое известные в струнной физике в связи с гипотезой
Стромингера-Яу-Заслова. На гиперкэлеровом многообразии,
форма \omega_I^2 +\omega_J^2 + \omega_k^2 и все ее степени
тоже задают калибрацию, и калиброванные подмногообразия
в такой ситуации - трианалитические, то есть комплексные
аналитические в любой из комплексных структур, индуцированных
кватернионным действием. На G_2-многообразии, есть две
канонические формы - 3-форма \rho, задающая G_2-структуру,
и *\rho; они обе являются калибрациями, а калиброванные
подмногообразия - ассоциативные и коассоациативные циклы,
тоже весьма важные в струнной физике.

Калиброванные подмногообразия всегда минимальны, то есть
любая их деформация имеет риманов объем такой же или больше.
Это легко видно из того, что подмногообразие
X\subset M, по определению калибрации,
всегда удовлетворяет
\[
\int_X \psi \leq \int_X \Vol_X, (**)
\]
где \Vol_X это риманов объем; слева стоит интеграл
\psi по классу гомологий X, то есть число, не зависящее
от деформации. Поэтому, если (**) превращается
в равенство, это значит, что объем точно минимален.

Калиброванные подмногообразия - единственные, в большой
размерности, минимальные многообразия, для которых можно
что-то доказать - скажем, предел последовательности таких
подмногообразий снова минимальный и калиброванный, с
особенностями в положительной хаусдорфовой коразмерности.

Харви и Лоусон построили теорию плюрисубгармонических
функций на калиброванном многообразии; независимо от меня
(у меня были близкие результаты, но я поленился их публиковать,
ограничившись LJR)

Все дело в том, что оператор dd^c, определенный на
комплексном многообразии и бьющий из функций в 2-формы,
можно обобщить на многообразие с калибрацией. Проще
всего это сделать, если калибрация параллельна относительно
связности Леви-Чивита (и только в такой ситуации я
его и обобщил, см. math.DG/0502540; Харви-Лоусон пошли дальше,
определив его для любой калибрации). Возьмем
коммутатор d^* и умножения на калибрацию; это оператор,
бьющий из k-форм в k+i-1-формы. Этот оператор я назвал d^c,
а Харви-Лоусон d^\phi. Легко видеть, что он
суперкоммутирует с d и с d^*. Оператор dd^c
бьет из функций в i-формы. Назовем функцию f
\phi-плюригармонической, если dd^c f=0 на всех
калиброванных i-плоскостях, и \phi-плюрисубгармонической,
если i-форма dd^c f удовлетворяет dd^c f \geq 0 на любой
калиброванной i-плоскости.

Для таких функций можно доказать многие вещи,
известные из обычной теории плюрисубгармонических
функций. Выпуклые функции автоматически \phi-плюрисубгармоничны;
также \phi-плюрисубгармоничные функции не могут
достигать максимума.

Харви-Лоусон доказывают следующий замечательный факт,
обобщающий хорошо известное свойство вполне вещественных
подмногообразий в комплексных многообразиях. Пусть
X\subset M подмногообразие, такое, что TX не содержит
\phi-калиброванных плоскостей. Тогда квадрат
расстояния до X является в окрестности X
строго \phi-плюрисубгармоническим.

Харви-Лоусон определяют строго псевдовыпуклые калиброванные
пространства; это пространства, допускающие гладкую,
исчерпывающую \phi-плюрисубгармоническую функцию. Такие
пространства являются аналогом многообразий Штейна;
поскольку морсовские особенности \phi-плюрисубгармонических
функций довольно специальные, это дает значительные
ограничения на топологию строго псевдовыпуклых
пространств.

Получены и другие обобщения разных теорем
из комплексного анализа; тоже весьма поучительные.

Привет