C^0-оценки в теореме Калаби-Яу
О сущности теоремы Калаби-Яу я уже распространялся
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/631780.html
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/638955.html

Эта чрезвычайно полезная теорема является в определенном
смысле "основной теоремой алгебраической геометрии", ибо
практически любой труд по многообразиям Калаби-Яу,
гиперкэлеровым либо зеркальной симметрии основывается
на теореме Калаби-Яу и ее использует. Плюс к тому,
естественно, вся струнная физика.

Доказательство этой теоремы населению непонятно,
ее используют в качестве "черного ящика"; людей,
разбиравших доказательство целиком, по всему миру
человек 30. Я расскажу вкратце, как оно устроено,
и воспроизведу самую простую из нужных оценок.

Итак, мы имеем дело с компактным кэлеровым
мноообразием $(M, I, g, \omega, \rho)$, $\dim_\C M =n$.
Здесь I - оператор комплексной структуры, g метрика,
$\omega(x, y):= g(x, Iy)$ эрмитова форма, а
$\rho:= \Theta_K$ кривизна канонического класса,
являющаяся (1,1)-формой. Кривизной Риччи многообразия
$M$ называется симметрическая форма $i\rho(x, Iy)$.
Обычное определение кривизны Риччи другое (и более
общее), но для кэлеровой геометрии это удобнее.

$M$ называется многообразием
Калаби-Яу, если на нем задано невырожденное сечение
канонического класса $\Omega$. В этом случае, естественно,
$\rho$ когомологично нулю. Если $\rho=0$, $М$ называется
Риччи-плоским. Риччи-плоские кэлеровы метрики
называются метриками Калаби-Яу.

ТЕОРЕМА 1 (Калаби-Яу) Пусть
$(M, I, g, \omega, \rho, \Omega)$. - многообразие
Калаби-Яу. Тогда в классе когомологий $[\omega]$
существует и единственна метрика Калаби-Яу.

Единственность метрики Калаби-Яу была доказана Калаби в
начале 1950-х, существование - предложено Калаби как гипотеза,
и доказано Яу в 1976; за этот результат Яу дали различные премии.

Та часть доказательства, за которую отвечает Калаби,
весьма красивая. Сначала надо переформулировать свойство
риччи-плоскости в терминах уравнения Монжа-Ампера, это
делается так.

Теорема Калаби-Яу и уравнение Монжа-Ампера

Заметим, что канонический класс $M$ тривиализован формой
$\Omega$. В этой тривиализации, метрика на каноническом


классе записывается так:
\[
|\Omega|^2 = \frac{\Omega \wedge \bar\Omega}{\Vol_M}
\]
где $\Vol_M$ - форма риманова объема на $M$. Это определение
метрики на кан. классе. Кривизна канонического класса
записывается, по известной формуле, так
\[
\rho = d d^c \log |\Omega|^2
\]
С другой стороны,
\[
\Vol_M = \frac{1}{2^n n!} \omega^n.
\]
Поэтому $\rho=0$ тогда и только тогда, когда
\[
\frac{\omega^n}{\Omega \wedge \bar\Omega}=const. (*)
\]
Обозначим за $d^c$ "скрученный дифференциал де Рама" $- I d I$.
Две разные кэлеровы формы в одном классе когомологий
отличаются на $d d^c \phi$, где $\phi$ это функция.
Это следует из известной "$dd^c$-леммы".

ЛЕММА ($dd^c$-лемма) Если $\eta$ точная (p,q)-форма
на компактном кэлеровом многообразии, то $\eta = dd^c\eta'$,
для какой-то (p-1,q-1)-формы $\eta'$.

Поэтому риччи-плоскую кэлерову метрику можно искать в виде
$\omega + d d^c \phi$. Уравнение (*) в такой ситуации
равносильно такому
\[
\frac{(\omega+dd^c\phi)^n}{\omega^n}= e^f, (**)
\]
где $e^f = \frac{\Omega \wedge \bar\Omega}{\omega^n}$.

Это уравнение называется "уравнение Монжа-Ампера". Напишем
\[
MA(\phi):= \frac{(\omega+dd^c\phi)^n}{\omega^n}.
\]
В силу (**), метрика $\omega + d d^c \phi$ является
Риччи-плоской тогда и только тогда, когда $MA(\phi)=e^f$.

Отметим, что из (**) сразу следует, что
(1,1)-форма $\omega + d d^c \phi$ положительно определена.
Действительно, детерминант этой формы положителен,
значит сигнатура ее постоянна. С другой стороны, в
точке, где $\phi$ достигает минимума, (1,1)-forma
$dd^c\phi$ положительна, значит, $\omega+dd^c\phi$
положительно определена.

Поэтому вот такое утверждение равносильно теореме Калаби-Яу

ТЕОРЕМА 2. Пусть $(M, \omega)$ - компактное
кэлерово многообразие (не обязательно Калаби-Яу), а
$f$ - любая гладкая функция на $M$, такая, что
\[
\int_M e^f \omega^n = \int_M \omega^n. (***)
\]

Тогда
$MA(\phi)=e^f$ имеет решение $\phi$, причем единственное
(с точностью до константы).

Именно его и доказывают.

Единственность решений Монжа-Ампера

Пусть $\omega_1$, $\omega_2$ - кэлеровы формы, соответствующие
двум разным решениям (***), $\omega_i = \omega + d d^c \phi_i$,
и $\phi= \phi_1 - \phi_2$.
Поскольку $\omega_1^n=\omega_2^n$,
имеем
\[
0 = \omega_1^n-\omega_2^n
= (\omega_1-\omega_2)\wedge (\omega_1^{n-1}
+ \omega_1^{n-2}\wedge \omega_2 + \omega_1^{n-3}\wedge \omega_2^2 + ...)
\]
Обозначим $(n-1, n-1)$-форму в скобках за $P$.
Это уравнение переписывается как
\[
dd^c\phi \wedge P = 0.
\]
Форма $P$ положительно; воспользовавшись нехитрой
линейной алгеброй, нетрудно убедиться, что $P= \alpha^{n-1}$,
где $\alpha$ есть положительная $(1,1)$-форма.
Но уравнение $dd^c\phi \wedge\alpha^{n-1}=0$
означает, что $\phi$ гармонична относительно
оператора Лапласа, связанного с $\alpha$. Значит,
$\phi$ - константа.

Метод непрерывности

Яу доказал свою теорему посредством изобретенного
им "метода непрерывности". А делается это так.

Напишем уравнение с параметром $t\in [0,1]$,
\[
MA(\phi)=A_t e^{tf}, (****)
\]
где $A_t$ - вещественная константа, выбираемая таким
образом, чтобы $\int_M \omega^n = \int_M A_t e^{tf} \omega^n$.
При $t=0$ это уравнение имеет решение $\phi=0$, а при
$t=1$ превращается в искомое. Обозначим за $S$ подмножество
$[0,1]$, при котором (****) имеет решение. Яу доказал,
что $S$ одновременно открыт и замкнут, таким образом,
совпадает с [0,1]. Это и называется "метод непрерывности".

Оператор $MA(\phi)$ эллиптический, и его линеаризация
это оператор Лапласа. Поэтому на соответствующем
банаховом пространстве $MA$ действует как изоморфизм,
в частности, является наложением. Чтобы доказать, что
решение Монжа-Ампера, полученное таким образом (обобщенное,
соответственно, возможно, особое) является гладкой функцией,
требуется оценка на это решение и его производные. Чтобы
доказать, что предел решений Монжа-Ампера опять
решение Монжа-Ампера, нужно нечто вроде теоремы
Арцела-Асколи, то есть равномерная непрерывность
и ограниченность решений. Для этого тоже нужны оценки.
Таким образом, теорема Калаби-Яу вытекает из
"априорных оценок" на решения и их производные,
в терминах $M$, $\omega$ и $f$.

Априорные оценки на решения Монжа-Ампера

Напомню, что $C^0$-норма на сечениях расслоения $B$ с метрикой
на компактном римановом многообразии задается как
\[
|\phi|_{C^0}= \sup|\phi|.
\]
Если ж на $B$ задана связность $\nabla$,
можно взять ее $k$-ю степень (применяя где надо связность
Леви-Чивита), $\nabla^k:\; B \arrow (\Lambda^1)^{\otimes k} B$.
Тогда $|\phi|_{C^k}$ есть $C_0$-норма $\nabla^k \phi$,
\[
|\phi|_{C^k} = \sup | \nabla^k \phi|,
\]

ТЕОРЕМА 3. В условиях Теоремы 2, предположим, что
$\phi$ - решение уравнения Калаби-Яу,
$MA(\phi)= e^f$, причем $\int_M \phi \Vol_M=0$
(последнее условие нужно, потому что $\phi$ определено
с точностью до константы). Тогда существуют константы
$A_0$, $A_2$, $A_3$, зависящие от $\omega$ и $f$,
такие, что норма $\phi$ ограничена
следующим образом
\[
|\phi|_{C^0}< A_0, \ \ |\phi|_{C^2}< A_2, \ \ |\phi|_{C^3}< A_3,
\]
Оценки эти доказываются последовательно: нулевая, из нее
выводится вторая и третья. Нулевая самая трудная, но
концептуально, наоборот, наиболее внятная. Я расскажу
только про нее.

Схема доказательства этой оценки такая.

1. Получаем $L^2$-оценку на $\phi$.

2. Из $L^p$-оценки выводим $L^{p\mu}$-оценку,
где $\mu= \frac{2n}{2n-1}$. По индукции получаем,
$|\phi|_{L^p}$ для всех $p2$ ограничена константой, выражающейся
через $f$ и $\omega$.

3. Это дает оценку на $|\phi|_{L^\infty}$. Но $L^\infty$-норма и
есть $C^0$-норма.

Получение априорной $L^2$-оценки решений Монжа-Ампера

Пусть $\omega_1=\omega+ dd^c \phi$ - решение уравнения
Монжа-Ампера $\omega_1^n = e^f \omega$. Тогда
\[
(1-e^f)\omega^n = \omega^n-\omega_1^n
= dd^c \phi\wedge (\omega^{n-1}
+ \omega^{n-2}\wedge \omega_1 + \omega^{n-3}\wedge
\omega_1^2 + ...) = dd^c \phi\wedge P,
\]
где $P = \alpha^{n-1}$ - $(n-1, n-1)$-форма, определенная
чуть выше. По построению, ясно, что $\alpha\geq \omega$
(т.е. собственные значения формы $\alpha-\omega$
неотрицательны.
Поэтому
\[ \Vol(\alpha, M) (d\phi, d\phi)_\alpha =
\int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge P \geq
\int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge \omega^{n-1}
= \Vol_M (d\phi, d\phi)_\omega
\]
где $\Vol(\alpha, M)$ обозначает риманов объем $M$, взятый
относительно эрмитовой формы $\alpha$.
Домножив форму $\omega$ на константу,
можно считать, что риманов объем $\Vol_M$
равен 1. Мы будем работать в этом предположении. Тогда
из вышеприведенного неравенства следует, что
\[
\int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge P \geq |d\phi|^2_{L^2} (1.1)
\]
Воспользовавшись формулой Стокса, напишем
\[
0 = \int_M d(\phi\wedge d^c \phi\wedge P)=
\int \phi dd^c \phi\wedge P + \int_M d\phi\wedge d^c
\phi\wedge P. (1.2)
\]
Поскольку $(1-e^f)\omega^n = dd^c \phi\wedge P,$
имеем
\[
\int \phi dd^c \phi\wedge P\leq |\phi|_{L^1} C
\]
где $C= \sup |1-e^f|$.
Поэтому (1.2) влечет
\[
C|\phi|_{L^1}\geq
\int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge P
\geq |d\phi|^2_{L^2} (1.3)
\]
(последнее неравенство следует из (1.1).)
Напомню неравенство Гельдера:

ЛЕММА (неравенство Гельдера)
На компактном многообразии, имеем
\[
|x|_{L^p} |y|_{L^p} \geq |xy|_{L^r},
\]
если $r= \frac{pq}{p+q}$.

Подставляя $y=1$, получаем
\[
|x|_{L^p} (\Vol_M)^{1/p} \geq |x|_{L^r}
\]
Поскольку $\Vol_M=1$, это неравенство означает,
что $ |x|_{L^p}$ неубывает как функция $p$.
В частности,
\[
|\phi|_{L^1}\leq |\phi|_{L^2}.
\]
Также имеем $|d\phi|_{L^2}\leq \lambda^{-1} |\phi|_{L^2}$,
где $\lambda$ - наименьшее собственное значение лапласиана
на функциях. Подставляя это в (1.3), получаем
\[
C \lambda^{-1}|\phi|_{L^2}\geq |\phi|_{L^2}^2.
\]
т.е. $|\phi|_{L^2} \leq C\lambda^{-1}$.
$L^2$-оценка получена.

Выведение $L^{p\mu}$-оценки из $L^p$-оценки

Хочу отметить, что функция $\phi|\phi|^{p-1}$
определена для любого вещественного $p$, и ее
дифференциал равен
\[
d(\phi|\phi|^{p-1}) = (p-1)|\phi|^{p-2}d\phi
\]
Имеем
\[
0 = \int_M d(\phi|\phi|^{p-1}\wedge d^c \phi\wedge P)=
\int_M \phi |\phi|^{p-1}dd^c \phi\wedge P +
(p-1) \int_M|\phi|^{p-2} d\phi\wedge d^c \phi\wedge P. (2.1)
\]
Пользуясь
$(1-e^f)\omega^n = dd^c \phi\wedge P,$
получаем, что первый член слева от равенства (2.1)
оценивается как
\[
\int_M \phi |\phi|^{p-1}dd^c \phi\wedge P \leq C
|\phi|_{L^p-1}^{p-1} (2.2)
\]
Также имеем
\[
\int_M|\phi|^{p-2} d\phi\wedge d^c \phi\wedge P
= \frac{4}{p^2} \int_M d(|\phi|^{p/2})\wedge d^c (|\phi|^{p/2})\wedge P.
\]
Рассуждение, аналогичное приведенному выше, дает
\[
\int_M|\phi|^{p-2} d\phi\wedge d^c \phi\wedge P\geq
|d(|\phi|^{p/2})|_{L^2}^2.
\]
Сравнивая это с (2.2), получаем
\[
C |\phi|_{L^p-1}^{p-1}\geq \frac{4(p-1)}{p^2} |d(|\phi|^{p/2})|_{L^2}^2. (2.3)
\]
Это обобщение аналогичного неравенства, полученного
при выводе $L^2$-оценки. В предлопожении $p\geq 2$, констант
справа от неравенства можно упростить, ибо она меньше $1/p$.
Поэтому
\[
C p|\phi|_{L^p-1}^{p-1}\geq |d(|\phi|^{p/2})|_{L^2}^2. (2.3)
\]

Воспользуемся леммой Соболева

ЛЕММА (Соболев). Пусть $\psi$ - гладкая функция на
$m$-мерном многообразии, $\mu=\frac{m}{m-1}$. Тогда
\[
|\psi|^2_{L^{2\mu}}\leq |d\psi|^2_{L^2}+ |\psi|^2_{L^2}
\]
Доказательство: естественное отображение соболевских пространств
$L^2_1(M) \arrow L^{2\mu}$ непрерывно. \endproof

Теперь, из (2.3) сразу вытекает
\[
C p |\phi|_{L^p-1}^{p-1}\geq |\phi|^p_{L^{\mu p}} - |\phi|^p_{L^{p}}
\]
Нужная нам форма неравенства такая
\[
|\phi|^p_{L^{\mu p}}\leq |\phi|^p_{L^{p}} + C p |\phi|_{L^p-1}^{p-1}. (2.4)
\]
Рассмотрим функцию $R(p):= |\phi|^p_{L^{p}}$.
Эта функция, очевидно, неубывает. Тогда неравенство
(2.4) переписывается в виде
\[
R(\mu p) \leq (Cp R(p-1) + R(p))^\mu. (2.5)
\]
Нам нужна оценка на $R(p)^{1/p}$.
Из (2.5) получаем, что
\[
R(\mu p) \leq (Cp R(p))^\mu. (2.6)
\]
Пусть $x=\log p$, и $R_1(x) = \log R(e^x)$.
Неравенство (2.5) переписывается в виде
\[
R_1(v + x) \leq C + \mu (x+ R_1(x)),
\]
где $v=\log\mu$.
Это рекурсивное неравенство гарантирует, что
$R_1$ растет не быстрее, чем экспоненциально
\[
R_1(k v)\leq \mu ^k C_1
\]
где $C_1\geq \max (C\mu, 3 v\mu).$
Иначе говоря,
\[
R_1(x) \leq \const \mu^x,
\]
Получаем
\[
R(p)\leq \exp(\const \mu^{\log p})= \exp(\const p)
\]
где константа зависит только от геометрии $M$ и $f$.
Из этого немедленно получаем оценку на $|\phi|_{L^p}= R(p)^{1/p}.$
Значит, $|\phi|_{L^p}$ ограниченно универсальной константой
для всех $p$. Такие функции, как легко видеть, ограничены
той же самой константой, ибо
\[
\lim_{p\arrow \infty} |\phi|_{L^p} = \sup \phi.
\]
Мы доказали $C^0$-оценку.

Надо бы еще сказать пару слов про уравнение Калаби-Яу-Обана,
то есть уравнение Калаби-Яу для ненулевого (положительного)
канонического класса. Оно решается даже проще, чем обычное
Калаби-Яу, и его решения - это эйнштейновы кэлеровы
метрики (метрики Кэлера-Эйнштейна). В следующий раз.

Привет