Вот давешняя лекция про C^0-оценки в теореме Калаби-Яу:
[ TeX | PDF ]

К уже высказанному,
я добавил пару страничек про теорему
Обана-Калаби-Яу (Aubin-Calabi-Yau).

Теорема Обана-Калаби-Яу

Метрики Кэлера-Эйнштейна

Рассуждения Калаби и Яу отчасти обобщаются для многообразий
с ненулевым каноническим классом. Пусть задано
кэлерово многообразие
\[ (M, I, g, \omega, \rho), \dim_\C M =n. \]
$\rho$ обозначает кривизну канонического класса,
то есть форму, представляющую $c_1(M)$. Предположим,
что класс когомологий $\omega$
пропорционален $c_1(M)$:
\[
\epsilon [\omega]= [\rho].
\]
В случае многообразий Калаби-Яу, эта константа равна 0.
Метрика $\omega$ называется метрикой
Кэлера-Эйнштейна, если это равенство имеет
место для дифференциальных форм:
\[
\epsilon \omega= \rho
\]
Если константа $\epsilon$ неотрицательная,
метрика Кэлера-Эйнштейна существует и единственна
в данном классе когомологий $[\omega]$,
при условии $\epsilon[\omega]= [\rho]$.
Это обобщение теоремы Калаби-Яу называется
теорема Обана-Калаби-Яу, ее доказали
Яу и Обан (Aubin) через несколько лет
после того, как Яу доказал это же утверждение
для $\epsilon=0$. Для отрицательного $\epsilon$
задача становится невероятно трудной -
решений уравнения Обана-Калаби-Яу может
не быть, или их может быть несколько.
Это было известно еще Калаби.

Многообразия, удовлетворяющие $\epsilon[\omega]= [\rho]$
с положительной константой - многообразия общего типа
(канонический класс обилен), для отрицательной константы
они называются многообразиями Фано (обилен антиканонический
класс). Задача нахождения метрик Кэлера-Эйнштейна
на многообразиях Фано оказалась чрезвычайно важна в алгебраической
геометрии, ибо сводится к вопросам стабильности многообразий
в их пространствах модулей. Сейчас этой наукой занимаются
очень много народу (Дональдсон, Тиан, Мабучи etc).

Пусть $\omega_1= \omega+ dd^c u $ - другая метрика
в том же классе когомологий. Поскольку кривизна
линейного расслоения выражается через модуль
голоморфного вектора как $\rho = \log |v|^2$,
кривизна канонического класса в метрике $\omega_1$
будет записываться как
\[
\rho_1 = \rho - d d^c \log MA(u),
\]
где $MA(u) = \frac{(\omega+ d d^c u)^n}{\omega^n}$.
Запишем $ \rho+dd^c f = \epsilon\omega$.
Теперь уравнение Кэлера-Эйнштейна $\omega_1 = \epsilon \rho_1$
переписывается как
\[
dd^c f+ - d d^c \log MA(u)) = \epsilon dd^c u.
\]
Пользуясь тем, что $dd^c$ на функциях инъективно (по
модулю констант), это уравнение может быть переписано как
\[
\log MA(u)) + \epsilon u = f + \const.
\]
Это уравнение ($f$ дано, $u$ неизвестная)
называется {\bf уравнение Обана-Калаби-Яу};
когда $\epsilon=0$, оно превращается в уравнение
Монжа-Ампера. Как и уравнение
Монжа-Ампера, уравнение Обана-Калаби-Яу
имеет единственное решение на любом кэлеровом
многообразии, без ограничений на канонический класс.

Уравнение Обана-Калаби-Яу

Единственность решений Обана-Калаби-Яу и
$C^0$-оценки для $\epsilon>0$ проще,
чем при $\epsilon=0$, а для $\epsilon<0$
они гораздо труднее.

ТЕОРЕМА (Обан-Калаби-Яу)
Пусть $(M, \omega)$ - компактное кэлерово многообразие,
$f$ гладкая функция, $\epsilon$ - положительная константа.
Тогда существует единственное $u$ такое, что
\[
\log MA(u)) + \epsilon u =f. (*)
\]
где $MA(u) = \frac{(\omega+ d d^c u)^n}{\omega^n}$.

Я докажу единственность решений и $C^0$-оценки.

$C^0$-оценки на $u$ элементарные. Рассмотрим точку $x_0$,
где у $u$ максимум. В этой точке форма $dd^c u$
отрицательна, следовательно, $MA(u)\leq 1$.
Поскольку
\[
\epsilon u(x) = \log MA(u))(x) + f(x) \leq f(x),
\]
имеем $\epsilon u \geq \sup f$. Аналогично,
$\epsilon u \leq \sup f$. То есть минимум $u$
и максимум $u$ ограниченны константами, зависящими
только от $f$ и $\epsilon$.

Единственность решений тоже легко видеть. Если
$u_1$, $u_2$ решения (*), $u:=u_1-u_2$,
то
\[
\log MA(u_1)-\log MA(u_2)=
\log \frac{(\omega_2+ d d^c u)^n}{\omega_2^n},
\]
где $\omega_2= \omega+ d d^c u_2$. Поэтому имеем
\[
\log \frac{(\omega_2+ d d^c u)^n}{\omega_2^n} (**)
+ \epsilon u =0.
\]
В силу того же самого аргумента, в точке максимума $u$
$\omega_2+ d d^c u\leq \omega_2$, первый член в (**)
отрицательный, и $\epsilon u$ неположителен. Аналогично, в
точке минимума $u$ неотрицателен. Поэтому $u=0$.

ССЫЛКИ

[1] A. Besse, Einstein manifolds, Springer-Verlag, 1987.
(есть русский перевод: Мир, 1989)

[2] Joyce, D.,
{\em Compact manifolds with special holonomy}, Oxford Mathematical
Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2000.