Hall's universal group
Замечательная штука - Hall's universal group,
Названа так в честь математика по имени Philip Hall, который
придумал ее в статье

Hall, P.
Some constructions for locally finite groups.
J. London Math. Soc. 34 1959 305--319.

Универсальная группа Холла U
характеризуется следующими свойствами.

1. Она ``локально конечна``, то есть все ее конечно
порожденные подгруппы конечны.

2. Для любой конечной группы G, задано вложение
G\arrow U.

3. Любые два таких вложения сопряжены
внутренним автоморфизмом U.

* * *

Строится она весьма просто. Возьмем любую конечную группу
G порядка больше 2. Обозначим за S_G группу перестановок
элементов G. Поскольку G действует на себе перестановками,
имеем вложение G \arrow S_G. Рассмотрим предел подобных
вложений:
\[
G \arrow S_G \arrow S_{S_G} \arrow S_{S_{S_G}} \arrow ...
\]
Этот предел и есть универсальная группа Холла.
Свойство 2 очевидно, потому что U содержит симметрическую
группу сколь угодно большого порядка. Свойство 3
тоже очевидно. Действительно, пусть G_1 вкладывается
в U двумя способами. Поскольку U есть прямой предел,
G_1 вкладывается (двумя способами) в какой-то из ``этажей`` этой
коснтрукции, положим например $\Gamma_i := S_{... S_{S_G}}$.
Но следующий этаж, $\Gamma_{i+1}:= S_{\Gamma_i}$
действует на $\Gamma_i$ перестановками,
а значит, переставляет любые вложения
из $G_1$ в $\Gamma_i$.

По-моему, замечательно.

Привет