Угу.
Таки нашел ответ.
Приближение построил Малявин, и оно имеется в статье

Greene, R. E.; Wu, H.
Integrals of subharmonic functions on manifolds of nonnegative curvature.
Invent. Math. 27 (1974), 265--298.
MR0382723

Мог бы сам догадаться - надо написать уравнение теплопроводности,
у него компактное ядро, и негладкие функции переходят в гладкие.
Субгармоничность оно сохраняет по определению более-менее.

Такие дела
Миша