непрерывные субгармонические функции: приближение гладкими
Я уже несколько дней думаю над следующим вроде бы
тривиальным вопросом.

Субгармоничная гладкая функция на римановом многообразии
M это такая вещественнозначная функция \phi, лапласиан
которой неотрицателен. Насколько я понимаю, это
эквивалентно тому, что среднее от \phi по шару
B(x_0, r) радиуса r с центром в x_0 (с мерой,
заданной римановым объемом) монотонно растет
с ростом r.

Но субгармоничность можно определить и для непрерывных
(и даже для обобщенных) функций, следующим образом.

Определение субгармоничности перепишем так:
\[
\int_M \alpha \Delta \phi \Vol_M \geq 0,
\]
для любой неотрицательной функции \alpha с компактным
носителем. Но это эквивалентно
\[
\int_M \Delta\alpha \phi \Vol_M \geq 0,
\]
Назовем локально интегрируемую функцию субгармоничной,
если интеграл $\int_M \Delta\alpha \phi \Vol_M$
неотрицателен для любой неотрицательной функции \alpha
с компактным носителем.

Теперь вопрос (который меня мучает).

Дана субгармоническая, непрерывная
функция. Можно ли ее приблизить (в L^1-топологии,
например) гладкими субгармоническими функциями?

На многообразии, которое плоско, конформно плоско,
однородно, либо конформно эквивалентно однородному,
это легко видеть, если взять функцию, подвигать ее в
разные стороны и усреднить по какой-то мере на группе
автоморфизмов, она останется субгармоничной, но станет
гладкой, если усредняли с гладкой мерой. В частности,
на 2-мерном многообразии субгармоничную функцию можно
приблизить гладкими (оно конформно плоско).

Если многообразие не конформно эквивалентно однородному,
мне совершенно непонятно, как приближать субгармоничную
функцию гладкой. Хочется получить подобный результат
для открытого шара на K3-поверхности с Риччи-плоской
метрикой. Там субгармоничные функции имеют красивую
алгебро-геометрическую интерпретацию, являясь
потенциалами HKT-метрик.

Буду чрезвычайно признателен за любые идеи.

Привет

Апдэйт Ответ найден в статье

Greene, R. E.; Wu, H.
Integrals of subharmonic functions on manifolds of nonnegative curvature.
Invent. Math. 27 (1974), 265--298.
MR0382723

Надо написать уравнение теплопроводности,
у него компактное ядро, и негладкие функции через конечное
время переходят в гладкие. Субгармоничность оно сохраняет
более-менее по определению.

Апдэйт #2: А особенно полезна вот эта статья:

R. E. Greene and H. Wu, {\em $C^\infty$-approximations of convex,
subharmonic, and plurisubharmonic functions},
Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 12 (1979), 47-84.

Аппроксимация строится аксиоматически
для весьма широкого класса пучков, включающего
субгармонические, плюрисубгармонически, выпуклие,
субгармонические с условием Липшица и еще много.