Да нет, полярные гомологии абсолютно ни при чем.

Здесь стандартная совершенно вещь, не надо изобретать никакого новодела. Грубо говоря, если есть компактное гладкое многообразия, то там, если повезет, некоторые классы можно представить гомоморфными формами -- не все! -- и это формы можно интегрировать по циклам, но никаких вычетов нет. И особенностей нет. Пусть теперь оно гладкое, не некомпатное. Тогда утверждается, что на прострастве гомологий возникает т.н. весовая фильтрация. Чтобы ее увидеть, надо компактифицировать многообразие, причем так, чтобы на бесконечности добавился дивизор с нормальными пересечениями (т.е. такой, который локально выглядит как объединение нескольких координатных гиперплоскостей). У дивизора есть компоненты, у них есть пересечения, все это гладкое, самые маленькие пересечения это точки (это где локально все координатные гиперплоскости). Тогда класс гомологий самого маленького веса -- это такой, спаривание с которым вычисляется итерированным вычетом на самое маленькое пересечение, т.е. на точку. Следующий вес -- берем вычет на одномерное пересечение, а там уже честно интегрируем. И т.д.

Самый большой вес -- это когда все вычеты равны нулю, т.е. класс приходит из когомологий компактифицированного многообразия. И вообще, присоединенные градуированные факторы по весовой фильтрации выглядят так, как будто они когомологии компактного многообразия, но меньшей размерности (а точнее, некоторые куски этих когомологий).

В случае поверхности, в весовой фильтрации будут три члена. С помощью вычетов на точки можно понимать самый первый из них. Второй дает вычет на кривую, дальше надо честно интегрировать.

Геометрически вычет можно понимать как интеграл по маленькой петле вокруг компоненты дивизора (соотвественно, если n-кратное пересечение компонент, будет интеграл по маленькому вещественному n-мерному тору).

В случае кривой, кстати, будут два члена. Т.е. есть циклы, интеграл по которым никак через вычеты не выражается вообще. Например, если кривая эллиптическая, т.е. тор, и мы из нее сколько-то точек выкинули, то интеграл по любому из экваторов через вычеты не выражается (а их разность -- да выражается). В обычном комплексном анализе этого не видно, потому что там все происходит на C.