Некоммутативный оператор Картье.
Вот, написал типа. Черновик. Три месяца мучался, ужас кошмар; получилось страшно невразумительно, и не все доказано в конце концов, но сил уж нет; потом надо будет насквозь переписать.

http://imperium.lenin.ru/~kaledin/math/cartier.ps

Там же TeX.

Вкратце, речь вот о чем. У гладкого многообразия характеристики p есть фробениус, и разные когомологии, на которых фробениус действует -- например кристальные. Определение кристальных когомологий довольно неявное, но некоторый кусок действия фробениус можно увидеть непосредственно: надо взять просто де рамовские когомологии, прямо в характеристике p; и на них будет т.н. "изоморфизм Картье". Это вещь игрушечная с точки зрения высокой науки, но полезная -- например, Делинь и Иллюзи в 83м году придумали, как с ее помощью доказать вырождение спектральной последовательности из ходжевых когомологий в де рамовские (тем самым, если кто хочет, стандартную аналитическую теорию Ходжа можно в значительной степени забыть).

Там вот оказывается, что все это дело -- изоморфизм Картье, вырождение спектральной последовательности -- бывает точно так же и для некоммутативных алгебр.

Что делать в некоммутативном случае с ходжевыми и де рамовскими когомологиями, известно давно -- вместо ходжевых надо взять хохшильдовские, вместо де рамовских -- циклические. Но никакого фробениуса для некоммутативной алгебры нет. А оказывается, что его хоть и нет, на гомологиях он все равно действует!

Чтобы хоть что-то содержательное сказать -- вот почему он действует на нулевых гомологиях. Нулевые хохшильдовские, они же нулевые циклические гомологии алгебры A -- это ее фактор по коммутатнту A/[A,A]. Во-первых, замечаем, -- хорошо известный факт -- что (x+y)^p-x^p-y^p это в характеристике p лиевский полином; поэтому x \mapsto x^p задает хорошее адитивное отображение A \to A/[A,A]. Далее замечаем, что ([x,y])^p = (xy-yx)^p = (xy)^p - (yx)^p = [x,y(xy)^{p-1}].

Все это наводит на две мысли:

1. Раз есть действие фробениуса, у него есть собственные числа -- а нет ли, раз так, гипотезы типа Тэйта? а не проще ли ее в такой общности доказать? А если взять что-то над Z, взять эти собственные числа в разных p, и сделать дзета-функцию? Концевич говорил, он считал какие-то примеры -- вполне себе получается дзета-функция с хорошими свойствами. Некоммутативная. Офигеть.

2. У Делиня-Иллюзи все работает только если размерность многообразия меньше p. В некоммутативном случае то же условие тоже есть, и понятно, откуда оно вообще берется. Грубо говоря, сам аргумент про вырождение такой: на де раовских когомологиях (респ. циклических гомологиях) вводится другая фильтрация, называется "сопряженная". Она с тем же gr, что у ходжевской, но идет в другую сторону. И доказывается, что если многообразие поднимается на Z/p^2Z, то сопряженная фильтрация расщепляется -- а стало быть, ходж-де рамовская спектралка вырождается по соображениям размерности (член E_\infty -- векторное пространство той же размерности, что E_1). Так вот, сопряженная фильтрация рассчепляется только до степени p -- а дальше нет. Причем зацепляется она, если я не ошибся, как раз на соответствующую степень Стинрода. Возникает вопрос: на чем же живет эта самая сопряженная фильтрация? что считают циклические гомологии? Может быть, топологическую K-теорию?

Это давно известная идея, что циклические гомологии должны быть изоморфны топологической K-теории чего-то, и давно известно, что это чушь: ходжевская фильтрация идет в неправильную сторону, в эту сторону никаких зацеплений между спектрами Эйленберга-Маклейна нет. Но вот у нас фильтрация другая, и как раз в правильную сторону идет! Небось она не на том; но трудно понять, на чем -- там возникают комплексы, неограниченные в обе стороны, и надо их как-то правильно интерпретировать, чтоб получилось хорошо.

Зато если оно работает, то понятно, что делать чтоб получить не K-теорию, а кобордизм. Надо брать не циклическую категорию \Lambda, а большую категорию \Sigma -- где грубо говоря, вместо циклических групп симметрические (она есть в синем Гельфанде-Манине, в упражениях, там же, где \Lambda).

Очень меня все это интригует, да.