Оно есть прямой предел банаховых, соответственно,
двойственное - проективный предел банаховых.
А проективный предел банаховых очевидно Фреше
(норма на каждом пространстве последовательности
дает систему полунорм на обратном пределе,
полную почленно, значит и везде).

Спасибо, да. Оно в алгебраической геометрии
реально понадобилось, очень красиво,
при встрече расскажу.

Такие дела
Миша