Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth) в [info]ljr_math
@ 2008-02-01 14:41:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
вещественно-аналитические функции на компактном многообразии
А верно ли такое:

"Гладкая функция f на компактном многообразии вещественно
аналитична тогда и только тогда, когда существует
\epsilon > 0 такое, что ряд
\[
\sum_i \epsilon^i a_i/i!
\]
сходится, где a_i обозначает C^i-норму f."

Прошу прощения, если вопрос дурацкий. У меня
есть доказательство (весьма простое), но такой факт
должен быть наверняка в курсах анализа, если
он верен. А я не припомню.

Спасибо!

Привет


(Добавить комментарий)


[info]kaledin
2008-02-01 16:21 (ссылка)
\exp(-\frac{1}{x^2}} ne kontrprimer?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-01 16:35 (ссылка)
Не, у ней, кажется, производные не ограничены
(супремум f^{(n)}/n! по всей области определения растет
быстрее, чем \epsilon^n)

Кабы иначе было, она б разлагалась в ряд в нуле,
в силу остаточной формулы Лагранжа
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2008-02-01 16:42 (ссылка)
Da-da, ty prav.

Sobstvenno, ehto naverno i dokazatel'stvo: (1) ryad Tehjlora imeet nenulevoj radius skhodimosti, (2) vychitaem ego, poluchaem nechto s nulevymi proizvodnymi, dozyvaem po teoreme Lagrange'a, chto vse C_i-normy ravny nulyu.

No ssylki ne znayu.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-01 20:00 (ссылка)
Да-да.
Но в результате получаем, что вещественно-аналитические
функции образуют пространство Фреше.

Удивительно, что сей факт (если он верен) в знакомых мне
учебниках анализа даже не упоминается.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]twenty
2008-02-03 01:34 (ссылка)
ну понятно, что они образуют локально-выпуклое пространство, и вроде это факт известный, а фреше или не фреше от топологии зависит, со слабой топологией как я понимаю может быть и не фреше

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2008-02-01 20:56 (ссылка)
Стандартная структура Фреше на пространстве вещественно
аналитических функций на M такая.

1. Берутся все открытые окрестности M в его комплексификации.

2. Для каждой открытой окрестности U \subset M_\C
берется пространство ограниченных голоморфных функций
там, оно банахово с C^0-нормой.

3. Пространство вещ. анал. функций на M получается
объединением этих банаховых. Оно имеет топологию, заданную
системой полных полунорм вида

d_U:= максимум (1, супремум функции на окрестности U),

для всех окрестностей U \subset M_\C, следовательно оно Фреше.

Ссылка на эту конструкцию тут:

A. Martineau, Sur la topologie des espaces de
fonctions holomorphes, Math. Ann. 163, 62 - 88 (1966).

А про конструкцию с C^k-нормами (которая явно
проще и фундаментальнее) ни слова не нашел я.
Хотя, кажется, они эквивалентны, по тем же оценкам
остаточного члена в форме Лагранжа.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2008-02-01 20:57 (ссылка)
То ли я дурак, то ли аналитики совсем мышей не ловят

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2008-02-01 21:04 (ссылка)
Мне на самом деле хочется определить
"вещественно аналитические" потоки таким образом,
чтобы

(а) для них была верна теорема де Рама и

(б) двойственное топологически пространство
было вещественно аналитические формы. Может,
ты видал нечто подобное?

Как их называть, кстати?
Гиперфункции для чего-то подобного используются, но
я свою Кашивару-Шапиру позорно проебал.

Такие дела
Миша


(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2008-02-02 11:54 (ссылка)
Slushaj, ya sovsem ne v teme. Sprosi znaesh' kogo? -- Stefana; stefan v mi.ras.ru, esli pravil'no pomnyu.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]twenty
2008-02-03 01:38 (ссылка)
к&ш есть кстати в электрическом виде, если вдрук надо

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-03 01:52 (ссылка)
В Колхозе, или где еще?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]twenty
2008-02-03 02:04 (ссылка)
в колхозе sheaves on manifolds вроде есть.
или http://gigapedia.org/ -> item search, там есть ещё categories and sheaves, только там регистрироваться надо. ну или могу прислать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-03 02:49 (ссылка)
Ага, спасибо!
Я посмотрю, да.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]yvk.livejournal.com
2008-02-03 10:54 (ссылка)
Если интересует история, то посмотреть в первом томе Бернштейна, стр. 285.
Если - как это дело выглядит с точки зрения Хермандера - то том 1 (из 4,
про уравнения) - Данжуа-Карлеман. Элементарное неравенство Карлемана оттудова.
Если хотите обобщать, то почитать классиков стоит, чтобы знать, что обобщать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-03 21:44 (ссылка)
Спасибо,
к сожалению, этих книжек у меня нет.
Попробую Хермандера прикупить на днях,
но Бернштейна (какого? С. Н.?) даже не видел.

Если Вы дадите мне ссылку на утверждение
о вещественно аналитических функциях в посте,
буду чрезвычайно признателен. Также буду весьма признателен,
если вы скажете мне, как в анализе называют пространство, которое двойственно вещественно
аналитическим функциям с вышеописаной топологией Фреше.

Спасибо!

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]yvk.livejournal.com
2008-02-04 17:22 (ссылка)
Миша, чукча (yvk) не читатель ... и не писатель.
Так что про двойственность не скажу, сразу.
Может быть ... подумаю и скажу, я как-то так работаю,
сначала думаю - потом смотрю, что это такое. А может быть
и не подумаю - но двойственность меня да, интересует.

Бернштейн С.Н. ну да,
он этими делами занимался лет 70 назад, пишет трудно,
но он умным был, идейно воспитанным, европеец, где-то.
Эти книжки есть в колхозе. Я, вечером, выложу
на
http://kryakin.superhost.pl
4 тома Хермандера (нужен первый, он хорош и для
ссылок на анализ) и первый том Бернштейна.
Надеюсь, окажется полезным - у Хермандера коротко и внято
для отрезка, но думаю, что так всюду, и собственно так
как вы написали.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-04 18:12 (ссылка)
Спасибо! Да.

А второе двойственное к пространству Фреше
ему изоморфно? Вроде должно быть, но опять
никаких ссылок не могу найти

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]yvk.livejournal.com
2008-02-04 20:53 (ссылка)
Положил. Первый том Х рекомендую, - человек сам писал, т.е. не сомневаюсь,
что все сам передоказал, что нужно - как киижку по анализу. Собственно это
стиль аналитиков - они не читают, им не нужно, задачи классические и следует делать все самому - Фриц Джон, по-моему, даже потом не смотрел, что сделано -
писал и все тут. Их можно читать, потому как связно и потому, что когда человек
все доказывает, что необходимо (замкнутость работы, вообще без ссылок на что-либо важное ) да еще и сам - тогда хорошо получается, понятно. Есть шанс,
что будет прочитана, через 20-40 лет. Колмогоров так писал. По 2-3 страницы работа. Читабелен. Уитни читабелен, пионер, так сказать.

В силу сказанного - не помогу, темен.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]yvk.livejournal.com
2008-02-04 20:56 (ссылка)
Хермандер 1, стр. 35-38.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-04 22:31 (ссылка)
Офигительно! Спасибо

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]http://users.livejournal.com/_wep_/
2008-02-04 23:03 (ссылка)
В общем положении нет. Это про Фреше.

Про Хёрмандера хотел написать, меня опередили - ясное дело, великий человек сам написал: книга - то, что надо.

Ещё Векуа вроде целенаправленно занимался вещественно-аналитическими. Но ссылок под рукой нет.

Главное (и тоже фактически Вам уже написали): анализ пишут самостоятельно, во всяком случае, его базовую часть. Ваши вопросы наверняка содержатся в виде ответов в задачах к главам, а не в виде теорем (ответы на все вопросы про пространства Фреше наверняка найдёте в Кириллове-Гвишиани, но в виде задач). Раз сами доказали - так и пишите смело факт, а писать ли его доказательство, сильно зависит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-04 23:34 (ссылка)
Да, с Фреше я разобрался, спасибо.
Оно на самом деле ядерное, с системой
полунорм, которую я выписал. Из этого следует, что оно изоморфно его бидвойственному. Доказать
это можно, но довольно долго. Думаю, что
где-нибудь доказательство уже есть.

Кириллов-Гвишиани про ядерные пространства вроде не рассказывают.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]http://users.livejournal.com/_wep_/
2008-02-04 23:40 (ссылка)
А! Ну я, честно говоря, не думал вовсе :-), так что то, что оно ядерное - для меня новость :-)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-05 04:19 (ссылка)
Что ядерное, пишут вот тут
http://www.ams.org/proc/2004-132-12/S0002-9939-04-07435-0/S0002-9939-04-07435-0.pdf
P. DOMANSKI AND D. VOGT
INFINITE SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS FOR REAL ANALYTIC FUNCTIONS,
PROCEEDINGS OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 132, Number 12, Pages 3607­-3614
со ссылкой на кучу других работ тех
же авторов

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2008-02-05 11:39 (ссылка)
A pochemu prostranstvo analiticheskikh functsii Frechet? Tam voznikayet nekii induktivnyi predel prostranstv Frechet.

V statye Domanski-Vogt na str. 2, skazano, chto poluchennoe prostranstvo
local'no vupukloe i polnoe, no ne metrizuyemoe, v chastnosti ne Frechet.
Tam takzhe upominayetsya refleksivnost'. Naskol'ko ya pomnyu dlya lokal'no vypuklykh prostranstv eto oznachaet primerno sleduyuschee: rassmotrim pervoe sopryazhennoe V* k V s sil'noi topologiei. Rassmotrim sopryazhennoe k nemu
V** tozhe s kakoi-to topologiei (kazhetsya, s sil'noi? -nado proverit'
v knige H. Schaeffer). Togda kanonicheskoe otobrazhenie V-->V** yest'
izomorphism lineinykh topologicheskikh prostranstv.
Semyon A.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-05 18:47 (ссылка)
Спасибо, дорогой.
У них оно не Фреше на некомпактном
многообразии. На компактном, если
утверждение в посте правильное, то
оно наверное все-таки Фреше.

Впрочем, мне от него ничего не нужно, кроме
рефлексивности.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2008-02-05 19:02 (ссылка)
Вот тут рефлексивность,
похоже, доказана (теорема 3.4)

http://arxiv.org/abs/math/9201254
A convenient setting for real analytic mappings
Authors: Andreas Kriegl, Peter W. Michor

Занятно, что пространство вещ. анал.
функций ядерное, но не Фреше, а его двойственное - ядерное Фреше

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2008-02-05 19:51 (ссылка)
Da i dlya compactnogo M ne ochen' ponyatno. V tvoyem commente ot
1 fevralya functsionaly d_U ne opredeleny korrectno na vsem prostranstve
analiticheskikh funktsii na M: yesli f holomorphna v podoblasti U, to
d_U(f)=\infty legko. Vprochem, metrizuyemost' tebe ne nuzhna...

Semyon.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2008-02-05 23:18 (ссылка)
Оно есть прямой предел банаховых, соответственно,
двойственное - проективный предел банаховых.
А проективный предел банаховых очевидно Фреше
(норма на каждом пространстве последовательности
дает систему полунорм на обратном пределе,
полную почленно, значит и везде).

Спасибо, да. Оно в алгебраической геометрии
реально понадобилось, очень красиво,
при встрече расскажу.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2008-02-05 23:19 (ссылка)
Да, пространство вещ. анал.
функций ядерное, но не Фреше, а его двойственное - ядерное Фреше,
даже и на компакте. Доказательства
сходу не вижу, но вроде бы это известно.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2008-02-06 16:01 (ссылка)
А второе двойственное к пространству Фреше
ему изоморфно?


Даже к банахову не обязательно, казалось бы?

(Ответить) (Уровень выше)