On the topology of compact affine manifolds
По определению,
аффинное многообразие есть многообразие
с атласом, где все функции перехода аффинные.
Еще можно сказать, что это многообразие, наделенное
плоской связностью без кручения. Геодезические
можно определить той же самой формулой, что
и в римановой геометрии, на любом многообразии
со связностью. Если аффинное многообразие
геодезически полно, оно, очевидно,
накрывается R^n, и является фактором
R^n по свободно действующей группе
аффинных преобразований.

Геодезическая полнота - условие весьма
нетривиальное. Есть много аффинных, компактных,
геодезически неполных многообразий. Хороший образчик -
поверхность Хопфа, S^3\times S^1. Она получается
как фактор R^4\backslash 0 по группе Z,
действующей как умножение на число \lambda>1.
Поскольку это действие уважает аффинную структуру,
фактор тоже аффинный, но никак не полный: на накрытии,
геодезические не удается продолжить в 0.

Группа аффинных преобразований, свободно,
собственно и кокомпактно действующая на R^n,
называется аффинной кристаллографической
группой. В 1964-м году L. Auslander
"доказал", что любая аффинная кристаллографическая
группа G содержит полициклическую подгруппу конечного
индекса (*). Доказательство Ауслендера было неверно,
и с тех пор это утверждение называется
"гипотеза Ауслендера". Оно доказано в размерности
2 и 3 Фридом и Голдманом (1983) и в размерностях
4-8 Томановым и Сойфером (1990-1995).

(*) Полициклическая группа есть разрешимая
группа, имеющая фильтрацию, присоединенные
факторгруппы которой все циклические.

Милнор предположил, что это же верно для
любой дискретной подгруппы аффинной группы,
свободно действующей на R^n, но Маргулис
построил к гипотезе Милнора контрпример.

Есть немало других гипотез об аффинных многообразиях.

1. Гипотеза (Маркус, 1961). Аффинное многообразие
геодезически полно тогда и только тогда, когда
на нем задана параллельная (по отношению к
связности) форма объема.

Поскольку расслоение форм объема - линейное,
плоское расслоение, из этой гипотезы следует,
что компактное аффинное многообразие M с H^1(M, \R)=0
всегда геодезически полно. Действительно, линейные
плоские расслоения классифицируются H^1(M, \R).

2. Гипотеза Черна (1955). Класс Эйлера
компактного аффинного многообразия равен нулю.

Это утверждение кажется банальным в силу формулы
Гаусса-Бонне, но это не так. Классы Черна строятся
как следы от разных степеней формы кривизны,
соответственно классы Черна плоского расслоения
всегда зануляются. Класс Эйлера риманова многообразия
выражается как пфаффиан старшей степени кривизны.
Соответственно, через формулу Гаусса-Бонне его
можно записать, только если наше многообразие
риманово, потому что пфаффиан определен
только у кососимметричных матриц.

Есть целая индустрия доказательства гипотезы Черна,
наверное, под полсотни статей, где разные ее частные
случаи рассматривают. Недавно гипотезу Черна доказал,
в максимально общем виде, Михаил Кокос:

http://arxiv.org/abs/math.DG/0511303
On the topology of compact affine manifolds
Authors: Mihail Cocos

Я расскажу про эту работу на неделе, наверное
(там есть, возможно, дыры - я написал автору
для уточнения)

Привет