A reduction map for nef line bundles
Весьма фундаментальный рeзультат

http://arxiv.org/abs/math.AG/0106147

A reduction map for nef line bundles

Authors: Thomas Bauer, Frederic Campana, Thomas Eckl,
Stefan Kebekus, Thomas Peternell, Slawomir Rams, Tomasz
Szemberg, Lorenz Wotzlaw

(каким образом, интересно, у статьи в 10 страниц
могло оказаться 8 авторов?)

Доказывается ж там следующее.

Линейное расслоение называется неф (numerically effective),
если его пересечение с любой кривой неотрицательно.
Линейное расслоение численно тривиально, если его пересечение с любой
кривой равно нулю.

Пусть задано проективное компактное многообразие X, на нем
неф линейное расслоение L. Рациональное, сюрьективное
отображение $\pi:\; X \arrow Y $ называется
неф-редукцией, если L численно тривиально
на всех слоях \pi, размерность которых равна
\dim X-\dim Y (то есть минимально возможная),
и для общей точки x\in X, и для любой кривой
C, проходящей через x и не лежащей в слое \pi,
имеет место (L,C)>0

Бауер, Кампана и компания доказали такую теорему.

Теорема. Пусть задано нормальное проективное многообразие
X, на нем nef-линейное расслоение L. Тогда существует nef-редукция
$\pi:\; X \arrow Y$, и она единственна с точностю
до бирационального автоморфизма Y.

Доказать ее нетрудно.

Определяется такое отношение эквивалентности:
x\sim_L y, если x и y можно соединить цепочкой
кривых C таких, что (L,C)=0.

Затем доказывается лемма

Лемма 1. Пусть M - проективное многообразие,
не обязательно нормальное.
Линейное расслоение L на M численно тривиально
тогда и только тогда, когда любые две точки x,y \in М
эквивалентны: $ x\sim_L y $.

Доказать эту лемму нетрудно.
Очевидно, что из нумерической тривиальности
следует $ x\sim_L y $. Нам нужно, наоборот,
вывести из $ x\sim_L y $ численную тривиальность
L. Пусть B - кривая на M, а - точка вне B.
Для каждой точки b\in B, есть связная
кривая C_b, соединяющая a и b, и такая,
что (C_b, L)=0. Взяв соответствующую компоненту
схемы Чжоу, мы можем предположить, что есть
целое семейство C_t таких кривых, параметризованное
кривой t\in T. Взяв соответствующее универсальное
семейство, мы получим поверхность S, наделенную
проекцией в T и в M. Поскольку все кривые в S
проходят через a, мы имеем кривую T\times \{a\},
лежащую в S. Поднятие p^*L в S численно
тривиально как на T\times \{a\}, так и
на кривых C_t. Поэтому все точки S
эквивалентны в смысле вышеприведенного
отношения эквивалентности (с p^*L
в качестве nef-расслоения). Взяв
пересечение p^*L с прообразом B в S,
мы получим положительное число
в том и только в том случае, если
(B, L)=0. Поэтому достаточно доказать
Лемму 1 в предположении, что X это
поверхность.

На самом деле, из вышеприведенного рассуждения
ясно, что Лемму 1 достаточно доказывать в
следующем дополнительном предположении. А именно,
можно предположить, что на X задано семейство кривых,
проходящих через каждую точку X и удовлетворяющих
(C, L)=0. Также ясно, что можно X раздуть, сделав
неособым. Из этого следует, что
(C, C)\geq 0 для некоторой кривой,
которая удовлетворяет (C, L)=0
(жесткие неприводимые кривые на гладкой
поверхости обязательно удовлетворяют
(C, C)<0 ).

Неф-классы на поверхности удовлетворяют
(L,L)\geq 0 (это доказано Клейманом).
Действительно, неф-класс обилен тогда и
только тогда, когда (L,L) > 0 (критерий
Энриквеса, он же Накаи-Мойшезона).
Возьмем обильное расслоение A. Тогда
для любого рационального числа x,
класс L+xA обилен тогда и только тогда,
когда
\[
\epsilon = (L+x A, L+xA) > 0 (*)
\]
В этом случае,
(L, L+xA)\geq 0, ибо L неф. Раскрывая скобки в (*),
получаем
\[
\epsilon = (L, L+xA) + (x A, L+xA) \geq (x A, L+xA)\geq x^2 (A,A).
\]
Пусть (L, L)<0, а x_0 - положительный корень
уравнения (L+x A, L+xA)=0. Выбрав x достаточно близким к
x_0, мы можем добиться
\[
\epsilon > x^2 (A,A) > x_0^2 (A,A)
\]
для сколь угодно малого \epsilon -
противоречие.

Вернемся к доказательству Леммы 1. Задана
поверхость, на ней неф-расслоение L и две
кривые, C_1 и C_2, пересекающиеся трансверсально
и удовлетворяющие (C_i, L)=0, и (C_1, C_1)\geq 0.
Тогда для линейной комбинации D := C_2+ N C_1
(при существенно большом N) имеет место
соотношение (D, D)>0.

Мы получили на поверхности два (1,1)-класса,
L и D, причем (L, D)=0, (L,L)\geq 0, (D, D)>0.
С другой стороны, форма пересечения на (1,1) классах
имеет сигнатуру (+, -, -, - ... ) по теореме Ходжа
об индексе. Поэтому, если заданы два ортогональных
вектора в H^{1,1}(X) с неотрицательным самопересечением,
один из них равен нулю. Мы получили, что L=0.
Лемма 1 доказана.

Существование неф-редукции следует из этой леммы
непосредственно. Определим соотношение эквивалентности
на X: x_1 \sim x_2, если x_1 и x_2 можно соединить
цепочкой кривых, которые удовлетворяют (L, C)=0.
Кампана и Коллар доказали, что фактор
по такому соотношению эквивалентности задается
рациональным отображением. В силу Леммы 1, на
слоях этого отображения L численно тривиально.

Привет