Возможно, оффтоп - Линдон, "Заметки по логике"
Я верю, что логика --- это отдельная от математики наука, но, надеюсь, что спросить все же можно --- это все на уровне baby logic.

Линдон, "Заметки по логике", М., Мир, 1968. Стр. 23, упражнение 3:

Переменная $x$ добавляет к терму один аргумент; функциональный символ $f$ ранга $n$ поглощает $n$ аргументов, давая взамен один. Обозначим это обстоятельство через



Докажите, что если
--- терм, то


(* непонятно отсюда)), и выразите термы $e$ через частичные суммы


Упражнение 5.
(Прошу прощения, но я задолбался уже лазить в онлайн-редактор за каждой мелочью, не думаю, что эти формулы нельзя прочитать без картинки, если все-таки надо --- напишите, исправлю):

Докажите, что если $f t_1 \dots \t_m = g s_1 \dots \s_n$ (где $f$, $g$ --- функциональные символы, $t_i$, $s_j$ --- термы) есть терм, то $f=g$, $m=n$, $t_1 = s_1, \dots , t_m = s_m$.

Вопросы:
что в упр.3 для всех термов 1 --- это тривиальная индукция по длине терма. Что вообще означает конец предложения с фразы "и выразите термы $e$" --- не понимаю, хоть режьте.

В упр. 5 что, собственно, доказывать-то? Мы только-только определили алфавит, формулы и термы, и равенство здесь - это просто равенство слов языка. Оно же по определению означает, что длины слов равны и все символы на соотв. местах совпадают? В чем тогда вопрос вообще, или я чего-то в упор не вижу?