ljr_math: Вопрос по функциональному анализу

Вопрос по функциональному анализу
Пусть U - оператор двустороннего сдвига естественным образом действующий на l_2(Z). Рассмотрим теперь оператор V, действующий на L_2(T) вращениями на иррациональный угол. Спектр у них совпадает, но у V у него есть dense pure point часть, с собственными векторами - гармоническими функциями, а у U такой части нет (так?). Вроде как это значит, что между U и V не может быть унитарной эквивалентности, да?

Тем не менее очень хочется эту эквивалентность иметь, возможно в каком-то расширенном смысле. Может кто-нибудь просветить?

(Добавить комментарий)

	tiphareth 2013-05-01 14:55 (ссылка)
	поворот на иррациональный угол сохраняет собственные пространства Лапласа, которые конечномерны, из чего должно следовать, что он диагонализуется не вижу дыры в этом аргументе (Ответить) (Ветвь дискуссии)

p_k
2013-05-01 16:30 (ссылка)

Ну да, поворот диагонален в базисе z^n (n \in Z) (если T это окружность |z|=1), я про то и пишу. А двусторонний сдвиг в l_2(Z) - нет, потому между ними нет унитарной эквивалентности. Однако физическая интуиция нам говорит, что в расширенном пространстве распределений над T, в подпространстве порожденным поворотами из одной дираковской дельты, иррациональные повороты действуют двусторонними сдвигами. Хочется этот аргумент как-то оформить, потому что таком виде он никуда не годится (в этом подпространстве нет естественной нормы, даже Банаховой).

В менее игрушечном варианте подобный вопрос возникает в задаче о дуальности Обри для almost Mathieu operators. Там при преобразовании дуальности спектр сохраняется как множество, но pure point переходит в absolutely continuous и наоборот: http://www.math.caltech.edu/papers/bsimon/p257.pdf . Строгое доказатаельство идентичности спектров какое-то очень ad hoc, хотелось бы чего-то вроде аргумента с расширенным пространством. Собственно изначально Aubry duality conjecture была обоснована именно таким образом, но в доказательство это рассуждение почему-то не превратили.

(Ответить) (Уровень выше)