Настроение:	contemplative
Entry tags:	maths

теория ходжа cont.
к предыдущему: писал в чат, решил сохранить for future reference


для начала, что такое пространство Берковича. вообще говоря, есть
теория аналитических пространств, параллельная комплексным аналитическим
пространствам: всё склеивается из замкнутых аналитических подмногообразий
полидисков. однако существенно проще описать, что такое аналитификация
Берковича какого-нибудь алгебраического многообразия над полем с
неархимедовым абсолютным значением (=происходящим из нормирования v по
формуле |a|=e^-v(a) ).

зафикисируем такое поле К (например, K=Q_p, или K=C((t)) ), и пусть R
кольцо целых в нём (=единичный замкнутый шар). Если Х приведённая
схема конечного типа над K, то можно рассмотреть множество пар (x,| |),
где x схемная точка X, а ||: K(x) \to R норма на поле
вычетов x, совпадающая на K с его нормой. Это множество обозначают
X^an, на нём есть слабейшая топология, которая делает функции (x,| |)
\mapsto |f(x)| непрерывными, для всех функций f регулярных на
каком-нибудь открытом по Зарисскому подмножестве X. Это и есть
аналитификация Берковича X. На самом деле это ещё и окольцованное
пространство, сечения над открытым множеством будет кольцо
аналитических функций на нём. В X^an есть как "классические" точки
(те, где точка x в паре (x,| |) замкнутая), так и куча
"неклассических" (задаваемых нормированиями на поле вычетов общих
точек подмногообразий X). Зато у такого пространства хорошие свойства:
если X отделимо, то X^an хаусдорфово, если X связно, то X^an связно.

как эта штука выглядит в простейших случаях. Если взять локальное
кольцо в точке \xi \in X^an, то на его поле вычетов будет
нормирование, обычно рассматривают его пополнение, называется
H(\xi). это тоже неархимедово поле, у него есть кольцо нормирования
(=единичный шар), назовём его H'(\xi) (обычно пишут H^\circ, но мне
громоздко). Альтернативное определение: если \xi=(x,| |), то H(\xi)
это пополнение K(x) по | |. Если взять (A^1)^an, то в зависимости от
H(\xi) есть 4 типа точек

- H(\xi) пополнение алгебраического расширения K --- тип I. это
классические точки
- H(\xi) расширение K с полем вычетов степени
трасцендентности 1 над полем вычетов K --- тип II

- пусть |H(\xi)| подгруппа мультипликативной группы R^\times_+
состоящая из значений, которые принимает норма на H(\xi). точка типа
III это такая, что |H(\xi)|\otimes Q строго больше |K| \otimes Q
(рациональный ранг группы значений нормирования больше нуля)

- тип IV: у H(\xi) и поле вычетов алгебраично над полем вычетов K, и
рациональный ранг группы значений нормирования такой же, как и у K,
но точка не типа 1. это означает, что точка лежит в пересечении
бесконечного числа вложенных шаров, но неклассическая при этом.

пример точки типа II в (A^1)^an: нужно задать норму на K(x), определим
её на K[x] как |\sum_{i=0}^m a_i x^i| = max |a_i| и продлим
мультипликативно

это так назваемая Гауссова точка, это единственная точка шара |x| \leq
1, которая не содержится в подшаре меньшего радиуса, то есть
принадлежит его границе.

(P^1)^an над C((t)) это такое дерево, точки типа II это точки
ветвления, точки типа I и IV это листья, точки типа III всё
остальное. поле вычетов H(\xi) в точке типа II это поле функций
проективной кривой, замкнутые точки которой находятся в однозначном
соответствии с ветвями, которые из \xi исходят. если выбрать
координату x на A^1 \subset P^1, то для любой точки \xi \in (A^1)^an
существует минимальный шар, границей которого она является.

упражнение: какие значения принимает |x(\xi)| для точек типа II на
отрезке, соединяющем 0 и Гауссову точку?



существует два комплиментарных способа понимать просранства Берковича:
через модели над R, и через тропикализации.

если XX плоская схема над R такая, что XX \otimes_R K изоморфно X, то
существует естественное отображение специализации sp: XX_\eta \to XX_k,
где XX_\eta подмножество X^an. строится оно так: если \xi \in X^an, то
существует естественный морфизм Spec H(\xi) \to X, если он
продлевается до Spec H'(\xi) \to XX, то говорим, что \xi принадлежит
XX_\eta, тогда замкнутая точка Spec H'(\xi) попадает на какую-то точку
специального слоя модели XX_k, это и есть sp(\xi). по валюативному
критерию собственности, если X собственное, то XX_\eta=X^an, для
простоты будем только этот случай и рассматривать.

упражнение: описать (A^1_R)_\eta

прообразы (под sp) общих точек неприводимых компонент специального
слоя это так называемые дивизориальные точки X^an. если рассмотреть
все модели и все дивизориальные точки, то они образуют плотное
подмножетсво точек X^an. если модель XX snc, то есть компоненты спец
слоя пересекаются только нормально, и нет
самопересечений, то в X^an можно описать подмножество, гомеоморфное
двойственному комплексу пересечений XX_k. это симплициальный комплекс,
вершины есть неприводимые компоненты XX_k, а симплексы размерности k
есть неприводимые компоненты k+1-кратных пересечений неприводимых
компонент XX_k.

можно построить словарик: что происходит с двойственным комплексом,
когда модель меняется так-то. например, раздутие с центром в
неприводимой компоненте соответствует барицентрическому разбиению
соответствующего симплекса (там есть тонкости с выбором координат,
которые зависят от кратностей компонент). есть и более нетривиальные
результаты, например, дивизориальные сокращения (?contractions) и флипы тоже можно
описать на уровне двойственного комплекса пересечений. самое же
главное: существует абсолютно каноническая ретракция X^an на
двойственный комплекс пересечений любой snc модели. откуда
следует, что у них у всех один и тот же гомотопический тип.

пример: эллиптическая кривая с плохой редукцией, например, заданная
уравнением y^2=x(x-1)(x-t). она вырождается в рац кривую с двойной точкой,
раздуем её, получим две P^1 в специальном слое, образующие цикл, и пересекающиеся
нормально. пространство Берковича будет содержать двойственный
комплекс пересечений для этой модели, гомеоморфный S^1. если бы у нас
была элл кривая с хорошей редукцией, то картинка была бы как в случае
с P^1, то есть дерево, только у его корня было бы поле вычетов равное
полю функций специального слоая хорошей редукции, то есть исходящие
ветви параметризовались бы точками эллиптической кривой, а не P^1



у двойственных комплексов есть ещё такое универсальное свойство: ими
"можно покрыть" все точки X^an. Точнее: рассмотрим обратный предел по
всем двойственным комплексам всех snc моделей. В него существует
естественное отображение из X^an: для каждого двойственного комплекса
\Delta пересечения точка \xi \in X^an посылается в её образ под
упомянутой ретракцией X^an на \Delta. теорема: это отображение ---
гомеоморфизм.

рассмотрим тор T=(K^\times)^n. отображение тропикализации trop из T^an
в R^n (здесь и далее вещественное n-мерное пространство, не кольцо
нормирования) это

\xi \mapsto (-\log |x_1(\xi)|, ..., -\log |x_n(\xi)|)

у этого отображения есть естественное сечение, которое точке (r_1,
..., r_n) ставит в соответствие границу проколотого полидиска радиусов
(e^r_1, ..., e^r_n) в T^an. образ этого сечения назовём скелетом S
тора T^an.

если U замкнутое подмногообразие тора (K^\times)^n, то его
тропикализация trop(U^an) по теореме bieri-groves есть полиэдральный
комплекс в R^n. Если рассматривать trop(U^an) как подмножество в S, то
trop индуцирует отображение между trop^-1(trop(U^an)) и trop(U^an), у
которого конечные слои над полиэдрами максимальной размерности
trop(U). размер слоя называется тропическая кратность полиэдра в
данной тропикализации. в тропической геометрии изучают такие
полиэдральные комплексы с кратностями.

если рассмотреть вложение U в другой тор T', и T эквивариантно
отображается в T', то есть естественное отображение trop(U) \to
trop'(U). можно, по аналогии с двойственными комплексами, построить
обратный предел тропикализаций по всем вложениям U в торы, и
естественное отображение из X^an в этот обратный предел будет посылать
точку \xi в её тропикализацию. опять же, получится гомеоморфизм.

теперь про дифференциальные формы. на X^an можно определить пучки
A^p,q _вещественных_ форм по аналогии с p,q-формами в комплексной
геометрии (аналогия несколько обманчива, позже поясню,
почему). стратегия будет такая: вначале определим пучки форм на
полиэдральных комплексах в R^n, а потом скажем, что форма на X^an
задаётся локально как пуллбэк (trop^*) формы на открытом подмножестве какой-то
тропикализации trop(U^an) для U \subset X.

для начала: что такое p,q-форма на R^n. пусть A^k пучок обычных
вещественных аналитических k-форм на R^n, определим пучок

A^p,q(O) = A^p(O) \otimes_C^\infty A^q(O)

в локальных координатах x_1, ..., x_n их принято записывать так

\alpha = \sum \alpha_IJ d'x_I \otime d''x_J

где I,J мультииндексы, d'x_I = d'x_i_1 \wedge ... \wedge d'x_i_l,
I={i_1, ..., i_l} и аналогично d''x_J. есть инволюция J: A^p,q \to
A^q,p, которая переставляет местами тензоры. есть дифференциалы d':
A^p,q \to A^p+1, q и d'': A^p,q \to A^p,q+1, заданные в координатах

d'\alpha = \sum_l \sum_I,J d\alpha_I,J/dx_l d'x_l \wedge d'x_I \otimes d''x_J
d''\alpha = \sum_l \sum_I,J (-1)^p d\alpha_I,J/dx_l d'x_I \otimes d''x_l \wedge d''x_J

интуиция такая: про тензор посередине мы думаем как про \wedge, но
хотим все d'-нутые формы дежать слева от него, а все d''-нутые
справа. когда пишем формулу для дифференциала де рама для d'' и вперёд
вылезает d''-форма, то её надо запихнуть направо, от этого и вылезает
знак.

переход к другим координатам работает как обычно.

Интеграл A^n,n-формы по открытому множеству в R^n определяется так:

\int_U \alpha := \int_U \alpha_n,n dx_1 \wedge ... \wedge dx_n

если у нас A^p,p форма на R^n и мы хотим проинтегрировать её по
открытому подмножеству аффинного подпространства A \subset R^n, то мы
делаем замену переменных и интегрируем в координатах на A по этой же
формуле.

(p,q)-форма на полиэдральном комплексе C в R^n определяется как
p,q-форма на открытой окресности C в R^n, при этом формы, чьи
коэффициенты совпадают на C, идентифицируются. это определение
совместимо с дифференциалами. по-другому про него можно думать так: на
внутренностях полиэдров высшей размерности наши формы это просто
p,q-формы на аффинном пространстве, содержащем полиэдр, а на гранях,
принадлежащих нескольким полиэдрам максимальной размерности P_1 ... P_n,
пространством форм считаем прямую сумму пространств форм на аффинных
пространствах A_1 ... A_n, содержащих P_1 ... P_n.

чтобы проинтегрировать форму по комплексу, надо проинтегрировать её по
P_1 ... P_n и результаты домножить на тропические кратности. (то есть
тропикализация это в некотором смысле цикл.)

вообще ещё можно определить интеграл (p-1, p) или (p, p-1)-формы по
границе полиэдрального комплекса размерности p, и тогда имеет место
формула стокса. из формулы стокса для форм на полиэдральных комплексах
выводится тот факт, что \int_W d'\alpha = 0 (и то же для d''), где
\alpha форма на X, а W замкнутое подмногообразие X.

наблюдение: форма \omega \in A^1,1(R^n) такая, что J\omega=\omega и
коэффициенты (\alpha_ij) образуют положительно определённую матрицу
это просто риманова структура на R^n. на полэдральном комплексе это
будет что-то более общее (можно мерять углы между касательными
векторами у разных полиэдров, имеющих общую грань).

возвращаясь к формам на пространствах берковича, координаты у них
скорее логарифмические: типичная форма на (A^1)^an это d'\log |x|
\otimes d''\log |x|

при переходе от одной тропикализации к другой нужно брать пуллбэк
относительно индуцированного отображения R^m \to R^n. выбор
тропикализации в торе большей размерности соответствует выбору
большего количества "веток", которые можно координатизировать.



далее, если ограничение формы на W \subset trop(U^an) ноль, то
считается, что форма на trop^-1(W) \subset U^an зануляется. определим
носитель как дополнение ко всем открытым подмножествам U^an, на
которых форма зануляется. можно показать, что если форма определена
как пуллбэк формы на тропикализации trop(U^an), то её носитель
содержится в trop^-1(trop(U^an)) (здесь trop(U^an) рассматривается как
подмножество скелета S тора, как я писал выше).

например, носитель формы d'\log |x_1| \otimes d''\log |x_1| это линия,
соединяющаяя 0 и \infty в P^1.

моя идея заключается в том, что на носителе симметричной положительной
1,1-формы есть (обобщённая) риманова структура, а значит, можно писать
лапласианы для d', d'' и попробовать построить теорию Ходжа.

есть немного результатов про p,q-формы. если написать "комплекс
дольбо" для d' (или d'') он окажется квазиизоморфен комплексу с
постоянным пучком R сконецентрированному \to Aв степени 0 (потому что
для d' и для d'' есть лемма Пуанкаре; но для d=d'+d'' нету!). то есть,
грубо говоря, "H_d''^p,0(X^an) = H^p_sing(X^an)" и комплекс Дольбо
себя ведёт скорее как комплекс де Рама. При этом если
расматривать комплекс пучков с дифференциалом d', состоящий из ядер
ker d'': A^p,0 \to A^p,1 (аналоги пучков голоморфных форм), он не
является резольвентой R, в отличие от комплексного случая.

(кстати, added bonus: определениям форм и лемме Пуанкаре плевать на
гладкость X.)

михалкин и соавторы посчитали H^p,q для гиперповерностей и нашли, что
они связаны с предельной смешанной структурой ходжа.

из сказанного выше видно, что аналог теоремы о разложении будет не
столь интересен как в комплексном случае (прямая сумма H^p+q считает
непойми что). но будут гармонические формы и (видимо?) какие-то kahler
identities. с другой строны ещё забавность: если на P^1 взять d'd''
(аналог dd^c) от потенциала \min 0, \log |x| (аналог потенциала \log
(1 + |x|^2)), то получится поток, а не форма. то есть на P^1 нету
метрики фубини-штуди! то есть проективные многообразия ещё не факт что
все кэлеровы в этом смысле. (хотя что касается P^1, на заданном произвольном
скелете --- конечном метрическом дереве --- метрику уж наверное можно
построить; как это сделать в P^n пока неясно)

чтобы сопряжённые к d' и d'' можно было определить, нужно, чтобы
рассматриваемые формы имели носитель, содержащийся в носителе
кэлеровой формы. я собираюсь это преодолеть, требуя, чтобы носитель
кэлеровой формы содержал скелет snc модели, тогда X^an на него
стягивается и естественно ожидать, что комплексы дольбо на всём X^an
будут квазиизморфны комплексам дольбо форм с носителями, содержащимися
в носителе кэлеровой формы. доказательство этого факта не возникает
немедленно, потому что не очень понятно, как интегрировать вдоль
ретракции, учитывая необычный способ, которым определены формы, но я
надеюсь, что это можно сделать.

ссылки:
Walter Gubler - Forms and currents on the analytification of an algebraic variety (after Chambert-Loir and Ducros)
Ilia Itenberg, Ludmil Katzarkov, Grigory Mikhalkin, Ilia Zharkov - Tropical Homology
Philipp Jell, Kristin Shaw, Jascha Smacka - Superforms, Tropical Cohomology, and Poincaré Duality