Below are the 6 most recent journal entries recorded in apkallatu's LiveJournal:

Tuesday, August 28th, 2018
3:28 pm	аффинные структуры а вот ещё такая мысль. есть такая стародавняя вещь, гипотезы концевича-сойбельмана про SYZ-расслоение. суть в следующем: когда-то физики придумали, что зеркальная симметрия должна геометрически объясняться, грубо говоря, тем, что у зеркальных партнёров есть расслоения над многообразием половинной размерности с общим слоем тор, и переход к зеркалу это замена этого расслоения над плотным множеством базы на двойственное плюс некая магия по его компактификации (у этого есть более научное объясенение где фигурируют модули унитарных локальных систем, откуда связь с гомологической зеркальнной симметрией и категорией фукая). потом оказалось, что расслоение надо искать не у идвидуальных многообразий, а у вырождений, то есть у семейств над проколотым диском где-то на границе пространства модулей Калаби-Яу. но это лирика. Концевич и Сойбельман описали такие две картинки: с одной стороны мы из вырождения делаем многообразие X над полем ростков функций мероморфных в нуле проколотого диска, тогда можно определить "неархимедово SYZ расслоение". вырождение должно быть особенным: оператор монодромии должен содержать жорданову клетку максимально возможного по теореме Делиня размера, n+1, где n размерность X. неархимедово SYZ расслоение это расслоение на неархимедовы торы (такой тор это полуалгебраическое множество, заданное равенствами |x_1|=1, ..., |x_n|=1 в K^\times, где K неархимедово поле). В случае вырождений Калаби-Яу база этого расслоения это подмножество пространства Берковича X^an, которое задаётся тем, что на нём достигает минимума некая "функция веса". кстати, оказывается, что этот минимум вычисляет лог-канонический порог дивизора соответствующей модели X, как показали Никэз и Сю. Множество это известнно под именем 'essential skeleton', намёк на то, что у пространств Берковича столько скелетов, сколько моделей с snc центральным слоем, а этот вот канонический. ( Read more... ) Current Mood: calm (10 Comments |Comment on this)
Sunday, August 19th, 2018
4:55 pm	теория ходжа cont. к предыдущему: писал в чат, решил сохранить for future reference для начала, что такое пространство Берковича. вообще говоря, есть теория аналитических пространств, параллельная комплексным аналитическим пространствам: всё склеивается из замкнутых аналитических подмногообразий полидисков. однако существенно проще описать, что такое аналитификация Берковича какого-нибудь алгебраического многообразия над полем с неархимедовым абсолютным значением (=происходящим из нормирования v по формуле |a|=e^-v(a) ). зафикисируем такое поле К (например, K=Q_p, или K=C((t)) ), и пусть R кольцо целых в нём (=единичный замкнутый шар). Если Х приведённая схема конечного типа над K, то можно рассмотреть множество пар (x,| |), где x схемная точка X, а ||: K(x) \to R норма на поле вычетов x, совпадающая на K с его нормой. Это множество обозначают X^an, на нём есть слабейшая топология, которая делает функции (x,| |) \mapsto |f(x)| непрерывными, для всех функций f регулярных на каком-нибудь открытом по Зарисскому подмножестве X. Это и есть аналитификация Берковича X. На самом деле это ещё и окольцованное пространство, сечения над открытым множеством будет кольцо аналитических функций на нём. В X^an есть как "классические" точки (те, где точка x в паре (x,| |) замкнутая), так и куча "неклассических" (задаваемых нормированиями на поле вычетов общих точек подмногообразий X). Зато у такого пространства хорошие свойства: если X отделимо, то X^an хаусдорфово, если X связно, то X^an связно. как эта штука выглядит в простейших случаях. Если взять локальное кольцо в точке \xi \in X^an, то на его поле вычетов будет нормирование, обычно рассматривают его пополнение, называется H(\xi). это тоже неархимедово поле, у него есть кольцо нормирования (=единичный шар), назовём его H'(\xi) (обычно пишут H^\circ, но мне громоздко). Альтернативное определение: если \xi=(x,| |), то H(\xi) это пополнение K(x) по | |. Если взять (A^1)^an, то в зависимости от H(\xi) есть 4 типа точек - H(\xi) пополнение алгебраического расширения K --- тип I. это классические точки - H(\xi) расширение K с полем вычетов степени трасцендентности 1 над полем вычетов K --- тип II - пусть |H(\xi)| подгруппа мультипликативной группы R^\times_+ состоящая из значений, которые принимает норма на H(\xi). точка типа III это такая, что |H(\xi)|\otimes Q строго больше |K| \otimes Q (рациональный ранг группы значений нормирования больше нуля) - тип IV: у H(\xi) и поле вычетов алгебраично над полем вычетов K, и рациональный ранг группы значений нормирования такой же, как и у K, но точка не типа 1. это означает, что точка лежит в пересечении бесконечного числа вложенных шаров, но неклассическая при этом. пример точки типа II в (A^1)^an: нужно задать норму на K(x), определим её на K[x] как |\sum_{i=0}^m a_i x^i| = max |a_i| и продлим мультипликативно это так назваемая Гауссова точка, это единственная точка шара |x| \leq 1, которая не содержится в подшаре меньшего радиуса, то есть принадлежит его границе. (P^1)^an над C((t)) это такое дерево, точки типа II это точки ветвления, точки типа I и IV это листья, точки типа III всё остальное. поле вычетов H(\xi) в точке типа II это поле функций проективной кривой, замкнутые точки которой находятся в однозначном соответствии с ветвями, которые из \xi исходят. если выбрать координату x на A^1 \subset P^1, то для любой точки \xi \in (A^1)^an существует минимальный шар, границей которого она является. упражнение: какие значения принимает |x(\xi)| для точек типа II на отрезке, соединяющем 0 и Гауссову точку? ( существует два комплиментарных способа понимать пространства Берковича..  ) Current Mood: contemplative (Comment on this)
Wednesday, August 8th, 2018
3:46 pm	теория ходжа [из чата, отредактировано] у меня есть идея о том, как можно сделать теорию ходжа для неархимедовых пространств. на них есть теория дифференцильных форм шамбер-луара-дюкро. ценность её не в том, что есть p,q-разложение --- там формы все вещественные, поэтому ничего похожего на p,q-формы нет (есть другая биградуировка, но она чисто формальная, а многие её путают с ходжевской) ценность её будет в том, что в каждом классе когомологий есть гармоничеческий представитель. для этого нужна замкнутая (1,1), так называемамя симметричная (аналог вещественности в комплексной ситуации), положительная форма --- "кэлерова форма". шутка в том, что я едва-едва знаю комплексную теорию (М. вот меня просвещал недавно, что-то я впитал, но конечно надо будет ещё самому поглубже поучить) и в каком-то смысле использую этот проект, как предлог, чтобы её выучить. аналогий много, но есть и странности. например, типичная кэлерова форма будет с (собственным) компактным носителем. но при этом пространство на него стягивается. это должно задавать гомотопию комплекса де рама глобального на комплекс де рама с носителем на этом компакте, и представителя можно будет искать с носителем на компакте (где спаривание, заданное метрикой, невырождено) если получится, то можно будет доказать что-то типа kahler identities. а значит --- kodaira vanishing, и как следствие --- kodaira embedding, который известен в частных случаях (аналитические торы) Current Mood: anxious (Comment on this)
Thursday, September 22nd, 2016
3:12 pm	а вот если у меня скажем алгебраическая поверхность $M$, и известно, что она вложена в произведение алгебраических поверхностей $N \times N$, так, что проекции на каждое $N$ по отдельности есть конечый морфизм, какие ограничения это накладывает на $M$, и накладывает ли? например, $N=P^2$ я так и не выучил алгебраическую геометрию, простите. (4 Comments |Comment on this)
Thursday, January 21st, 2016
2:41 pm	хорошо использовал алгебраические торы вот, кстати, окуньков для псевдоэффективных дивизоров : http://arxiv.org/pdf/1508.03922v3.pdf изучают. We introduce two different ways to associate the Okounkov bodies with pseudoeffective divisors, and show that these convex bodies reflect asymptotic invariants of given pseudoeffective divisors. by way of association: окуньков это третий представитель русской математики, который хорошо использовал алгебраические торы (про флаг, с помощью которого строится rank n valuation в определении тела окунькова, можно думать как про обобщение полного флага торических дивизоров). сначала был батырев (торические вещи), а потом михалкин (тропические вещи). (Comment on this)
Wednesday, January 20th, 2016
10:04 pm	Поговорим о вере. Вере в гипотезу Ходжа. Фархад Бабаи и Джун Ху построили контрпример к сильной гипотезе Ходжа, предложенной Демайи. Напомню, что обычная гипотеза Ходжа утверждает, что по крайней мере для гладких проективных многообразий всякий класс когомологий в H^{p,p}(X, Q) = Im(H^2p(X,Q) \to H^{p,p}(X, R) есть линейная комбинация с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных аналитических подмногообразий X. Демайи показал, что это утверждение эквивалентно тому, что произвольный замкнутый вещественный (p,p)-поток есть предел (в слабой топологии потоков) вещественных линейных комбинаций потоков интегрирования вдоль p-мерных комплексных аналитических многообразий. Бабаи и Ху опровергнули "положительную" часть последнего утверждения, построив замкнутый сильно положительный поток, который не приближается линейными комбинациями с положителными коэффициентами потоков интегрирования вдоль подмногообразий. Построение использует тропическую геометрию (!), и стратегия чем-то похожа на батыревское использование торических многообразий для получения зеркальных пар многообразий калаби-яу. Отображение тропикализации это отображение (C^*)^n \to R^n, (x_1, ..., x_n) \to (-log |x_1|, ..., -log |x_n|). Согласно канону база логарифма устремляетс к нулю. Известно (Bergman), что образ алгебраического подмногообразия тора (C^*)^n (амёба) при этом становится объединением многогранников. На многогранниках есть своя особая комбинаторная теория дифференциальных форм и потоков, такая, что определён "пуллбэк" "тропического потока" с многогранника в R^n на подмногообразие в (C^*)^n, при это получается настоящий поток. Так вот, пример Бабаи и Ху это такой пуллбэк, продолженный на замыкание подмногообразия в компактификации алгебраического тора, которая является "подходящей" для данного тропического многогранника. (Comment on this)