Настроение:	full
Музыка:	Манго-Манго -- На север привезли бананы
Entry tags:	геометрия

Узлы и расслоения
Если X трёхмерное многообразие с формой объёма, то непараметризованные узлы в X суть бесконечномерное симплектческое многообразие. Если при этом Y \subset X поверхность, то узлы, лежащие на этой поверхности, образуют лагранжево подмногообразие в нём. А можно ли построить лагранжево расслоение, все слои которого приходят из поверхностей?

До некоторой степени можно. Давайте на X будет, сохраняя объём, действовать окружность без кратных слоёв, иными словами, X \to B будет главным U(1)-расслоением над симплектической поверхностью. Рассмотрим открытое подмножество, состоящее из узлов, трансверсальных слоям расслоения. Для каждого такого узла возникает поверхность: её заметает узел под действием U(1). База такой проекции это пространство узлов в симплектической поверхности, её слои -- трансверсальные сечения тривиального расслоения над окружностью со слоем окружность. База этого расслоения допускает замкнутую 1-форму, получающуюся трансгрессией формы площади; 1-формы на базе определяют параллельные векторные поля на слое, и векторное поле, определяемое трансгрессией площади, есть поле, которым действует на узлах группа U(1).

Интересно, что база этой симплектической редукции допускает симплектическую форму sui iuris: деформация контура на поверхности определяется нормальным векторным полем, то есть, дуализируя симплектической формой, 1-формой на нормализации контура; из них касаются ядра трансгрессии площади ровно точные 1-формы, каковые могут отождествлены быть с функциями на окружности по модулю констант. А на этом пространстве есть симплектическая форма, задаваемая как \int_{S^1} fdg - gdf. По двойственности, на группе U(1)-значных функций на окружности с конечной первой производной имеется инвариантный бивектор. Интересно, существуют ли естественные примеры конечномерных лагранжевых расслоений, на базе которых также имеется симплектическая структура. Ещё это напоминает контактные многообразия: на контактных многообразиях контактная 1-форма имеет неинтегрируемое распределение ядер, а дифференциал 1-формы задаёт на ядрах симплектическую структуру. Только тут 1-форма интегрируема, а симплектическая структура на ядрах всё равно есть.

К слову, не очень понятно, как тут связность Лиувилля-Арнольда работает. Может и нету связности-той.

И вот ещё: а нельзя ли вывести изопериметрическое неравенство на R^2 через метод стационарной фазы? Рассмотрим-де все контуры, ограничивающие единичную площадь; с описанной выше формой это симплектическое многообразие. Рассмотрим его с точностью до действия параллельных переносов, на получившемся образовании, также симплектическом многообразии, действует поворотами группа U(1). Функционал длины сохраняется U(1)-действием, так что... не знаю. Наверное существование максимума так доказать не представляется возможным. Но всё же любопытно.

Ну и возвращаясь к началу: с трёхмерным римановым многообразием связывается бесконечномерное кэлерово, и если оно было тотальным пространством главного U(1)-расслоения над римановой поверхностью, соответствующее кэлерово многообразие (а точнее открытое подмножество в нём) представляется как лагранжево расслоение. А что можно сказать про пространства узлов в тотальных пространствах коассоциативных расслоений?