крест и радуга [entries|friends|calendar] Rodion Déev [ userinfo | livejournal userinfo ] [ calendar | livejournal calendar ]

Раздутия в выпуклой геометрии [28 Jun 2023|03:56pm] [ music | Янка -- Рижская ] Математики учитель Петр Евгеньевич П. задал такую задачку: пусть Conv это множество замкнутых выпуклых тел в R^2, снабженное метрикой Хаусдорфа. Построить такую функцию s : Conv \to R^2, что s(C) \in C для любого C \in Conv. Очевидное решение -- взять центр тяжести. С ним однако есть проблемы. Во-первых, центр тяжести не единственный (для аффинных прямых и всего R^2). Можно про них пока забыть, благо что они все равно лежат на бесконечном удалении от любой компактной выпуклой фигуры. Хуже, что функция центра тяжести не непрерывна: давайте возьмем треугольник ABC с переменной вершиной C, и будем двигать C по направлению к отрезку AB. Пределом центра тяжести этого треугольника может оказаться любая точка отрезка AB, а предел треугольников в Conv будет всегда один и тот же -- сам отрезок AB. Давайте отвлечемся немного от задачи Петра Евгеньевича П., и вспомним другую задачу, почти такую же, которая у меня ассоциируется с Фомой Аквинским, но не уверен что правильно: где находится центр у окружности бесконечного радиуса? Если эта окружность -- это прямая на конечном удалении, то ее центром логично считать бесконечно удаленную точку перпендикулярного пучка прямых. А если это бесконечно удаленная прямая? Ее центр может быть любым: бесконечно увеличивая радиус окружности с любым центром, будет получаться одна и та же бесконечно удаленная прямая. Алгебраико-геометрически парадокс Фомы Аквинского можно сформулировать так. Окружность есть кривая степени два в CP^2, проходящая через точки (1 : \sqrt{-1} : 0) и (1 : -\sqrt{-1} : 0). Эти два условия высекают в P^5, параметризующем коники, подпространство CP^3. Сопоставление окружности ее центра -- это мероморфное отображение CP^3 \to CP^2, определенное всюду, кроме одной точки -- удвоенной бесконечно удаленной прямой. Чтобы оно стало регулярным, нужно ее раздуть, то есть подменить определение окружности: окружность это не просто кривая, а пара 'кривая плюс ее центр'. Отображение из CP^3, раздутого в точке, в CP^2 это стандартная проекция. Возвращаясь по такому направлению к задаче профессора П., имеем спросить: а почему бы нам и тут не раздуть локус отрезков? Вне него, легко показать, взятие центра тяжести непрерывно. Видимо, нам нужно сделать подмену: вместо пространства выпуклых фигур рассматривать пространство выпуклых фигур с мерой, лебеговой, если эта фигура плоская, а если отрезок -- предел лебеговых мер на плоских фигурах, схлопывающихся в него. На таком 'выпуклом раздутии' функция центра тяжести была бы непрерывна. Но топологическое пространство, даже метрическое, нельзя раздуть. Чтобы говорить о раздутии, нужна гладкая структура -- иначе неясно, как поднимать в раздутие дифференцируемые кривые (это делается по правилу Лопиталя). И выше, описывая это раздутие, я неявно описываю и C^1-структуру вдоль локуса отрезков: касательные вектора должны быть мерами на отрезке с определенными свойствами. А почему только вдоль него? Логично предположить, что касательные вектора к выпуклым фигурам это (означенные) меры на их границе с определенными свойствами. В сущности, я делаю следующее: я отображаю Conv в пространство мер на R^2, -- которое векторное! -- отправляя фигуру в ее индикаторную меру. Это отображение стягивает локус отрезков в нуль, однако раздувая нуль (скажем проецируя -- нормируя меры так, чтобы они стали вероятностными), я получаю все стянутое обратно. Но является ли отображение из Conv с метрикой Хаусдорфа в Meas(R^2) непрерывным? Наследуем ли мы тах хоть какую-то гладкую структуру? Это все должно быть известно, но я нигде ничего не нахожу. 9 comments|post comment

Диагональ четырехмерного Куммера [15 Nov 2022|04:40pm] [ mood | sick ] [ music | Янка Дягилева -- Стаи летят ] В стандартном дискурсе на эту тему говорят так: возьмите подвижную рациональную кривую на гиперкэлеровом многообразии, ну и задвигайте. Ее пространство деформаций всегда двумерно, то есть она заметает либо линейчатый дивизор (база которого вновь симплектична), либо лагранжеву рационально связную поверхность, и определяется это ее квадратом Бовиля-Богомолова. Но что-то тут не то. Вообще конечно меня интересует четырехмерный Куммер, но вопрос все равно локальный, так что давайте смотреть на 'Куммера' от A^2. А именно, на Hilb^3(A^2) рассмотрим отображение суммирования Hilb^3(A^2) \to A^2 и у него слой над нулем Kum^2 \subset Hilb^3. В нем содержится локус подсхем с неприведенным носителем, распадающийся в локально замкнутый локус Y подсхем с носителем длины в точности два, и локус Q подсхем, сидящих в нуле. Локально Y это коизотропный дивизор с P^1-расслоением: точка Y есть подсхема с носителем {a, a, -2a}, и отправляя ее в a \in A^2, мы стягиваем P^1, параметризующую направление касательного вектора в точке a. В то же время Q это лагранжева плоскость. Как же они сочленены друг с другом? Нам тут поможет GL(1)-действие -- то есть, действие гомотетиями на A^2. Во-первых, оно действует нетривиальным образом на Q: у него есть изолированная неподвижная точка вида Spec k[x,y]/<x^2, xy, y^2>, единственная некриволинейная подсхема длины три, сосредоточенная в начале координат, и еще прямая из неподвижных точек вида Spec k[x]/<x^3>, сидящих на прямых, проходящих через начало координат. Вообще же всякая подсхема длины три, сосредоточенная в одной точке, лежит на какой-то конике, но если эта коника невырождена, то подсхема не может сохраняться гомотетией. Итак, замыкания GL(1)-орбит на Q суть прямые, продохящие через изолированную неподвижную точку. А как устроены GL(1)-орбиты точек с дивизора Y? Ну, они имеют предельную точку из Q: если подсхема выглядела как касательный вектор, смотрящий в начало координат, то эта предельная точка лежит на неподвижной прямой; в противном случае это изолированная неподвижная точка. Давайте возьмем общую подсхему из Y, и будем поворачивать соответствующий касательный вектор, пока он не посмотрит в начало координат. Тогда соответствующая GL(1)-орбита изломится в две, одна из которых имеет замыканием прямую в Q. Стало быть, GL(1)-действие на Y устремляет слои P^1-расслоения к различным прямым в Q, проходящим через изолированную неподвижную точку. То есть у такой прямой есть два возможных способа задвигать ее: как прямую на лагранжевой плоскости Q, и как прямую на дивизоре Y. Мы кажется даже можем сделать флоп Kum^2 вдоль Q, чтобы расслоение на замыкании дивизора Y стало регулярным (оно продолжится в нуль, если я правильно понимаю, прямой \eta^\vee -- прямой в двойственной плоскости Q^\vee, которая вклеивается после флопа, двойственной изолированной неподвижной точке \eta \in Q). Все равно непонятно. 5 comments|post comment

Квадрики [26 Jun 2022|10:36am] [ mood | calm ] [ music | sonic youth -- forever young ] Квадрики имеют удивительное, до некоторой степени, различие в поведении между четной и нечетной размерностью. А именно: 1) Гладкая квадрика в P^{2n} не содержит никаких P^n-ов, общая особая квадрика в P^{2n} содержит два семейства P^n-ов, параметризованных P^{n-1}-ами; 2) Гладкая квадрика в P^{2n+1} содержит два семейства P^n-ов, параметризованных P^n-ами, на общей особой квадрике они сливаются в одно. Пусть мы имеем какой-то набор квадрик Q_i, числом m+1. Записывая их как симметричные матрицы, имеем право рассмотреть их взаимный характеристический многочлен \chi_Q = \det(\sum_{i=0}^m \lambda_i Q_i). Он определяет гиперповерхность в P^m, и вышеуказанная дихотомия реализуется на ней следующим образом: 1) Если наши квадрики жили в P^{2n}, то над характеристической гиперповерхностью возникает двойное накрытие, а над ним -- расслоение на P^{n-1}-ы. 2) Если наши квадрики жили в P^{2n+1}, то над P^m-ом возникало бы двойное накрытие, разветвленное в характеристической гиперповерхности, а над ним -- расслоение на P^n-ы. Второй случай известен является классическим для m = 1: Теорема (Понселе, Клейн, Рид, Донаги) Пусть X есть пересечение двух общих квадрик в P^{2n+1}. Тогда линейные P^{n-1}-ы, лежащие на X, параметризуются абелевым многообразием, изоморфным якобиану гиперэллиптической кривой, получающейся двойным накрытием P^1 с ветвлением в характеристическом локусе. ∎ Первый же не столь известен, но зато для m = 2: Теорема (Тюрин, Бовиль) Пусть Y есть пересечение трех общих квадрик в P^{2n}. Тогда его промежуточный якобиан изоморфен многообразию Прима естественного двойного накрытия характеристической кривой. ∎ В частности, эта теорема применима к канонической кривой рода пять. Выходит, что ее якобиан изоморфен примиану двойного накрытия некоторой плоской квинтики. Это базовое соображение, с которого стартуют Клеменс и Гриффитс при доказательстве иррациональности общей трехмерной кубики. Любопытен еще один случай, не покрываемый этими двумя, а именно канонической модели К3 рода пять. Теорема (Мукаи) Пусть Z \subset P^5 К3-поверхность, заданная как пересечение трех квадрик. Тогда двойное накрытие P^2, разветвленное в характеристической секстике, есть К3-поверхность рода два, партнерская по Фурье-Мукаи к Z. Связь между ними можно установить следующим образом, о котором я уже много раз писал. Возьмем Hilb^2(Z), и реализуем его в Gr(2,6) (пара точек на Z \subset P^5 отправляется в стягивающую их хорду). Возьмем все линейные комбинации наших квадрик, тождественно зануляющиеся на данной хорде. Это линейное условие, так что всякая хорда задает прямую в P^2 (которая параметризует наши квадрики), или же точку двойственной P_2^*. Имеем проекцию Hilb^2(Z) \to P_2^*; это лагранжево расслоение, а слои его -- прямые на пересечении двух квадрик в P^5, то есть по теореме Понселе-Клейна-Рида-Донаги якобианы кривых рода два. Причем кривые эти получаются как двойные накрытия соответствующих прямых в P^2, разветвленные в точках пересечения с характеристической секстикой -- то есть как слои компактифицированного якобиана характеристической К3 рода два!! и действительно, эти два лагранжевых расслоения получаются друг из друга скручиванием Шафаревича-Тейта (точнее, если не ошибаюсь, лагранжево расслоение на Hilb^2(Z) оказывается изоморфным компактифицированному Pic^1 от характеристического преобразования Z). А можно поступить иначе, об этом я кажется еще не писал. Для начала подумаем: в скольки точках может линейное P^2 пересекать Z \subset P^5? Ну конечно в трех: просто возьмем три точки на Z, и проведем через них P^2. Можно добиться, подбирая точки, так, чтобы проходящая через них P^2 пересекла Z еще в четвертой. Поскольку пять точек уже никогда не получится, можем рассмотреть такое подмногообразие в Hilb^4(Z): локус четверок, высекаемых какой-то четверосекущей. Заметим, что четверосекущая -- это плоскость, на которой наши три квадрики высекают три коники, проходящие через четверку точек -- иначе говоря, плоскость, ограничении на которую наши квадрики становятся линейно зависимы; плоскость, лежащая на некоторой линейной комбинации наших квадрик. Пользуясь вторым пунктом нашей оригинальной дихотомии, можем понять, что параметризует четверосекущие: для каждой неособой квадрики это пара P^2, а для особой -- одно P^2. Иначе говоря, это семейство P^2, параметризованное двойным накрытием плоскости, разветвленным в характеристической секстике, или же P^2-семейство над К3 рода два. Если вспомнить, что пространство четверосекущих это еще и локус в Hilb^4(Z), это расслоение на P^2 тем самым является характеристическим слоением на коизотропном подмногообразии, а само подмногообразие оказывается алгебраически интегрируемым. Это все самый простой случай, то есть для трех квадрик в P^7 наверное будет какой-то пиздец, алгебраические циклы, компонента Кузнецова, цветущая сложность, Пирутка-Кольо-Тєлэн; проще сразу в могилу. 2 comments|post comment

большой Куммер и маленький Куммер [25 Jun 2022|09:09am] [ mood | sick ] В конструкции многообразий Богомолова-Гуана есть такое место: надо взять слой над нулем, на нем пространство листов характеристического слоения, а потом поднакрыть (чтобы избавиться от особенностей и сделать многообразие односвязным). Это на самом деле не модификация конструкции куммерова многообразия, а сочетание двух различных. Потому что многообразие меньшей размерности можно получить из Hilb^{n+1}(A) от абелевой поверхности A двумя способами: как слой над нулем (или, что то же самое, слой отображения Альбанезе), а можно как фактор по действию A на себе сдвигами. Конечно, любой набор точек можно сдвинуть так, чтобы он стал суммироваться нулем -- но не единственным образом; такие выборы это в точности A[n+1], (n+1)-кручение в A. Более того, фактор слоя над нулем по этой группе также имеет особенности: если x \in A[n+1], то (a_0, a_1, ... a_n) = (a_0 + x, a_1 + x, ... a_n + x), если после переупорядочивания имеем a_i = a_0 + ix -- а условие суммирования нулем означает, что a_0 \in A[n+1]. Таким образом, вероятно, чтобы что-то доказывать про переводимость друг в друга многообразий Богомолова-Гуана и обобщенного куммерова скруткою Шафаревича-Тейта, нужно смотреть на эту малую версию. 1 comment|post comment

Кривизна лагранжевых расслоений [16 Jun 2022|06:23pm] [ mood | sick ] Пусть A -- тор. Экспоненциальное отображения для его группы трансляций T(A) устанавливает точную тройку: H_1(A, Z) \to t(A) \to T(A). Таким образом, для абелева расслоения X \to B имеется точная тройка пучков K \to Vert(X/B) \to Aut(X/B). Пучок K здесь это 'пучок гомологий' слоев с коэффициентами в Z; проблема в том, что гомологии слоев не образуют пучка. В случае неособых слоев эта вольность речи безобидна, но для особых начинают лезть какие-то извращенные пучки. Ну и бог с ними. В присутствии симплектической формы, когда расслоение X \to B лагранжево, вертикальные векторные поля становятся гамильтоновыми, и тем самым пучок оных изоморфен пучку \Omega^1_B. Стало быть точная последовательность определяет такую последовательность когомологий: H^0(B, K) \to H^{1,0}(B) \to H^0(Aut(X/B)) \to H^1(B, K) \to H^{1,1}(B) \to H^1(Aut(X/B)) \to H^2(B, K) \to H^{2,1}(B) ну и будем честны, никому не придет в голову рассматривать многообразие с ненулевой H^{2,1}. Группа H^1(Aut(X/B)) называется группою Шафаревича-Тейта и обозначается Ш, она имеет связную компоненту Ш^0, полученную факторизацией пространства H^{1,1}(B), в случае лагранжевых расслоений линейного, по плотной дискретной подгруппе, и дискретную часть Ш/Ш^0, изоморфную H^2(B, K). Для симплектических многообразий деформации, соответствующие Ш^0, известны также как вырожденные твисторные. Деформации, соответствующие Ш/Ш^0, более загадочны. Немного можно однако понять, если рассмотреть самый наипростейший пример -- расслоение E x E' \to E, где E, E' -- неизогенные эллиптические кривые. У этого расслоения нету особых слоев, так что K есть постоянный пучок Z^2. Кусок, где H^0, отваливается от точной последовательности Шафаревича-Тейта: он есть просто описание эллиптической кривой E' как фактора \C по решетке. Вырожденные твисторные деформации соответствуют 'перекосам' прямого произведения: если E x E' \to E можно реализовать как Tot(\O_E) \setminus 0_{}\) mod \lambda, где E = (C \ {0}) mod \lambda, то его деформации будут биголоморфны Tot(L) \setminus 0_L mod \lambda для всевозможных линейных расслоений L \in Pic^0(E) степени нуль. Соответственно, такие факторы для расслоений степени не нуль (поверхности Кодаиры-Терстона) будут получаться как топологически нетривиальные деформации. Проблема этой теории состоит в том, что поверхность Кодаиры-Терстона для данной степени, данного значения \lambda и данной базы E единственна с точностью до вырожденной твисторной деформации. Поэтому в качестве Ш мы должны брать не всю H^1(Aut(X/B)), а лишь некоторую ее факторгруппу. Присутствие линейной системы K очень раздражает: поскольку для поверхности Кодаиры она меньше, чем для тора, в такой логике выходит, что топологически нетривиальные скручивания Шафаревича-Тейта, видимо, необратимы. А интересен именно обратный процесс: как из лагранжева расслоения с нетривиальным классом (то есть, нетривиальной кривизной -- если мы сумеем определить понятие кривизны для лагранжевых расслоений), а стало быть не имеющим сечения, получить 'плоское', допускающее сечение расслоение. Таким образом, как известно, получаются оба примера О'Грейди; в нашем случае так 'получается' абелева поверхность из поверхности Кодаиры-Терстона (а также, видимо, обобщенное многообразие Куммера из многообразия Богомолова-Гуана) post comment

дивизор на четырехмерном обобщенном куммере с нетривиальным классом в группе Брауэра [14 May 2022|10:50pm] [ mood | sleepy ] Примеры из прошлого поста немного переносятся в обобщенные куммеры. А именно, пусть на абелевой поверхности A есть линейная система |C| кривых рода m+2, то есть параметризованная P^m. Кривая такой линейной системы проходит через общие m точек, стало быть условие 'x_1, x_2, ... x_{m+1} лежат на одной кривой из |C|' имеет коразмерность один в Hilb^{m+1}(A). Давайте возьмем этот дивизор, и пересечем его с Kum^m(A) \subset Hilb^{m+1}(A), который мы определяем как прообраз нуля 0_A при отображении суммирования Hilb^{m+1}(A) \to A, \{x_i\} \mapsto \sum_i x_i. Получится какое-то подмножество в куммере, обозначим его за D (потому что иногда наверное это дивизор). В принципе, может получиться весь куммер. Давайте m = 1; тогда линейная система может быть сдвинута таким образом, что все ее кривые рода три будут симметричны относительно умножения на -1_A, и в таком случае всякий цикл из Kum^1(A), то есть имеющий вид (-x, +x), будет лежать на какой-то кривой. Но уже для m = 2 выходит интереснее. Я возьму линейную систему такого вида: кривые рода четыре, проходящие через 0_A, и имеющие там нодальную особенность. Можно показать, что всякая такая кривая сохраняется умножением на -1_A, и его ограничение, рассматриваемое как инволюция \iota на нормализации кривой, действует с факторкривой рода два. Какая тройка точек x, y, z \in C \subset A суммируется в 0_A? Вложение C \to A определяет гомоморфизм из якобиана Jac(C) \to A, и тройка суммируется нулем, если соответствующая точка x + y + z \in Jac(C) лежит в ядре этого гомоморфизма. С другой стороны, ядро этого гомоморфизма -- это неподвижные точки продолжения инволюции \iota на якобиан. Точка неподвижна, если имеется линейная эквивалентность дивизоров x + y + z \sim \iota(x) + \iota(y) + \iota(z). Тут могут быть два случая. В первом -- это реально один и тот же дивизор, и тогда с точностью до перенумерации x = \iota(x) (и потому отображается в 0_A), а y = \iota(z). Во втором -- это два разных, но линейно эквивалентных дивизора, а потому h^0(O_C(x + y + z)) > 1. Но по формуле Римана-Роха h^0(O_C(x + y + z)) - h^0(K_C(-x - y - z)) = 3 - 4 + 1 = 0, так что это означает, что имеются как минимум две 1-формы, зануляющиеся в x, y, z. А мы хорошо знаем, что это такое: рассмотрим C как каноническую кривую в P^3, то есть пересечение квадрики и кубики. Канонические дивизоры на C это ее плоские сечения, а тройки точек, в которых зануляется пара 1-форм -- это ее трисекущие, то есть образующие квадрики, на которой образ канонического вложения C лежит. Заметим, что инволюция \iota имеет два плюса и два минуса, а потому при действии на P^3 = PH^0(K_C)^* она сохраняет не просто квадрику, а оба семейства прямых на ней (а не меняет их местами). Стало быть, трисекущие xyz и \iota(xyz) принадлежат одному и тому же семейству, а потому соответствующие дивизоры линейно эквивалентны: в самом деле, если abc трисекущая из другого семейства, то оба дивизора a + b + c + x + y + z и a + b + c + \iota(x + y + z) канонические. Значит, каждая кривая в нашей линейной системе определяет две рациональных кривых в дивизоре D \subset Kum^2(A) две рациональных кривых. Поскольку сама линейная система параметризуется P^2, сильно подозреваю, что эти рациональные кривые должны переставляться монодромией, и в таком случае фактором D по характеристическому слоению будет некоторая К3-поверхность рода два. Это расслоение на коники над ней строится не как проективизация векторного, коники возникают как спиноры -- поэтому можно надеяться, что оно будет иметь ненулевой класс в группе Брауэра. Можно, аналогично ситуации схем Гильберта, смотреть на тэта-локусы большей коразмерности. Например, взять абелеву поверхность с линейной системой кривых рода три, и рассмотреть в ее Hilb^3 локус коразмерности два, состоящий из троек точек, сидящих на одной кривой из линейной системы. Но теперь час уже поздний, и я что-то не могу сообразить, как он пересекает сидящий там Kum^2, а если и соображу, то уже будет лень записывать. Спокойной ночи. post comment

[12 May 2022|05:18pm] [ mood | sick ] Маркман получает свою К3 такой-то матерью: берет то, что мы называли 'существенной структурой Ходжа' (фактор ортогонала к пулбэку O(1) с базы по самому пулбэку O(1)), замечает что оно из теоретико-решетчатых соображений изоморфно примитивным когомологиям какой-то К3, а потом при помощи напильника получает саму К3 (а не только ее класс партнерства Фурье-Мукаи -- хотя казалось бы из примитивных когомологий ничего более тонкого не вытащишь). Но наверное можно было бы пытаться делать это более геометрично. Давайте отвлечемся и опровергнем одну гипотезу Богомолова. Пусть есть лагранжево расслоение над P^n, и возьмем прямую P^1 \subset P^n. Допустим, что над нею есть сечение. Богомолов предположил, что тогда есть рациональное сечение надо всем P^n: надо-де просто поелозить этим P^1-ом, который есть сечение, во всех направлениях, таким образом получится сечение над любой прямой в P^n, а стало быть и рациональное сечение. Пример будет такой: возьмем К3-поверхность S с линейной системой |C| \subset S кривых рода два. Как известно, всякая такая K3 допускает инволюцию с фактором P^2, после которой линейная система |C| превращается в линейную систему прямых. Рассмотрим компактифицированное многообразие Пикара Pic^1(|C| \subset S), члены которого суть пучки с носителями на кривых из |C|, в ограничении на свой носитель устроенные как линейное расслоение степени 1. Выберем точку x \in S, и рассмотрим всевозможные кривые из C_t \in |C|, проходящие через x, и на них пучок O_{C_t}(x). Это задаст рациональную кривую в многообразии Pic^1(|C|), которая проецируется в прямую, двойственную к x (базой лагранжева расслоения является P^2, двойственная к той, что накрывается поверхностью S). Гипотеза Богомолова утверждала бы, что это сечение разносится до рационального. Однако это неверно: в противном случае имелся бы бирациональный изоморфизм Pic^1(|C|) \to \Pic^0(|C|) с многообразием Маркушевича, в то время как известно, что они связаны только вырожденною твисторной деформацией. Напротив, легко видеть, что всячески двигая базу этого сечения (то есть точку x \in S), мы получаем рациональные кривые, заметающие следующее многообразие: среди всего многообразия модулей пучков, сосредоточенных на кривых из |C| и имеющих в ограничении на них степень 1, мы берем те, что получаются как O_C(x) для какой-то точки x \in C. С каждым слоем такой локус пересекается по кривой (образу вложения C \to Pic^1(C)), то есть суммарно это такой относительный тэта-дивизор. Фактор по его характеристическому слоению есть исходная K3-поверхность S. Выбор рода два особенно нагляден, но можно повторить все то же самое для любой поляризованной К3. А именно, в компактифицированном многообразиии Пикара Pic^k(|C| \subset S) будет сидеть локус \Theta(S, |C|, k) размерности g+k, состоящий из пучков, выглядящих в ограничении на свой носитель C как O_C(x_1 + x_2 + ... + x_k) для каких-то точек x_1, x_2, ... x_k \in C. Он будет допускать бирациональное стягивание на Hilb^k(S) с общим слоем P^{g-k}, причем, рассматриваемые как подмногообразия в Pic^k, слои эти проецируются на базу как линейные подпространства Pic^{g-k} \subset P^g. Так что возможно в маркмановской задаче имеет смысл делать вырожденную твисторную деформацию такую, в которой возникал бы относительный тэта-локус \Theta(1) размерности g+1, а его фактор по характеристическому слоению был бы исходной K3. Однако мы не можем контролировать ходжевость соответствующего класса в H^{2g-2} гомологически. Вместо этого можно добиться ходжевости тэта-дивизора в H^2 для k = g-1. Однако пока я это писал, мне опять стало тошно про это думать. Наверное, все это уже было у Савона. 1 comment|post comment

Союзное расслоение на многообразии Бовиля-Мукаи? [28 Nov 2021|11:06am] Формула на mathoverflow была естественно неправильная; а правильная такая: H^2(K3^{[n]}, Z) = H^2(K3, Z) + Z[E]; q([E]) = 2-2n Вот её Маркушевич пишет. Стало быть, в инвариантной плоскости, порождённой [C] и [E] в когомологиях многообразия Бовиля-Мукаи линейной системы |C|, имеются два изотропных вектора: [C] + [E] и [C] - [E]. Один из них, несомненно, есть параболический вектор расслоения Бовиля-Мукаи, другой -- непонятно. Если он nef (а чего бы ему не быть?), он должен задавать некое союзное расслоение, слой которого пересекается со слоем Бовиля-Мукаи по 4g-4. Например для расслоения Маркушевича это 4, что хорошо согласуется со знанием о том, что общая абелева поверхность отображается на P^2 со степенью четыре. Вообще интересно посмотреть на возможные изотропные векторы. Действительно, если C \subset S кривая рода g, то вектор a[C] + b[E] \in H^2(S^{[n]}, Z) имеет квадрат a^2(2g-2) + b^2(2-2n). Если g = n, этот вектор может быть изотропен только если он параболический вектор для Бовиля-Мукаи или этого гипотетического союзного с ним расслоения. Вообще же говоря, у нас просто получается что (g-1)/(n-1) = (a/b)^2, не более того. Например в случае двухточечной схемы Гильберта любая кривая рода m^2 + 1 определяет изотропный вектор. Является ли он параболическим для какого-нибудь лагранжева расслоения? Подозреваю, ортогональная группа решётки может переводить одни такие вектора в другие (не сохраняя при этом исключительный дивизор, разумеется). То есть скажем из кривой рода два на К3 можно получить кривую рода пять на какой-то другой К3, применяя какое-то скручивание Дена к её двухточечной схеме Гильберта и толкая вперёд лагранжево расслоение. 1 comment|post comment

Расслоения Бовиля-Мукаи и противоречие в математике [17 Nov 2021|12:32pm] [ mood | sick ] Вот есть у нас многообразие Бовиля-Мукаи BM_d(S, |C|). Оно параметризует пучки на К3-поверхности S с вектором Мукаи таким что, тыры-пыры, короче которые выглядят как линейные расслоения степени d над своим носителем, который приходится кривой из линейной системы |C|. Например, если d = g есть род этой кривой, то оно бирационально изоморфно g-точечной схеме Гильберта Hilb^g(S). А именно, рассмотрим многообразие F, параметризующее флаги (S, C, D), где C \subset S кривая рода g, и D \subset C эффективный дивизор степени g. Мы можем рассмотреть отображение F \to Hilb^g(S), забывающее про кривую, а можем отображение F \to BM_g(S, |C|), забывающее про дивизор и сопоставляющее ему пучок i_*O_C(D), где i : C \to D тавтологическое вложение. Давайте рассмотрим S вложенной в P^g линейной системой |C|. Тогда проекция F \to Hilb^g(S) неоднозначна в точности в подсхемах, которые содержатся в проективном подпространстве коразмерности хотя бы два (в противном случае через них проходит ровно одна гиперплоскость, высекающая единственную возможную кривую из |C|, на которой эта подсхема лежит). Проекция F \to BM_g(S, |C|) неоднозначна в точности в пучках с h^0 > 1, а по теореме Римана-Роха это в ту же цену, что h^1 > 0. Наверху это один и тот же локус! Это следует из следующей леммы: кривая из линейной системы |C| на К3-поверхности S сидит на гиперплоскости, которой она высекается вложением S \to P^g при помощи |C|, своим каноническим вложением C \to P^{g-1}. Стало быть, если какая-то подсхема в S лежит более чем на двух гиперплоскостях, это значит что для каждой из кривых, на которых она лежит, она попадает в некоторую гиперплоскость при каноническом вложении. Иначе говоря, существует 1-форма с нулями в этой подсхеме; а пространство таких 1-форм это в точности H^0(K \o O(-D)) = H^1(O(D)). Всё вышеизложенное верно; где-то же после этого места имеется ошибка. Про бирациоальную изоморфность многообразий Бовиля-Мукаи другой степени мы, конечно, ничего сказать не можем (за вычетом того что они изоморфны друг другу через 2g-2). Однако они все диффеоморфны схеме Гильберта. Вторые рациональные когомологии схем Гильберта изоморфны, как векторное пространство, H^2(S, \Q) \oplus [E], где [E] класс вдутого дивизора. Группа классов отображений К3-поверхности действует как ортогональная группа формы пересечения, в частности без неподвижных векторов; оно индуцирует на схеме Гильберта такое же действие, у которого инвариантом будет [E]. Теперь рассмотрим группу классов отображений, сохраняющих поляризацию [C]. Она, вроде как, действует ортогональной группой перпендикулярной к нему подрешётки, и на схеме Гильберта стало быть действует всего с двумя инвариантами, [C] и [E]. В постинге на mathoverflow утверждают, что квадрат Бовиля-Богомолова для линейной комбинации a[C] + b[E] равняется a^2[C].[C] - 2b^2, а поскольку [C].[C] = 2g-2, имеем квадрат (2g-2)a^2 - 2b^2. Он не может равняться нулю, если g-1 не есть полный квадрат. Однако он должен! Группа классов отображений, сохраняющих поляризацию [C], действует эквивариантно и на многообразии Бовиля-Мукаи, сохраняя лагранжево расслоение. Параболический вектор этого расслоения целочислен, инвариантен, и имеет нулевой квадрат Бовиля-Богомолова. Где ошибка? 10 comments|post comment

Контактная структура на одном локусе Гурвица [28 Oct 2021|10:53am] [ mood | nervous ] [ music | Andrzej Weber -- Characteristic classes of certain nilpotent B-orbits ] Обнаружил такую любопытную лемму. Лемма (о сети ловчей). Пусть C алгебраическая кривая, и \Phi \in S^m(H^0(K_C)) полином от 1-форм на ней. Тогда гиперповерхность с уравнением {\Phi = 0} \subset P(H^0(K_C)^*) содержит каноническую кривую C, если и только если \Phi лежит в ядре умножения S^m(H^0(K_C)) \to H^0(K_C^m). Доказательство: В самом деле, если ev_x : H^0(K_C) \to T^*_x есть отображение вычисления, то \Phi({ev_x}^m) \in {T^*_x}^m есть значение \Phi в точке x \in C, и оно тождественно равно нулю во всех точках, если и только если всякая прямая ev_x \subset H^0(K_C)^*, то есть всякая точка канонической кривой, лежит на гиперповерхности {\Phi = 0}. ∎ В случае кривой рода четыре имеем dim S^2H^0(K_C) = 4*5/2 = 10, dim H^0(K_C^2) = 3*4-3 = 9, так что каноническая негиперэллиптическая кривая рода четыре лежит на единственной квадрике. Более того, dim S^3H^0(K_C) = 4*5*6/1*2*3 = 20, dim H^0(K_C^3) = 5*4-5 = 15, так что она лежит и на пятимерной линейной системе кубик, из которых четырёхмерное семейство -- это та самая квадрика, к которой дорисовали плоскость, а стало быть имеется ещё единственная с точностью до этого семейства кубика, и таким образом негиперэллиптическая каноническая кривая рода четыре есть пересечение квадрики и кубики. Теперь пусть у кривой C есть инволюция i, фактор по которой -- кривая рода два. Будем называть такое данное кривой рода 4 -> 2. Тогда H^0(K_C) = H_+ + H_-, где H_+ = H^0(K_{C/i}). Имеем разложение S^2H^0(K_C) = [S^2H_+ + S^2H_-] + [H_+ \o H_-]. Из подсчёта размерностей легко видеть что, отображение умножения на отрицательных собственных векторах инволюции H_+ \o H_- \to H^0(K_C^2)_- есть изоморфизм, так что ядро содержится в сумме S^2H_+ + S^2H_-. При этом оно не попадает ни в то, ни в другое слагаемое: в противном случае конус, задаваемый им в P(H^0(K)^*) разваливался бы в объединение двух плоскостей, и не мог бы содержать гладкой кривой рода четыре. С другой стороны, образ этого пространства H^0(K_C^2)_+ сопряжён по Серру касательному подпространству к локусу кривых рода 4 -> 2, так что по двойственности это касательное пространство отображается в сумму двух трёхмерных пространств, с каждым из которых оно пересекается по ожидаемой коразмерности. Итого, на локусе кривых рода 4 -> 2 возникает два двумерных слоения. Фактор по одному из них изоморфен пространству модулей кривых рода два, а само слоение возникает за счёт того, что мы можем зафиксировать кривую рода два и двигать точки ветвления. Фактор по другому изоморфен пространству модулей абелевых поверхностей с поляризацией рода четыре, а отображение на него реализуется сопоставлением накрытию C \to C/i его примиана. При этом я не вижу, почему это два слоения должны коммутировать. Иными словами, два двумерных касательных пространства к каждому из них в сумме дают распределение коразмерности один на пятимерном локусе кривых рода 4 -> 2, которое не является интегрируемым. Учитывая, что касательное пространство к первому слоению изоморфно H^0(T_{C/i} \o \O_D), где D \subset C/i дивизор ветвления, а ко второму -- H^0(K_C)/H^0(\Omega^1A|_C) = H^0(K_{C/i}), кажется, что это спаривание должно быть попросту вычислением естественного определителя 2-на-2, получающегося подстановкой касательных векторов в 1-формы. В таком случае тензор Фробениуса становится частично вырожденным вдоль локуса в локусе кривых рода (4 -> 2), у которых дивизор ветвления инвариантен относительно гиперэллиптической инволюции на базе -- что естественно, поскольку такие кривые рода четыре, кажется, сами гиперэллиптичны. Однако доказать я этого не в состоянии. 3 comments|post comment

Противоречие в математике [15 Oct 2021|02:05pm] [ mood | bored ] Объясню для приличия чуть более подробно предыдущий пост. Возьмём кривую C рода g, и отметим на ней 2N точек, а потом возьмём и двулистно накроем с ветвлением в этих точках. Получится кривая S рода g', давайте вычислим его по формуле Римана-Гурвица: 2-2g' = 2(2-2g-2N) + 2N, то есть 1-g' = 2-2g-N, то есть g' = 2g+N-1. Инволюция, возникающая на кривой S, действует на голоморфных 1-формах, причём собственное подпространство, на котором она действует с плюсом, это в точности формы, поднятые с C. Их пространство g-мерно, а стало быть размерность собственного подпространства с минусом равняется g'-g = g+N-1. Заметим, что инволюция сохраняет целочисленную структуру Ходжа, а следовательно и её собственные пространства приходят из целочисленных подструктур Ходжа. Целочисленная подструктура Ходжа в первых когомологиях это то же самое что фактор якобиана; то есть кривая S отображается в некое абелево многообразие A размерности g+N-1, причём формы, ограничивающиеся с него, суть собственные формы для инволюции с собственным числом -1, и можно выбрать вложение так, чтобы отображение x \mapsto -x на A сохраняло образ кривой и индуцировало на ней ту же самую инволюцию. Тем самым, фактор S по инволюции -- то есть исходная кривая C -- отображается в фактор A/\pm 1, и значит поднимается в его десингуляризацию, многообразие Куммера. Итого: всякая кривая рода g может быть вложена в куммерово многообразие размерности g-1 или выше. Остановимся на случае куммеровой поверхности. У нас есть следующее данное: тор A, кривая рода g < 6 на нём, сохраняемая инволюцией x \mapsto -x, на которой она индуцирует инволюцию с 10-2g неподвижными точками. Малая деформация кривой, после подходящего сдвига, сохраняет это условие, ибо оно топологическое; стало быть, возникает семейство кривых -- и после факторизации они определяют (g-2)-параметрическое семейство кривых рода g-2 на поверхности Куммера. Для g = 2 это почти тавтология, для g = 3 это любопытное наблюдение, производящее неизотривиальные эллиптические расслоения на куммеровых К3 (оно присутствует ещё у Барта, но теряется в грудах формул). Остановимся на нём чуть подробнее. 10-2*3 = 4, так что у нашей инволюции на кривой 4 неподвижных точки. Неподвижные точки инволюции это точки 2-кручения поверхности, причём других точек пересечения у них нет. Так что когда мы их раздуваем соответствующие нодальные особенности фактора, получаются 4 рациональные кривые, пересекающиеся с каждой гладкой эллиптической кривой нашего пучка. Это его 4 рациональных сечения. Другие 12 точек 2-кручения на гладких представительницах пучка не лежат, но через них проходят нодальные вырождения, которые после раздутия превращаются в особые слои, устроенные как две рациональные кривые, пересекающиеся в двух точках. Сдвиги на элементы 2-кручения либо сохраняют расслоение (и переставляют его 4 рациональных сечения), либо переводят в одно из трёх других эллиптических расслоений -- у которых также будут 4 сечения, бывшие в других расслоениях компонентами исключительных слоёв. Ничего не предвещает беды. Давайте теперь g = 4. Тогда 10-2g=2, то есть имеется двухпараметрическое семейство гладких кривых рода четыре, проходящих через две точки 2-кручения, и сохраняемых умножением на -1. При факторизации они превращаются в двухпараметрическое семейство кривых рода два, проходящих через две нодальные особенности. Заметим, что у кривой рода четыре на абелевой поверхности самопересечение 6, так что пересечение двух наших кривых S и S' состоит из шести точек, из которых две точки 2-кручения, а остальные четыре симметричны под действием умножения на -1. Значит у факторов C = S/\pm 1 и C' = S'/\pm 1 получается 2 + (6-2)/2 = 4 точки персечения, из которых первые две это особенности, и после их раздутия остаётся ровно две точки пересечения. Хочется сказать, что тем самым точки нашей поверхности разбиваются на пары, то есть на поверхности возникает инволюция, фактор по которой есть двойное накрытие P^2, на котором наше двухпараметрическое семейство кривых рода два это линейная система поднятия O(1). Но всё это чрезвычайно подозрительно. Например, куда деваются две исключительные кривые, которые по одному разу пересекают каждую гладкую кривую нашего семейства? Из тех соображений, что две точки 2-кручения, попадающие на наши кривые рода четыре, суть нули дифференциалов, задающих деформации -- а следовательно нули дифференциалов, сохраняемых инволюцей -- а следовательно нули дифференциалов, приходящих с кривой рода два -- а следовательно прообразы точек, переходящих друг в друга при её родной гиперэллиптической инволюции -- кажется, что эти исключительные кривые должны переставляться инволюцией на куммеровой поверхности, и тем самым давать рациональную кривую на P^2. Поскольку всякая кривая рода два из линейной системы пересекала обе исключительные кривые по одной точке, значит и всякая прямая на P^2 будет пересекать эту рациональную кривую по одной точке, то есть сама будет являться прямой. Но тогда она не может лежать в общем положении: её прообраз будет иметь род два!! значит, это что-то вроде би- или даже трикасательной (у нас очень необщая поверхность, так что никто не может заболтать возможность наличия трикасательных мнимыми разглагольствованиями об общем положении). Но есть тут и более глубокая трудность. А именно, с линейной системой кривых рода g на абелевой поверхности A можно связать голоморфно симплектическое многообразие размерности 2g-4, повесив над каждой точкой, соответствующей гладкой кривой с точностью до сдвига, ядро отображения её якобиана в A, а потом правильным образом замкнув. Это называется расслоением Дебарра, его тотальное пространство бирационально 2g-4-мерному обобщённому многообразию Куммера от A. Мы видели это явно для g=3. Но в случае рода g = 4 ядра такого отображения -- это якобианы соответствующих факторов по инволюции! То есть, если мы действительно можем так получить линейную систему рода два на куммеровой К3, то вне особого локуса многообразие Дебарра будет расслоением на такие же абелевы поверхности, что и расслоение Маркушевича (в большой науке принято говорить 'Бовиля-Мукаи', но в этом блоге устоялась альтернативная терминология) той линейной системы на куммеровой К3, а многообразие Маркушевича бирационально изоморфно двухточечной схемы Гильберта. Если бы эти два лагранжевых расслоения имели голоморно симплектоморфные тотальные пространства, то схема Гильберта была бы деформационно эквивалентна обобщённому многообразию Куммера, что невозможно из-за разных чисел Бетти. Не могут они быть связаны даже вырожденной твисторной деформацией: над аффинной базой это влечёт биголоморфность. Решений этого противоречия два: либо действительно множеством гладких слоёв (как локусом в пространстве модулей абелевых многообразий) невозможно уловить даже число Бетти тотального пространства, либо конструкция, производящая из поляризации рода четыре на абелевой поверхности куммерову поверхность, реализующуюся как двойное накрытие плоскости, была порочна изначально. Впрочем это тоже было бы интересно понять. 6 comments|post comment

Геометрические структуры на куммеровых поверхностях [14 Oct 2021|06:26am] [ mood | awake ] [ music | Jarosław Ławnicki – Affine varieties with simple topology ] Хорошо известен пример эллиптической К3, для которого можно всякие вещи легко посчитать: это кумметова поверхность произведения двух эллиптических кривых. Сами эти кривые отображаются в две рациональные кривые на куммере, но их сдвиги отображаются в честные эллиптические кривые, и отображения проекции задают два взаимно трансверсальных эллиптических пучка. К сожалению, эти пучки изотривиальны. Но на куммеровой поверхности можно сделать и неизотривиальный эллиптический пучок! Для этого надо взять абелеву поверхность с гладкой кривой рода три. Барт заметил, что такая кривая есть всегда двулистное накрытие эллиптической кривой, и обратно. В частности, умножение на -1 на абелевой поверхности индуцирует на кривой рода три инволюцию, переставляющую листы этого накрытия, и в куммерову поверхность кривая рода три после подходящего сдвига отображается эллиптической кривой. Начиная деформировать кривую по поверхности так, чтобы она продолжала сохраняться инволюцией, мы получим семейство эллиптических кривых, пересекающихся в четырёх точках кручения, которые после раздутия становятся нетривиальным эллиптическим пучком (с двенадцатью особыми слоями типа I_2). Аналогично, исчислением размерностей доказывается, что общая кривая рода четыре на абелевой поверхности есть двулистное накрытие кривой рода два, ветящееся в двух точках, а рода пять -- неразветвлённое накрытие кривой рода три. Соответственно, при подходящем сдвиге кривая рода четыре отображается в куммера как кривая рода два, деформирующаяся в двумерном семействе, то есть прообраз прямой на плоскости при двойном накрытии, ветвящемся в секстике, а рода пять -- как кривая рода три с трёхмерным семейством деформаций. Заметим, что для рода два также бывает тривиальный пример: это куммер якобиева многообразия кривой рода два, её сдвиги определяют изотривиальное двумерное семейство. Что такое изотривиальное семейство кривых рода три на куммеровой поверхности, я уже не понимаю. Интересно, можно ли соорудить у этих семейств послойные якобианы. Так можно было бы опровергнуть гипотезу Мацушиты: если взять кривую рода три на абелевой поверхности, её всевозможные деформации, в том числе и сдвиги, спустятся в куммерову К3 как слои эллиптического пучка плюс некоторое семейство кривых рода три, изотривиальное по двум направлениям, но неизотривиальное по третьему, как бы коллинеарному направлению эллиптического пучка. Послойный якобиан был бы шестимерным многообразием с лагранжевым расслоением, изотривиальным всего по двум направлениям, и нетривиальным по третьему. 4 comments|post comment

Миллениалы изобрели преобразование Фурье-Мукаи [04 Oct 2021|04:25pm] [ mood | tired ] Пусть есть голоморфно симплектическое многообразие. Его пространство периодов есть открытый кусок квадрики в P(H^2), то есть имеет размерность b_2-2. Локус многообразий, допускающих лагранжевы расслоения, есть счётное объединение дивизоров в нём, то есть размерности b_2-3, и на нём в свою очередь есть слоение вырожденными твисторными кривыми. Пространство листов этого слоения, называемое tiphareth пространством Алексеева, имеет размерность b_2-4. Например, если многообразие было деформационно эквивалентно схеме Гильберта К3-поверхности, эта размерность равняется 19, a если обобщённому куммерову многообразию -- то 3. Заметим, что это размерности пространств модулей поляризованных К3 и абелевых многообразий соответственно. Для К3-поверхностей, как уже неоднокрано упоминалось в этом блоге, имеется конструкция Бисваса-Маркмана-Маркушевича, компактифицирующая относительный якобиан кривых рода g на К3-поверхности до голоморфно симплектического многообразия, деформационно эквивалентного g-точечной схеме Гильберта. Это определяет отображение из пространства периодов К3 с поляризацией рода g в пространство лагранжево расслоённых многообразий. С другой стороны, вырожденная твисторная деформация ему трансверсальна, потому что общая кривая на K3-поверхности не имеет тривиальных деформаций, кроме нулевой. Стало быть, мы таким образом получаем всю компоненту, ну или по крайней мере открытый её кусок (и наверное в силу какой-нибудь эргодичности плотный). С другой стороны, вырожденная твисторная деформация сохраняет слои. Получается следующий результат: общее абелево многообразие, возникающее как слой лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии типа K3^{[n]}, есть якобиан кривой, лежащей на К3-поверхности. Звучит чудовищно неправдоподобно, но что поделать. Можно например посчитать дифференциал отображения Маркмана из пространства периодов поляризованных К3 в пространство Алексеева. А именно, касательное пространство к пространству периодов это H^{1,1}, поляризацию сохраняет ортогонал к ней по форме пересечения. Касательное пространство к пространству Алексеева это фактор h^\perp/h, где h = c_1(\pi^*(O(1))), а ортогонал берётся по форме Бовиля-Богомолова. И форма пересечения, и форма Бовиля-Богомолова индуцируют на своих пространствах отрицательно определённую форму, и мы ищем естественную изометрию (которая бы ещё наверное переводила целочисленные вектора в целочисленные вектора, если таковые найдутся). Целочисленный вектор в ортогонале к поляризации это линейное расслоение, которое ограничивается на каждую кривую линейной системы как топологически тривиальное. Тем самым, оно задаёт сечение относительного Pic^0, и опуская вдоль него пучок Пуанкаре, мы получаем линейное расслоение на тотальном пространстве относительного якобиана. Кроме того, на каждом слое оно тривиализуется, так что лежит в ядре отображения ограничения H^{1,1}(Jac) \to H^{1,1}(A), а это ядро есть ортогонал к полуобильному вектору относительно формы Бовиля-Богомолова. Чего я не понимаю, так это где и что я пропустил, что у меня сразу получилось линейное расслоение, а не линейное расслоение с точностью до обратного образа чего-то с базы. С другой стороны, это непонимание воодушевляет: если бы не это, это давно бы уже было написано в какой-нибудь базовой книжке про преобразование Фурье-Мукаи. 2 comments|post comment

Конструкция Маркмана и кривые рода три на абелевых поверхностях [04 Oct 2021|01:02pm] [ mood | hungry ] Если v_r и noctiluca, наши друзья и друзья равенства, не врут, то что бы мешало бы конструкцию Маркмана применить и к кривым на абелевой поверхности? Если всё правильно переговорить через пучки, возникнет нечто, а по сути следующее: имеется абелева поверхность A, на ней гладкая кривая рода g. Рассмотрим все её гладкие деформации, это g-мерное многообразие, на котором A действует сдвигами, а фактор \CP^{g-2}. Послойный якобиан этого образования допускает голоморфную симплектическую структуру, которая в свою очередь допускает компактификацию, и на всём этом снова действуют сдвиги, и по ним можно произвести симплектическую редукцию. Получается лагранжево расслоение над \CP^{g-2}, слой которого над точкой C \subset A есть ядро отображения Jac(C) \to A. Это многообразие, вероятно, деформационно эквивалентно обобщённому куммерову многообразию (g-1)-точечных подсхем этой поверхности, суммирующихся нулём. Но это дико уже для g=3! Получается следующее: имеется кривая рода три C на абелевой поверхности A (или, что то же самое, двойное накрытие эллиптической кривой, разветвлённое в четырёх точках). Её деформации с точностью до сдвига параметризуются \CP^1. Если для каждой деформации мы повесим над соответствующей точкой \CP^1 эллиптическую кривую, ядро отображения из якобиана в A -- или ту самую эллиптическую кривую, которую C двулистно накрывает, это одно и то же -- то получится естественным образом эллиптическая K3-поверхность. Это не то что бы удивительно: чтобы задать 2-форму в размерности два, нужно указать, как умножается одна пара векторов. Ну возьмём вертикальный вектор (то есть класс из H^{0,1}(C), спаривающийся нулём с любой формой, приходящей на C ограничением с A), возьмём любой другой, спроецируем вниз (получив класс из H^{1,0}(C) с точностью до приходящих ограничением с A), да и спарим. Но что это за K3-поверхность, вообще-то совершенно непонятно. Почему у кривой рода три на абелевой поверхности только 24 (или какое-то частное 24) вырождений? Вопросов больше чем ответов. С модулями дела обстоят так. Биэллиптические кривые рода три имеют четырёхмерные модули (один параметр -- какую эллиптическую кривую мы накрываем, ещё четыре -- выбор критического локуса, и минус один за действие сдвигами). Биэллиптическая кривая даёт не только К3, но и конкретную эллиптическую кривую на ней, то есть поверхностей таким образом мы получаем не более чем трёхмерное семейство. То есть как куммеровых! Но не на любой куммеровой K3 есть эллиптическое расслоение (хотя если их меньше, проблемы не возникает). Непонятно также, что с этим семейством делает вырожденная твисторная деформация. Думаю, она должна идти трансверсально ему -- в противном случае было бы что-то типа семейства абелевых поверхностей, на которых все кривые рода три одни и те же, а условие быть частным абелева многообразия есть условие дискретное. Вопроса с возможным касанием это, впрочем, не закрывает (дискретность ещё не означает неразветвлённости). 3 comments|post comment

Что на самом деле гласит теорема Бовиля-Мериндоля [01 Oct 2021|02:27pm] [ music | Michigander – East Chicago, IN ] Пусть есть гладкая обильная кривая S на поверхности X. Возьмём нормальную точную последовательность T_S \to T_X|_S \to \nu_{S/X} и дуализируем её, а потом подкрутим на \nu^2_{S/X}. Получится точная последовательность \nu_{S/X} \to \nu^2_{S/X} \o \Omega_X|_S \to \nu^2_{S/X} \o K_S. Имеется её родной связующий гомоморфизм H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S) \to H^1(\nu_{S/X}). С другой стороны, имеется отображение Валя-Гаусса \Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S). Так вот, в статье Бовиля-Мериндоля доказывается (хотя и не говорится прямо), что композиция \Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S) \to H^1(\nu_{S/X}) отображения Валя-Гаусса и связующего гомоморфизма подкрученной конормальной последовательности равняется нулю. В частности, если отображение Валя-Гаусса для нормального пучка сюръективно, то нормальная последовательность расщепляется, и локальные деформации кривой S \subset X тривиальна. Например, это верно, когда X это K3-поверхность, а S есть множество неподвижных точек инволюции, фактор по которой есть двулистное накрытие CP^2: нормальное расслоение можно вложить в ограничение касательного на кривую как (-1)-собственное подрасслоение дифференциала инволюции. Отсюда следует, что отображение Валя-Гаусса для нормального пучка кривой, лежащей на поверхности, поднимается до отображения \Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o \Omega_X|_S). Например, когда X есть абелева поверхность и \Omega_X тривиально, получаются какие-то пары квадратичных дифференциалов на кривой. Вообще-то ужасно, совершенно не могу даже понять, расщепляется ли у кривой на абелевой поверхности нормальная точная последовательность. Вроде как да, но с другой стороны у кривой рода три и выше бывают деформации, которые не сдвиги. 10 comments|post comment

Обращение конструкции Бисваса-Маркушевича [27 Sep 2021|03:28am] [ mood | thirsty ] [ music | Polonez Ogińskiego "Pożegnanie Ojczyzny" (wersja godzinna) ] Давайте рассмотрим открытое голоморфно симплектическое многообразие X, лагранжево расслоённое над шаром. Предположим, что это расслоение тривиально, и слой его -- якобиан кривой S рода g. Вложим по кривой в каждый слой. У нас при этом есть свобода выбора, поскольку кривые можно параллельно сдвигать вдоль слоя, но для начала рассмотрим случай прямого произведения (тогда и базу можно будет выбрать не диском, а всем \C^g, аффинным пространством над H^{1,0}(S)). Объединение кривых во всех слоях образует (g+1)-мерное подмногообразие Y \subset X, и ограничение голоморфно симплектической формы на него задаёт распределение ядер, а тем самым и характеристическое слоение. Поскольку запрет на спаривание вводится по вертикали, характеристическое слоение будет горизонтальным: в точке (z, s) \in \C^2 \x S ядро будет состоять из горизонтальных векторов, направленных вдоль классов голоморфных 1-форм, зануляющихся в s. Стало быть, листы характеристического слоения имеют вид (z + \gamma_s, s), где \gamma_s \in H^{1,0}(S) -- всевозможные 1-формы такие, что \gamma_s(s) = 0. Значит пространство листов устроено как расслоение над кривой S, слой над точкой s у которого есть факторпространство H^{1,0}(S)/ker(ev_s : \gamma \mapsto \gamma(s)). Однако этот фактор это буквально кокасательное пространство T^*_s! Таким образом, кокасательное расслоение кривой реализуется как пространство листов на тривиальном расслоении на её якобианы. Можно начать корёжить эту конструкцию, двигая кривые вдоль слоёв. (g+1)-мерное комплексное многообразие при этом будет получаться то же самое, однако голоморфная симплектическая структура будет уже другая, и наверное так можно добиться какого-нибудь интересного эффекта. Например, мы знаем, что трубчатая окрестность кривой рода два на своей якобиевой поверхности не биголоморфна никакой трубчатой окрестности нулевого сечения в её кокасательном расслоении. Однако все кривые рода два и там и там это сдвиги данной, и не удивлюсь, если росток якобиевой поверхности получается как пространство листов характеристического слоения для какой-то вертикальной вариации. Ну и наконец самый интересный случай это когда всё едет: имеется нетривиальное расслоение на якобианы, в каждом из них можно поселить кривую, возникает семейство (g+1)-мерных подмногообразий, и у каждого пространство листов характеристического слоения. Дело в том, что если взять K3, и на ней линейную систему кривых рода g, то на послойном якобиане J \to \CP^g вне дискриминанта возникает голоморфно симплектическая структура, в которой сами якобианы лагранжевы (кажется, я читал про это у Бисваса). Она не всегда компактифицируется (хотя v_r утверждал обратное со ссылкой на статью Маркмана про теорию Шафаревича-Тейта), но для g = 2 компактифицируется благодаря теореме Маркушевича, и эта компактификация деформируется в двухточечную схему Гильберта исходной K3. Можно же пытаться обратить эту конструкцию: подходящим образом вписав в каждый слой кривую, якобианом которой он является, получить росток исходной K3 как пространство листов возникающего там характеристического слоения. Конечно, такое открытое многообразие не всегда будет вписываться в K3-поверхность: так, можно взять семейство якобианов, нетривиальное лишь поперёк какого-то направления, а в этом направлении тривиальное. Тогда реализация соответствующего пространства листов как области в K3-поверхности давала бы многообразие Маркушевича с лагранжевым расслоением, отображение периодов которого имеет неполный ранг. 2 comments|post comment

Отображение Валя-Гаусса и голоморфная теорема Дарбу [13 Jul 2021|07:49am] Пусть есть кривая C \subset P(V), или что то же самое обильное линейное расслоение L \to C (в таком случае V = H^0(C, L)^*). Точка x \in C при вложении в P(V) отображается в отображение вычисления H^0(C, L) \to L_x, или же L_x^* \too H^0(C, L)^* = V. Если есть две разные точки x, y \in C, то секущая xy (воспринимаемая как точка на грассманиане, вложенном по Плюккеру) отправляется во внешнее произведение отображений (ко)вычисления L_x^* \o L_y^* \to \Lambda^2(V). При x = y это отображение не имеет смысла или же нулевое; но при стремлении y \to x возникает нетривиальное отображение L_x^* \o L_x^* \o T_x \to \Lambda^2(V). Дуализировав и посмотрев в семействе, имеем отображение на сечениях \Lambda^2 H(C, L) \to H^0(L^2 \o K_C), названное своим изобретателем Джонатаном Валем гауссовым (хотя классическое гауссово отображение работает для (гипер)поверхностей, не для кривых, а такая штука называется отображением годографа). Мы будем называть его отображением Валя-Гаусса. Валь заметил следующее: пусть отображение Валя-Гаусса для канонической кривой сюръективно. Тогда эта кривая может быть получена как гиперплоское сечение единственной повехности: конуса над собой. В частности, если кривая лежит на K3-поверхности, её каноническое отображение Гаусса-Валя не сюръективно. Я ещё не изучил доказательство Валя, оно насыщено алгебраическим жаргоном; но последний результат доказали геометрически Бовиль и Мериндоль. Их доказательство тоже изобилует тонкостями, но оно производит впечатление, будто его можно суммировать в следующее Предложение (Бовиль, Мериндоль). Пусть C \subset X кривая на K3-поверхности. Выкручивая точную последовательность 0 \to T_C \to T_X|_C \to \nu_{X/C} = K_C \to 0, имеем расширение T_C^2 \to T_X|_C \o T_C \to \O_C, сиречь класс в H^1(T_C^2), а по двойственности Серра функционал \xi \in H^0(K_C^3)^*. Этот функционал зануляет образ канонического отображения Валя-Гаусса \Lambda^2(H^0(K_C)) \to H^0(K_C^3). Доказательство (конечно, неправильное). Деформации кривой рода g на K3-поверхности параметризуются пространством P^g, причём касательное пространство к ним это просто H^0(K_C). Рассмотрим универсальное семейство кривых над этим P^g; имеем относительное отображение Валя-Гаусса \Lambda^2 H^0(K_C) \to H^0(K_C^3), то есть 2-форму с коэффициентами в расслоении кубических дифференциалов. С другой стороны, расслоение кубических дифференциалов снабжено линейной функцией \xi. Компонируя, имеем голоморфную 2-форму на P^g, а такая только одна: нулевая. ■ На самом деле эта форма конечно мероморфная, потому что при приближении кривой к особой она наверняка будет вырабатывать полюс; ну и в оригинальной статье доказательство хотя и короткое, но идёт другим путём. Но всё же интересно: можно ли этому рассуждению придать какой-то смысл? Давайте к примеру рассмотрим открытую поверхность с тривиальным каноническим расслоением, на которой лежит проективная кривая C. Её мгновенные деформации точно так же параметризуются H^0(K_C), и вышеописанная конструкция позволяет снабдить её пространство деформаций голоморфной 2-формой. Можно ли придумать поверхность, для которой эта 2-форма будет ненулевая? 4 comments|post comment

Вполне вещественные подмногообразия твисторов Лебрюна [19 May 2021|08:26pm] [ mood | sick ] Если X трёхмерное многообразие, поверхность можно поднять в сферизацию ST^*X его кокасательного расслоения гауссовым отображением. Точку можно поднять просто как слой над ней. Оба этих подъёма лежандровы, то есть горизонтальны относительно контактного распределения; кроме того, слой над точкой всегда есть аналитическая кривая относительно обеих имеющихся на тотальном пространстве КР-структур -- Лебрюна и Илса-Саламона. Подъём поверхности аналитичен тогда и только тогда, когда поверхность убмилична (для твисторов Лебрюна) и минимальна (для твисторов Илса-Саламона). А как можно поднять кривую? Да точно так же в общем-то, над кривой повесим множество касательных 2-плоскостей, которых она касается -- то есть над каждой точкой кривой будет висеть сферизация её конормального расслоения. Этот тор лежандров, и всякий слой проекции ST^*X \to X пересекает по вещественно одномерному подмногообразию -- то есть аналитичным он не будет ни для какой из КР-структур. Выбор метрики на X определяет связность Леви-Чивиты на конормальном расслоении и следовательно трансверсальное слоение на торе; касательные вектора к этому слоению не будут, вообще говоря, касаться горизонтального распределения связности Леви-Чивиты, отличаясь от горизонтальных подъёмов на некий вертикальный вектор -- вектор внешней кривизны кривой (то есть вектор центростремительной силы, действующей на точку, описывающую эту кривую). То есть касательное пространство к такому тору трансверсально своему образу под действием оператора комплексной структуры. В этом смысле поднятие всякой кривой есть вполне вещественное подмногообразие. Однако можно потребовать большего: а именно, чтобы повёрнутое касательное пространство было в точности перпендикулярно самому касательному пространству, как скажем RP^n \subset CP^n (это свойство не может быть постулировано без выбора метрики на X). Это условие выполнено лишь в точках тора, соответствующих касательным плоскостям, содержащим вектор кривизны в данной точке; в каждой точке оно имеет место тогда и только тогда, когда кривая геодезична. Пространство модулей вполне вещественных подмногообразий в слабом смысле бесконечномерно, но обладает некоторой геометрией, см. статью Лотея и Пачини. Если их построения перенести на КР-случай, можно посмотреть, как они взаимопроникают с комплексной структурой на пространстве модулей узлов в трёхмерном конформно римановом многообразии. Случай геодезических наоборот жёсток, трёхмерных римановых многообразий, все геодезические на которых замкнуты, очень немного, кажется только факторы круглой сферы; так мы получаем пространство вполне вещественных торов в вещестенной квадратичной гиперповерхности в CP^3, твисторах Лебрюна круглой сферы. Учитывая что большие круги на S^3 параметризуются CP^1 \x CP^1, может быть имеет смысл искать комплексную структуру на пространстве модулей вполне геодезичных поверхностей (в строгом смысле) в пятимерных КР-многообразиях. post comment

Шифферовские вариации [15 May 2021|11:04am] [ mood | awake ] Пусть S риманова поверхность, и \gamma \subset S простой контур, ограничивающий диск. Если f \in Diff(\gamma) сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, будем обозначать за S_f результат склейки внутренности и внешности \gamma по диффеоморфизму f. Если f был вещественно-аналитическим, то и на внутренность и на внешность его можно аналитически продолжить до голоморфного отображения воротников, и таким образом ввести на S_f естественную структуру римановой поверхности. Приближая всякие диффеоморфизмы аналитическими, и учитывая, что S_f = S в случае, когда f -- мёбиусово преобразование (граничное значение голоморфного автоморфизма диска), можно таким образом построить отображение Diff/Moeb --> Teich(S). На факторе Diff/Moeb имеется комплексная структура имени Кириллова-Юрьева: касательное пространство к Diff это алгебра векторных полей на окружности; (1,0)-подпространство этой комплексной структуры это поля, у которых из ненулевых гармоник Фурье есть только те, что с положительными номерами (алгебра Ли moeb при этом сосредоточена на гармониках -1, 0, 1, так что в факторе гармоники с положительными номерами составляют в точности половину). Давайте проверим, что это отображение голоморфно. Как это сделать? Надо написать явным образом дифференциал diff(S^1) \to H^0(K^2)^*. Если \xi -- векторное поле на \gamma, чему может равняться значение соответствующего оператора на квадратичном дифференциале q? Из соображений теории размерности ответ один: надо сделать подстановку \iota_\xi q и проинтегрировать получившуюся 1-форму по \gamma. Можно понять из соображений коциклов Чеха, что это правильный ответ. Давайте напишем это в координатах. Выберем в диске, ограниченном \gamma, точку x, это задаст нам локальную координату z, в которой x = z(0), а \gamma = {z(e^{i\theta}) : \theta \in R}. В ней можно записать q = f(z)(dz)^2, и выбрать в векторных полях на окружности мнимый базис \xi_n = e^{in\theta}d/d\theta. Тогда интеграл выше запишется как \xi_n(q) = \int_{S^1}f(z)z^{n+1}dz. Отсюда можно сделать следующие выводы: Если n > 1, то \xi_n действует нулём на всех квадратичных дифференциалах (стало быть, задаёт тривиальную деформацию), \xi_{-2} есть нетривиальная деформация, ядро которой состоит из квадратичных дифференциалов с простым нулём в x, Вообще \xi_{-m} есть линейный функционал, сообщающий квадратичному дифференциалу вида f(z)(dz)^2 член ряда Тейлора функции f с номером m-2. В принципе, неясно, что противоречит тому, чтобы из 3g-3-мерного пространства квадратичных дифференциалов внезапно у всех оказался нулевой m-тый член ряда Тейлора для какого-то большого m. В таком случае \xi_{-m-2} будет тривиальной деформацией. Но очень сомнительно. Кроме того, подозреваю, что для общего выбора кривой, точки и локальной координаты деформации \xi_{-2}, \xi_{-3}, ... \xi_{-3g+2} будут линейно независимы, а все остальные деформации \xi_{-m}, m>3g-2, как-то через них выражаться. Наверняка это члены рядов Тейлора каких-нибудь функций Бейкера-Ахиезера. С другой стороны, у этого явно должно быть гомологическое описание, типа сизигии, точки Вейерштрасса и т. п. Для кривых рода два это можно проверить в координатах кстати: реализуем её как двойное накрытие CP^1 с ветвлением в корнях многочлена пятой степени p(t) и в бесконечности, p(0) \neq 0, тогда около нуля базис глобальных квадратичных дифференциалов можно выбрать в форме (dt)^2/p(t), t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t). Если p(t) = t^5 + at^3 + bt^2 + ct + d, то имеем разложение 1/p(t) = 1/d - (c/d^2)t + ((c^2-bd)/d^3)t^2 + .... У других квадратичных дифференциалов из нашего базиса ряд Тейлора получается съезжанием этого вправо. То есть матрица верхне-треугольная, и следовательно шифферовские вариации \xi_{-2}, \xi_{-3}, \xi_{-4} порождают всё касательное пространство. Так скажем \xi_{-2} убивает оба дифференциала t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t), и следовательно является изопериодической деформацией для 1-формы tdt/\sqrt{p(t)}. К сожалению, для гиперэллиптических кривых более высокого рода произведения 1-форм порождают не все квадратичные дифференциалы, и ничего подобного сказать не оказывается возможным. Зачем всё это? Мы знаем, что пространство Тейхмюллера хотя и неоднородно, но очень похоже на однородное (а действующая на нём группа классов отображений при этом похожа на решётку в группе Ли, действием которой оно и однородно). А тут мы его продоминировали однородным, хотя и бесконечномерным. Какие слои этого отображения? Их тоже можно представить геометрически на самом деле. А именно, пусть f -- близкий к тождественному диффеоморфизм окружности такой, что S_f = S. Тогда имеем голоморфную биекцию \psi_f : S_f \to S, и контур \psi_f(\gamma) \subset S, достаточно близкий к \gamma в силу близости f к тождественному (род S предполагаем большим). Это задаёт отображение из слоя вариации Шиффера в пространство простых контуров на S, которое тоже в своём роде однородное (потому что S униформизуется плоскостью Лобачевского). То есть пространство Diff(S^1)/Moeb(S^1) можно мыслить как локус в пространстве простых контуров на универсальной кривой над пространством Тейхмюллера. Мне кажется, несмотря на примитивность, это не вполне бессмысленно. 4 comments|post comment

Узлы и расслоения [11 May 2021|05:59pm] [ mood | full ] [ music | Манго-Манго -- На север привезли бананы ] Если X трёхмерное многообразие с формой объёма, то непараметризованные узлы в X суть бесконечномерное симплектческое многообразие. Если при этом Y \subset X поверхность, то узлы, лежащие на этой поверхности, образуют лагранжево подмногообразие в нём. А можно ли построить лагранжево расслоение, все слои которого приходят из поверхностей? До некоторой степени можно. Давайте на X будет, сохраняя объём, действовать окружность без кратных слоёв, иными словами, X \to B будет главным U(1)-расслоением над симплектической поверхностью. Рассмотрим открытое подмножество, состоящее из узлов, трансверсальных слоям расслоения. Для каждого такого узла возникает поверхность: её заметает узел под действием U(1). База такой проекции это пространство узлов в симплектической поверхности, её слои -- трансверсальные сечения тривиального расслоения над окружностью со слоем окружность. База этого расслоения допускает замкнутую 1-форму, получающуюся трансгрессией формы площади; 1-формы на базе определяют параллельные векторные поля на слое, и векторное поле, определяемое трансгрессией площади, есть поле, которым действует на узлах группа U(1). Интересно, что база этой симплектической редукции допускает симплектическую форму sui iuris: деформация контура на поверхности определяется нормальным векторным полем, то есть, дуализируя симплектической формой, 1-формой на нормализации контура; из них касаются ядра трансгрессии площади ровно точные 1-формы, каковые могут отождествлены быть с функциями на окружности по модулю констант. А на этом пространстве есть симплектическая форма, задаваемая как \int_{S^1} fdg - gdf. По двойственности, на группе U(1)-значных функций на окружности с конечной первой производной имеется инвариантный бивектор. Интересно, существуют ли естественные примеры конечномерных лагранжевых расслоений, на базе которых также имеется симплектическая структура. Ещё это напоминает контактные многообразия: на контактных многообразиях контактная 1-форма имеет неинтегрируемое распределение ядер, а дифференциал 1-формы задаёт на ядрах симплектическую структуру. Только тут 1-форма интегрируема, а симплектическая структура на ядрах всё равно есть. К слову, не очень понятно, как тут связность Лиувилля-Арнольда работает. Может и нету связности-той. И вот ещё: а нельзя ли вывести изопериметрическое неравенство на R^2 через метод стационарной фазы? Рассмотрим-де все контуры, ограничивающие единичную площадь; с описанной выше формой это симплектическое многообразие. Рассмотрим его с точностью до действия параллельных переносов, на получившемся образовании, также симплектическом многообразии, действует поворотами группа U(1). Функционал длины сохраняется U(1)-действием, так что... не знаю. Наверное существование максимума так доказать не представляется возможным. Но всё же любопытно. Ну и возвращаясь к началу: с трёхмерным римановым многообразием связывается бесконечномерное кэлерово, и если оно было тотальным пространством главного U(1)-расслоения над римановой поверхностью, соответствующее кэлерово многообразие (а точнее открытое подмножество в нём) представляется как лагранжево расслоение. А что можно сказать про пространства узлов в тотальных пространствах коассоциативных расслоений? 1 comment|post comment

navigation [ viewing | most recent entries ] [ go | earlier ]