Настроение:	hungry
Entry tags:	алгебра

Странности
Всякий, кто видел комплекс Лодея-Пирашвили, удивлялся несимметричности формулы для дифференциала.



Кажется, я понял, в каком смысле эта формула 'неправильная'.

Комплекс Шевалле-Эйленберга для алгебры Ли \g, из которого эта формула происходит, хорош тем, что из него легко получить бикомплекс Вейля: нужно просто выписать комплексы Шевалле-Эйленберга для всех модулей \Sym^i(\g^*) и расположить их один над другим, сдвинув i-й комплекс на i вправо, а потом добавить вертикальные стрелки \Sym^i(\g^*) \o \Lambda^j(\g^*) \to \Sym^{i+1}(\g^*) \o \Lambda^{j-1}(\g^*), которые происходят из дифференциала на алгебре \Sym(\g^*) \o \Lambda(\g^*), который кососимметрические образующие переводит в соответствующие симметрические, а симметрические в 0. Ещё нужно в нечётных строках обратить знак, но не суть.

Было бы логично ожидать, что аналогичный комплекс существует для всех лейбницевых алгебр. Однако если попытаться составить бикомплекс аналогичным образом из комплексов Лодея-Пирашвили для \g-модулей (\g^*)^{\o i}, ничего не получится. Тем не менее, мы знаем нулевую строку (она получается просто распространением скобки по правилу Лейбница). Кроме того, понятно, как должны быть устроены столбцы: дифференциалом в них должно быть дифференцирование тензорной алгебры T(\g^*[1] \oplus \g^*[2]), заданное на образующих как [1] на \g^*[1] и 0 на \g^*[2].

Отсюда можно понять, как выглядит по крайней мере нулевой дифференциал в 'правильном' комплексе Лодея-Пирашвили для коприсоединённого бимодуля А алгебры \g: это есть отображение A \to (A \o \g^*) \oplus (\g^* \o A), задающееся как (da)(g \oplus g') = ([g,a] \oplus -[a,g']). Оно вообще-то логично: отображение [-,g] есть дифференцирование, а [g,-] -- антидифференцирование алгебры Лейбница, а дифференцирования и антидифференцирования всегда ходят парами. Соответственно, для произвольного \g-бимодуля этот дифференциал должен быть устроен совершенно так же.

Возникает соблазн определить алгебру Вейля для алгебры Лейбница \g как T(\g^*[1] \oplus \g^*[2]), где дифференциал задан на образующих так, как сказано выше, и распространён по правилу Лейбница. Но это противоречит тому соображению, что строками бикомплекса Вейля должны быть комплексы Лодея-Пирашвили (некоторым образом подправленные) с коэффициентами в тензорных степенях коприсоединённого бимодуля: в таком образовании будут встречаться компоненты типа \g^*[1] \o \g^*[2] \o \g^*[1] \o \g^*[2] \o \g^*[2] \o \g^*[1], ожидать, что их можно воспринять в терминах бимодуля (\g^*[2])^{\o i}, странно. Видимо, правильно думать про какой-то факторбикомплекс этого бикомплекса.

Но странно всё это: не могли же ни Лодей, ни Пирашвили оба не заметить сего очевидного соображения. При этом, конечно, когомологии у таких подправленных комплексов получаются совершенно другие, даже нулевые. А про когомологии Лодея-Пирашвили что-то доказано: например, что имеет место равенство HL^*(\g, M) = \Ext^*_{UL(\g)}(U(\g_Lie), M). Это означало бы, что и их определение лейбницевской универсальной обёртывающей неправильное -- а на той есть уже структура диалгебры, и т. д. Вообще это уже всё наверняка где-то написано, но нагуглить я не смог.

PS. Правильно было бы, конечно, сразу алгебру Алексеева -- Майнренкена обобщать, как учит нас lenik_r@lj -- но там что-то совсем сложно.