Пусть (M, \omega) -- компактное симплектическое многообразие. Гамильтоновым векторным
полем X_H (с периодическим Гамильтонианом H: S^1\times M \to R) на M называется решение
линейного уравнения

\omega(X_H,_)=-dH

это векторное поле зависит от времени, но периодически

Диффеоморфизм M называется гамильтоновым диффеоморфизмом, если он является
потоком X_H при t=1 для какого-нибудь H. Множество гамильтоновых дифф-мов обозначается
Ham(M)

На Ham(M) есть метрика Хофера:
для гамильтониана H берем среднее значение по времени разницы минимума и максимума H

то есть \int_0^1 sup H_t - inf H_t dt

а потом берем инфимум по всем гамильтонианам, дающим данный диффеоморфизм.

Утверждение:
С^1 топология сильнее топологии Хофера

Нам нужно найти C^1 окрестность тождественного диффеоморфизма, которая имеет
произвольно маленький диаметр в метрике Хофера.

Достаточно С^1 близкие к тождественному симплектоморфизмы M можно отождествить
c 1-формами на M: диагональ в M\times M (с обычной симплектической струткурой на произведении)
является лагранжевым подмногообразием, по теореме Дарбу-Вайнштейна его трубчатая окрестность симплектоморфна
окрестности нулевого сечения в T*M. Рассмотрим все диффеоморфизмы, графики которых лежат в этой
окрестности Дарбу и с производными, достаточно маленькими, чтобы график переходил в график (то есть в некоторую
1-форму). График симплектоморфизма при этом отображении переходит в замкнутую форму.
То, что график гамильтонова диффеоморфизма перейдет в точную форму, отсюда не следует. Однако, если мы еще уменьшим
C^1 окрестность, то можно этого добиться:

рассмотрим достаточно маленький гамильтонов дифф-изм f и выберем его гамильтониан H.
соответсвующую 1-форму можно умножать на числа от одного до нуля, получая путь T симплектоморфизмов
из тождественного в f. пройдем по этому пути, а потом вернемся по пути из гамильтоновых
диффеоморфизмов, полученных интегрированием (зависящего от времени) векторного поля гамильтониана H
(точнее, обратного векторного поля).

Этому пути соответсвет класс первых когомологий при так называемом флукс-отображении:
берем петлю симплектоморфизмов, дифференцируем, получает зависящее от времени векторное поле,
дуализируем его с помощью симплектической формы, получаем путь 1-форм \lambda_t. Интегрируем его
по t и получаем 1-форму на M. По формуле Картана каждая форма в семействе замкнутая
d(i_X\omega)=L_X\omega - i_Xd\omega = 0, а значит и после интегрирования по t будет замкнутная.
Это отображение не зависит от класса гомотопии пути. Гамильтоновы семейства отправляются в точные 1-формы.
Более того, ядро флукс-отображения это В ТОЧНОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫ пути.
наш путь T определен таким образом, что его образ это просто класс 1-формы, задающей f
(первая часть пути интегрируется в этот класс, а вторая гамильтонова ни на что не влияет).

Известно, что образ флукс-отображения дискретен (https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-006-0575-6)
в частности у 0 есть окрестность, которая не пересекает ни один другой элемент образа, то есть если 1-форма
достаточно маленькая, то она уходит в 0. Следовательно путь T гамильтонов.

Теперь мы знаем, что если гамильтонов диффеоморфизм f достаточно C^1 близок к тождественному, то его график
это точная 1-форма \lambda на M (после идентификации Дарбу-Вайнштейна), и мы имеем гамильтонов путь
t\lambda из нашего f в Id. То есть t\lambda=dH_t для какого-то гамильтониана.
Hofer(f) \le \int_t max H_t - min H_t \le \int_t \int_l dH_t = \int_t \int_l t\lambda

где последний интеграл берется по какому-то пути, соединяющиму точки максимума и минимума на M.
Длина этого пути ограничена диаметром M,
если |\lambda| \le epsilon то Hofer(f) \le int_t tDiam(M)\epsilon \le C\epsilon

то есть можем сделать какой угодно маленький диаметр Хофера у C^1 открытой окрестоности Id.


----
https://arxiv.org/abs/1905.02627
A Comparison between Hofer's metric and C^1-topology
Yoshihiro Sugimoto