Кстати, вот, видимо, открытый вопрос:

S -- замкнутая гладкая риманова поверхность (иммерсированная) в R^3

Может ли у нее быть нетривиальная однопараметрическая изометрическая деформация, то есть
семейство иммерсий
f_t: S \to R^3
которые индуцируют одну и ту же метрику на S и не переводятся одна в другую изометрией R^3

Иными словами, существуют ли изгибаемые замкнутые поверхности. На самом деле непонятно даже, должно ли пространство изометрических изгибаний быть конечномерным.
Для поверхностей с краем -- ответ да, можно взять однопараметрическую деформацию катеноида в геликоид и выбрать маленкий диск на поверхности. Ну или кусок конуса разворачиваете в плоскость. Даже с положительной кривизной локально поверхности довольно изгибаемы -- возьмите кусок поверхности вращения дуги окружности вокруг какой-нибудь хорды, отличной от диаметра (сигара) -- она изометрична куску сферы.

Для полиэдров ответ тоже да, бывают изгибаемые многогранники, но их примеры очень ограничены и более-менее все происходят из хитрых вариаций конструкции французского инженера Брикара из 19 века.

Неотрицательность кривизны (поверхность локально всегда находится с одной стороны от касательной плоскости) влечет выпуклость и, следовательно, жесткость, но каких-то других критериев жесткости, кроме выпуклости, известно мало.