Есть кстати старая теорема Минковского, которая говорит что выпуклый многранник можно востановить
по нормалям к граням и соотвествующим площадям граней.
то есть пусть в R^n есть единичные вектора n_1, n_2, ... n_k (будущие нормали к граням) и положительные числа
a_1, a_2, ... a_k (будущие площади граней), которые удовлетворяют двум условиям

1) Sum_i a_i*n_i = 0
2) n_i порождают все R^n (условие невырожденности)

тогда существует, притом единственный с точностью до паралельного переноса, выпуклый многоранник
с нормалями к граням n_i и площадью i-й грани a_i

В случае R^3 зафиксируем a_i и рассмотрим пространство всех единичных векторов, удовлетворяющих условию (2)
это какое-то открытое плотное подмножество в прозизведении k двумерных сфер S^1xS^1...S^1
выберем на каждой сфере стандартную симплктическую структуру 1/a_i*dxdy
на этой штуке действует диагонально SO(3) и отображение моментов это Sum_i a_i*n_i
в точности как в пространстве конфигураций Каповича-Милсона (также известного как фактор CP1^k Делиня-Мостова), ноль отображения моментов это в точности условие (1) и мы можем сделать симплектическую редукцию по действию SO(3).

то есть пространство Каповича-Милсона конфигурации невырожденных замкнутых ломаных с фиксированными
длинами звеньев (на самом деле на полном пространстве КМ действует комплексное сопряжение и инвариантные
относительно него конфигурации это как раз и есть вырожденные ломаные)
это вроде как то же самое, что пространство выпуклых многогранников с фиксированными площадями занумерованых граней с точностью до изометрии.

непонятно, можно ли из этого извлечь какую-то пользу, но вот чему соответсвует для ломаной L объем соответсвующего выпуклого многогранника V(L), например? что если поехать по градиенту этого функционала. то есть это штука может как-то интересно закручивать ломаные
(если все a_i=1, то к такому, что все направления ребер равнораспределены на сфере. в частности у нее должен быть маленький диаметр, потому что при большом диаметре направления имеют свойство концентрироваться).