Ерунда, в учебнике по геометрии обсуждается классическая планиметрия. Это оговаривается с самого начала.

Тут, на самом деле, через пол страницы написанно более аккуратно:

В общем случае H_0(X) есть свободная абелева группа, порожденная множеством компонент (линейной связности) пространства Х ...

А между этими фразами нарисован пример "плохого" пространства (график sin 1/x), иллюстрирующий утверждение, что ацикличное пространство может не быть стягиваемым. То есть не правда, что все происходит в рамках каких-то дополнительных предположений.

Я согласен, что это, в общем, мелочь. Я на самом деле искал формулировку утверждения об аксиоме вырезания, которая мне когда-то раньше сильно не понравилась, а на это наткнулся случайно.