Ну... можно ли писать в учебнике по геометрии, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Это же не так для треугольника на сфере!..

Ерунда, в учебнике по геометрии обсуждается классическая планиметрия. Это оговаривается с самого начала.

Тут, на самом деле, через пол страницы написанно более аккуратно:

В общем случае H_0(X) есть свободная абелева группа, порожденная множеством компонент (линейной связности) пространства Х ...

А между этими фразами нарисован пример "плохого" пространства (график sin 1/x), иллюстрирующий утверждение, что ацикличное пространство может не быть стягиваемым. То есть не правда, что все происходит в рамках каких-то дополнительных предположений.

Я согласен, что это, в общем, мелочь. Я на самом деле искал формулировку утверждения об аксиоме вырезания, которая мне когда-то раньше сильно не понравилась, а на это наткнулся случайно.

О, я нашел то место, которое искал. Страница 157, упражнение 44:

Если X - компактное топологическое пространство и A - его замкнутое подмножество, то имеют место естественные (уточните в каком смысле!) изоморфизмы

H_q^open(X-A)=H_q(X,A)


(H^open - это открытые гомологии, мне более привычно название гомологии Бореля-Мура; в ФФ за определение берутся гомологии локально-конечных сингулярных цепей.)

Понятно, что это должно быть верно для "хороших" пар (X,A), например, пар Борсука или клеточных. Однако в общем это верно быть не может, например, потому что иначе относительные гомологии были бы равны приведенным гомологиям фактор-пространства для любой пары (X,A) с компактным X и с замкнутым A. Я не силен в построении контрпримеров, но это, кажется, верно быть не должно.

Особый цинизм в том, что это утверждение дано как упражнение...

поэтому на них никто и ссылаться не будет. Книгу надо воспринимать, по-моему, как антибурбаки - изложены кратко многие идеи, но все формулировки неверны)) Впрочем, тут тоже неясно - я внимательно только первые три главы читал. Что-то дальше плохо пошло.

Всё правильно. Это не ошибки книги, это такие особенности стиля.

Мне кажется, что это по сути то же самое: еще одно утверждение, в котором "топологические пространства" надо читать как "CW-комплексы", да (а "топологическое пространство и замкнутое подмножество" -- как "клеточная пара", соответственно). То есть я согласен, что лучше писать не так, а правильно, но трагедии не вижу.

Ссылаться же на ФФ (в научной статье, you mean?) странно -- ссылаются обычно на тексты с доказательствами, а не на упражнения в учебнике.

Это стандартное утверждение. Для такого утверждения можно вообще не указывать ссылку, просто включить в список литературы учебник, в котором оно упоминается. Лучше, конечно, найти текст с доказательством. Кстати, если сходу знаешь, где это написано, скажи :)

> иначе относительные гомологии были бы равны приведенным гомологиям фактор-пространства для любой пары (X,A) с компактным X и с замкнутым A. Я не силен в построении контрпримеров, но это, кажется, верно быть не должно.

То есть нужно построить пример, когда у X/A и X\cup_A Cone(A) разные гомологии. Было бы поучительно, но я тоже не могу придумать...