Является ли множество одинаковых частиц
набором непересекающихся множеств?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Net.

Sobstvenno, period. Nabor chastic ne mnozhestvo, a sil'no bolee slozhnaya struktura.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А одна частица является множеством из одного элемента?
Если она является более сложной структурой, то нельзя
ли рассмотреть множество таких структур?
Или такие запреты встречаются в теории множеств?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ya dumayu, tak pravil'no otvechat': chastic nikakikh net. Est' tochki prostranstva, i est' veroyatnost' togo, chto pri izmerenii v vybrannykh n tochkakh prostranstva k kazhdoj budet po chastice (ili po neskol'ku, skol'ko skazhesh'). Inymi slovami -- est' sobytie "v tochke A nashli chasticu", no samo ponyatie chasticy ne osobo korrektno, i glagol "nashli" tozhe upotreblyaetsya po inercii. Tochki mozhno perestavlyat'. No perestavlyaesh' ty ehksperimenty, a ne chasticy; kak ono na samom dele, na takom yazyke ne opishesh', i ehtikh nablyudaemykh nedostatochno, chtoby vosstanovit' polnuyu kartinu.

Nu ili mozhet dostatochno inogda, ya ne pomnyu aksiomatiki -- no kakim-to slozhnym obrazom.

Pri ehtom samo prostranstvo imeet tochki tol'ko v pervom priblizhenii, i v lyubom sluchae kak mnozhestvo tochek ne opisyvaessya: gorazdo vazhnee kol'co fukncij. V bolee tochnom priblizhenii, kvantovo-mekhanicheskom, kol'co mozhet stanovitsya nekommutativnym, togda tochki uzhe stanut plokho opredeleny (i ehto vazhno -- naprimer, peremnozhit' n kopij prostranstva mozhno, no diagonal'nykh otobrazhenij tam uzhe ne budet). Esli zhe tam kvantovaya teoriya polya, to net dazhe kol'ca, tam bolee slozhnaya struktura; v nej "obychnoe" prostranstvo, mnogoobrazie to est', mozhet byt', a mozhet ego i ne byt' (a mozhet byt' neskol'ko, "v raznykh predelakh").

Resume: mnozhestvo byvaet tol'ko tochek; pri ehtom rassmotrenie mnozhetva tochek -- ehto ochen' gruboe priblizhenie k geometrii, a tem bolee k fizike.

A voobshche, mnozhestvo ehto konecno ponyatie plokhoe, k real'nosti imeet otnosheniya malo, primenyaetsya za neimeniem luchshego (vprochem, sejchas modno zamenyat' na kategoriyu, kotoraya k real'nosti nemnogo blizhe); pri ehtom voznikayut vsyakie patologii vrode gipotezy kontinuuma.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо! Но только, как же статистика.
Она частицы пересчитывает. И предсказывает
нетривиальные результаты эксперимента.
Значит, надо уметь считать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Mo ved' ne tol'ko zh u mnozhestva est' chislo ehlementov! vot u vektornogo prostranstva naprimer est' razmernost'. I t.d.

(Reply to this) (Parent)

Юля, я честно пытался понять вопрос, но не преуспел, поэтому, наверное, напишу ерунду. На мой взгляд надо сначала задать вопрос, можно ли частицы рассматривать как элементы множества. Можно так его сформулировать - вот есть какая-то общепринятая модель, ну там теория поля с почти свободными частицами, и в ней предметы как-то описывются, например, алгебрами наблюдаемых, ну или объектами еще какой категории. Вопрос - существует ли разумный функтор из этой категории в Set, такой, чтобы его можно было бы назвать функтором, перечисляющим частицы? Вроде бы как ответ отрицательный; причем трудности возникают не только с неразличимостью частиц, но и с тем, например, как быть с объединением множеств. Про это Джон Баез где-то должен был писать, это в принципе его конек, надо поискать (http://www.google.com/search?sourceid=navclient&ie=UTF-8&oe=UTF-8&q=Baez+%22tensor+category%22).

-ПК

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Паша, спасибо.
Я как человек, который встречался с понятием
функтора и категории на двух-пяти страницах
книжки Кострикина и Манина, не того, но
все же скажу. В статистических описаниях,
начиная со вторичного квантования, при
обращении с набором частиц используют
понятия комбинаторики, обращаясь с частицами,
как с элементами множества. Возможно, это
не множества, а объекты, похожие на множества,
но тогда хорошо бы описать эти объекты, похожие
на множества, отдельно. И вот там - прости,
наверное, это я говорю ерунду, хотя пока не
могу сообразить, в чем она - там у них будет
много похожего, но не будет аксиомы выбора.
Наверное, и еще чего-то не будет, но уж
очень много будет похожего.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Далась Вам эта аксиома выбора. Реальные объекты это не частицы. Реальные объекты это группы (наборы) частиц. А описываются они на языке апеллирующем к обычной интуиции так - это "множества неразличимых частиц". Это и есть самое простое "представление" того что Вы хотите "описать".

NA

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я со всем согласна. Я о том, реальные
ли объекты множества теории множеств,
состоящие из элементов.

(Reply to this) (Parent)

Да я сам мало чего понимаю. Про функтор - это такая автоматическая реакция: когда говорят - "вот А, это есть Б, но с некоторыми дополнительными свойствами", то это означает, что есть "функтор забвения", из А в Б (пример - А = группы, Б = множества). Ну вот и тут, спрашивается, есть ли какой естественный способ "забыть" кучу всего про частицы, и рассмотреть их просто в абстракции множества? Главное тут - правильно определить функтор на стрелках. В Set стрелки - обычные отображения множеств, значит надо искать, что мы можем сделать с частицами похожего. Единственное, что приходит в голову - это рассматривать часть системы, вместо целого. То есть в гипотетической категории А, описывающей физические системы, есть процедура отделения части от целого, при котором состояние целого индуцирует состояние части (в квантовой механике это может быть взятие следа по отбрасываемым состояниям). Давайте скажем, что так мы задаем морфизмы в А и понадеемся, что с ассоциативностью все в порядке, так что А будет и в самом деле категорией. Направим стрелку от целого к части, тогда естественно искать контравариантный функтор из A в Set, который бы эту стрелку переводил в мономорфизм "вставление частиц части в целое".

Категория А, составленная из настоящих физических обьектов и отношений ограничения есть умозрительная конструкция, так что ее надо заменить какой-то моделью реальности. С классической механикой материальных точек все понятно, там ровным счетом интуитивное представление о "множестве частиц" этот функтор задает. В квантовой механике соотношения между частью и целым гораздо сложнее. Например, в Бозе-системе формальное обьединение частей соответствует тензорному произведению алгебр наблюдаемых; а для Ферми системы это уже не так, из-за антикоммутации операторов, "действующих" на разные подсистемы. Я слышал, что вроде бы правила слияния подсистем описываются понятием тензорной категории, но тут я уж совсем ничего не знаю. В любом случае, даже для наборов свободных частиц, какого-то осмысленного функтора придумать не получается (кроме тривиальных, типа - все переводится в множество из одного элемента, и все вложения в одну стрелку в себя). Наверное, его и вовсе нет.

Насчет обьектов, "похожих на множества" - это должны быть какие-то интегралы движения, наверное. Вот в классической механике, загрузили в ящик красную, синюю и зеленую материальные точки, их же и вынули в конце. Ну или красная раньше сама выпала. То есть весь эксперимент можно "спроектировать" на множества, которые выступают, как сохраняющиеся величины.

А вообще, насчет реальности множеств не надо заморачиваться. Зря, что ли математики ими пользуются сто с лишним лет как, наверное за этим что-то стоит.

-ПК

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насчет забывания очень внятно, и про
отбрасывание части. Спасибо! Про
тензорное произведение уже невнятно,
но это я еще не привыкла.

Объекты, "похожие на множества", кажется,
не очень похожи на интегралы движения.
Слушаю вот лекции по статфизике, на парте
нарисован мужской орган с глазами, очень
интересно. Выводят распределение Гиббса,
считают частицы в каждом квантовом состоянии.
Если верить вам с Димой, это уже нелегитимная
операция. Но так ведь не должно быть.

>А вообще, насчет реальности множеств не надо
>заморачиваться. Зря, что ли математики ими
>пользуются сто с лишним лет как, наверное за
>этим что-то стоит.

Конечно! Я прорешала детям много задач про
мощность множеств и не выспалась, и почему-то
мучилась неприятным ощущением шарлатанства.
Раньше так никогда не было, ну и как-то
не удержалась. Но, может, и правда не
надо волноваться.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про тензорное произведение имеет смысл помедитировать над задачей про оператор, уменьшающий суммарный спин системы из двух спинов на единицу (она тут обсуждалась как-то). Этот оператор грамотно записывается как $L_- \otimes 1 + 1 \otimes L_-$, что сразу проясняет его природу.

Если верить вам с Димой, это уже нелегитимная операция.

Не нелегитимная, а неестественная. Ну вот как можно про группы что-то доказывать, разбирая элементы, а можно рисовать коммутативные дианраммы. Оба подхода легитимны, но второй идеологически правильней. Только в квантовой механике идеологически правильно считать трудно, поэтому обычно сначала распоряжаются частицами, как если бы они были различимыми, а потом уж симметризуют-антисимметризуют, или комбинаторные коэффициенты делят на факториал. Когда-нибудь это все отменят, наверное, и придумают как учить правильно.

С праздником!

-ПК

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, я попробую. Но у меня нет неясности, к сожалению,
с той задачей (тоже спасибо), поэтому не просится
медитировать. Потом, я на самом деле толком не знаю,
что такое тензорное произведение, что уменьшает немного
надежду за здорово живешь до чего-то домедитироваться.
Боюсь, придется читать.

Насчет операции: конечно, нелегитимная. Иначе можно
было бы, как ты сказал, то есть, наоборот: забыть что-то
про множества, например, рассмотреть частицу как набор
всех одноэлементных подмножеств данного множества
(не очень известных науке объектов) и произвести
"перенормировку".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про тензорное произведение я когда-то давно решил, что правильно вводить его для векторных пространств, как полилинейные формы над набором дуальных векторных пространств (вместо выписывания поиндексно, как учили в институте), и ходил ужасно гордый. А потом Алеша Китаев меня "срезал". Говорит - это пока ты над полем все рассматриваешь, оно все так просто, а вот посчитай-ка $Z_2 \otimes Z_3$, над $Z$... И объяснил все правильным образом, с помощью универсального свойства (тензорное произведение X и Y - это такой объект, через который можно протащить любое билинейное отображение из пары (X, Y) куда угодно). А на физтехе от нас это скрывали, что очень обидно. Так что если есть возможность, лучше сразу пить из чистого источника.

Про перенормировку не понял, ну и ладно. Схоластический какой-то вопрос получается.

-ПК

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вообще-то моим теперешним однокурсникам так
и определяли тензорное произведение, как ты
придумал. Шафаревич-сын им методичку писал.
Они мне это сказали, и тогда стало понятно,
но я еще не научилась то есть свободе мысли.
Хер с ней, с перенормировкой (ну, я имела в
виду, что при таком определении понятие
частицы зависит от исходной системы, например,
от того, сколько элементов в опорном множестве) --
плохо то, что никакого опорного множества,
подвергаемого последующим мерам по отождествлению
его элементов, на самом деле не определишь.
А то его элементы можно было бы частицами
и называть. Не бери в голову, спасибо, ты
уже объяснил больше, чем сам заметил --
тут вопрос типа младенческий, что настоящее,
а что нет.

(Reply to this) (Parent)