|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2018-03-21 03:17:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Пример неэффективного спуска для проективной схемы над DVR. Мотивация
Сегодня я хочу привести контрпример к эффективности спуска схем для строго плоских морфизмов. Многие люди почему-то считают, что плоский спуск -- это какая-то смесь эзотерики и тавтологий. На мой взгляд это совершенно не так, большинство теорем об эффективности того или иного спуска довольно нетривиальны, а кроме того очень полезны на практике. Я попробую это объяснить ниже на конкретных примерах, а также объяснить о чём будет контрпример.
Идея строго плоского спуска состоит в том, чтобы обобщить понятие "склейки" в топологии и спуска Галуа в арифметике. В любой задаче спуска нам дан строго плоский (плоский, сюрьективный и квази-компактный) морфизм схем p: T-->S и какой-то "объект" F на Х (нас будут прежде всего интересовать 2 случая: F -- квази-когерентный пучок на T и T-схема g:X-->T) и данное спуска или, другими словами, "коцикл". Что это такое? Пусть T^2:=T\times_S T есть расслоеный квадрат T над S, из этого произведения существуют два отображения проекции p_1, p_2:T^2 --> T, мы можем также рассмотреть тройное произведение T^3:=T\times_S T\times_S T, из него есть три проекции p_{12}, p_{23}, p_{13}:T^3 -->T^2 (p_{i,j} -- проекция на произведение слагаемых i и j). В таком случае данное спуска -- это выбор изоморфизма \phi: p_1^*(F) --> p_2^*(F) как объектов над T^2 (в нашей категории пулбэк должен иметь смысл. В двух наших примерах есть естественное определение пулбэка), такое что p_{23}*(\phi) \circ p_{12}*(\phi)=p_{13}^*(\phi). Заметим, что если задан изоморфизм F c p^*G для некоторого G -- объекта на S, то на F есть каноническое данное спуска, где изоморфизм can: p_1^*p^*(G) --> p_2^*p^*(G) приходит из равенства p\circ p_1 = p_2 \circ p.
ОК, что это реально значит? Спуск можно понимать по-разному, но давайте просто рассмотрим два конкретных примера. Первый пример -- это T=дизъюнктное (квази-компактное) объединение открытых подсхем U_i в S, таких что {U_i} есть покрытие S в топологии Зарисского, тогда легко видеть (упражнение), что данное спуска в точности совпадает с данным склейки относительного этого покрытия. А именно, \phi задаёт изоморфизмы ограничения F на U_i \cap U_j=U_i\times_S U_j с ограничением F на U_j \cap U_i, которые согласованны на тройных пересечениях. Также можно проверить, что в случае S=Spec K, T=Spec L и L/K -- конечное расширение Галуа абстрактное данное спуска совпадает с данным спуска Галуа (идея: L\otimes_K L = \prod_{i}^{[L:K]} L).
Теперь я должен сказать в чём заключается утверждение плоского спуска. Для этого мне нужно определить понятие эффективности спуска. Данное спуска (F,\phi) называется эффективным, если существует объект G на S, что (F, \phi)\cong (p^*G, can) (Я не определил изоморфизм данных спуска, но его несложно восстановить самому). Все основные теоремы про строго плоский спуск заключаются в том, что на какой-то категории любое данное спуска эффективно.
Теорема: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на Qcoh(T) эффективно.
Более или менее, эта теорема нам говорит, что мы можем склеивать векторные расслоения (более общо, квази-когерентные пучки) локально в плоской топологии. Отсюда, например, следует крайне важный факт в основаниях этальной топологии, что Pic(X)=H^1_{Zar}(X,\O_X^*)=H^1_{et}(X,G_
Теорема: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на квази-аффинных T-схемах эффективно.
Что говорит эта теорема? Она говорит, что мы можем локально в плоской топологии клеить квази-аффинные схемы . То есть если у меня есть квази-аффинная T-схема f:X-->T (квази-аффинность значит, что морфизм f:X-->T является квази-аффинным морфизмом) с данным спуска, тогда эта схема на самом деле приходит как пулбэк схемы на S. Это потрясающе важная теорема, например, из неё следует такой хорошо-знакомый всем факт:
Следствие: Пусть G -- аффиная алгебраическая группа над схемой S, тогда множество G-торсоров над S в плоской/этальной/Зариской топологии находится в естественной биекцией с множеством H^1_{fl}(S,G)/H^1_{'et}(S,G)/H^1_{Zar}(S,G)
Естественный вопрос заключается в том, что происходит для произвольных T-cхем, эффективен ли спуск для них? Ответ -- нет, в общем случае спуск схем не всегда эффективен, но он эффективен во многих случаях. А именно, главная идея заключается в том, чтобы вместе со схемой спускать обильный пучок. В частности, мы будем всегда вынуждены ограничиваться квази-проективными схемами.
Теорема 1: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на категории T-cхем с выбранным T-обильным пуском является эффективным.
Давайте расшифруем эту теорему. Она говорит, что если есть T-cхема f:X -->T и T-обильный пучок \L на X (в частности, X обязана быть квази-проективной схемой над T), тогда выбор T^2-изоморфизма схем \phi:p_1^*X --> p_2^*X и изоморфизма пучков \psi:q_1^*\L --> \phi^*q_2^* \L (где q_i:p_i^*X --> X -- естественная проекция) с естественным условием коцикла на \phi и "\phi-линейным" условием коцикла на \psi (детали опущены, но условно нам нужно обычное условие коцикла на \phi после отождествления всех расслоенных произведение X\times_T T^3 при помощи \phi) задаёт нам единственным образом S-cхему g:Y --> S и обильный S-пучок \N на Y, так что p^*(Y,N)\cong (X,L).
Эта теорема является главной теоремой про спуск схем, и все остальные (известные мне), так или иначе, сводятся к данной. Давайте сформулируем несколько "следcтвий":
Следствие 1: Пусть p: Spec L --> Spec K морфизм спектров полей, тогда данное спуска на категории квази-проективных схем всегда эффективно.
Идея доказательства: свести с помощью spreading-out техник к случаю конечного расширения L/K. Далее, в случае чисто несепарабельного расширения можно показать руками, что спуск всегда эффективен. Таким образом вопрос сводится к случаю сепарабельного расширения, увеличив поле, можно считать, что это расширение Галуа. В этом случае Следствие 1 действительно является следствием Теоремы, мы выберем любой обильный пучок L' и "усредним" его относительно действия группы Галуа, получив пучок L. Данное спуска на X продолжится на пару (X, L), и по теореме 1 этот спуск уже будет эффективен.
Куда более нетривиально следующее следствие:
Cледствие 2 Пусть p: Spec R' --> Spec R есть строго плоский морфизм двух колец дискретного нормирования, и пусть G -- гладкая отделимая групповая схема конечного типа на R', тогда любое данное спуска на G эффективно.
Доказательство этой теоремы изложено в книжке Neron Models, глава 6. Оно состоит из двух принципиально разных шагов: первый -- это доказать квази-проективность любой гладкой отделимой групповой схемы конечного типа над DVR, а именно, нужно доказать, что дополнение до любой R'-плотной S-аффиной подсхемы в G задаёт S-обильный дивизор на G и научиться строить такие подсхемы. Второй шаг заключается в том, чтобы имея такое описание обильных дивизоров, суметь вывести из эффективности спуска на общем слое эффективность над R'. Обозначим K':=Frac(R'), K:=Frac(R), тогда, грубо говоря, эффективность на общем слое позволяет нам найти там открытую аффиную плотную подсхему U_{K'}, такую что данное спуска на G_{K'} ограничивается на данное спуска на U_{K'}, а потом взять схемное замыкание G_{K'}-U_{K'} в G, которое задаст нам обильный дивизор с данным спуска, что позволит воспользоваться Теоремой 1, чтобы завершить доказательство. Проблема в том, что непонятно как контролировать замкнутый слой этого замыкания, поэтому действовать нужно немного иначе. Отмечу, что в случае, когда K'/K не является алгебраическим расширением, доказательство становится чрезвычайно техническим.
Посмотрев на Следствия 1 и 2, возникает естественный вопрос: Насколько важно иметь данное спуска для пары (X,\L) в Теореме 1? Можно ли заключить, что спуск всегда эффективен на категории квази-проективных схем? Ещё более оптимистический вопрос звучит следующим образом: А существует ли вообще пример схемы и данного спуска на ней, что этот спуск неэффективен?
Оказывается, что с первого взгляда дела обстоят настолько плохо, насколько это возможно. А именно, в следующем посту я приведу пример относительной нормальной проективной кривой над DVR и данного спуска на ней, такой что этот спуск неэффективен. Это даст пример схемы на которой спуск неэффективен, более того, в этом примере T-схема f:X -->T будет T-проективной. Это значит, что Теорема 1 -- это максимум из того, что мы можем доказать в общем случае. Однако перед тем как закончить мне нужно сказать про улучшение Теоремы 1 Артиным, которое условно говорит, что если немного увеличить категорию схем, то спуск всегда будет эффективным (по крайней мере если ограничиться конечно-представленными строго плоскими морфизмами), а значит всё не так уж плохо, как могло показаться на первый взгляд.
Теорема: Пусть f:T --> S есть строго-плоский конечно-представленный морфизм схем, тогда любое данное спуска на категории алгебраических пространств эффективно.
Сегодня я хочу привести контрпример к эффективности спуска схем для строго плоских морфизмов. Многие люди почему-то считают, что плоский спуск -- это какая-то смесь эзотерики и тавтологий. На мой взгляд это совершенно не так, большинство теорем об эффективности того или иного спуска довольно нетривиальны, а кроме того очень полезны на практике. Я попробую это объяснить ниже на конкретных примерах, а также объяснить о чём будет контрпример.
Идея строго плоского спуска состоит в том, чтобы обобщить понятие "склейки" в топологии и спуска Галуа в арифметике. В любой задаче спуска нам дан строго плоский (плоский, сюрьективный и квази-компактный) морфизм схем p: T-->S и какой-то "объект" F на Х (нас будут прежде всего интересовать 2 случая: F -- квази-когерентный пучок на T и T-схема g:X-->T) и данное спуска или, другими словами, "коцикл". Что это такое? Пусть T^2:=T\times_S T есть расслоеный квадрат T над S, из этого произведения существуют два отображения проекции p_1, p_2:T^2 --> T, мы можем также рассмотреть тройное произведение T^3:=T\times_S T\times_S T, из него есть три проекции p_{12}, p_{23}, p_{13}:T^3 -->T^2 (p_{i,j} -- проекция на произведение слагаемых i и j). В таком случае данное спуска -- это выбор изоморфизма \phi: p_1^*(F) --> p_2^*(F) как объектов над T^2 (в нашей категории пулбэк должен иметь смысл. В двух наших примерах есть естественное определение пулбэка), такое что p_{23}*(\phi) \circ p_{12}*(\phi)=p_{13}^*(\phi). Заметим, что если задан изоморфизм F c p^*G для некоторого G -- объекта на S, то на F есть каноническое данное спуска, где изоморфизм can: p_1^*p^*(G) --> p_2^*p^*(G) приходит из равенства p\circ p_1 = p_2 \circ p.
ОК, что это реально значит? Спуск можно понимать по-разному, но давайте просто рассмотрим два конкретных примера. Первый пример -- это T=дизъюнктное (квази-компактное) объединение открытых подсхем U_i в S, таких что {U_i} есть покрытие S в топологии Зарисского, тогда легко видеть (упражнение), что данное спуска в точности совпадает с данным склейки относительного этого покрытия. А именно, \phi задаёт изоморфизмы ограничения F на U_i \cap U_j=U_i\times_S U_j с ограничением F на U_j \cap U_i, которые согласованны на тройных пересечениях. Также можно проверить, что в случае S=Spec K, T=Spec L и L/K -- конечное расширение Галуа абстрактное данное спуска совпадает с данным спуска Галуа (идея: L\otimes_K L = \prod_{i}^{[L:K]} L).
Теперь я должен сказать в чём заключается утверждение плоского спуска. Для этого мне нужно определить понятие эффективности спуска. Данное спуска (F,\phi) называется эффективным, если существует объект G на S, что (F, \phi)\cong (p^*G, can) (Я не определил изоморфизм данных спуска, но его несложно восстановить самому). Все основные теоремы про строго плоский спуск заключаются в том, что на какой-то категории любое данное спуска эффективно.
Теорема: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на Qcoh(T) эффективно.
Более или менее, эта теорема нам говорит, что мы можем склеивать векторные расслоения (более общо, квази-когерентные пучки) локально в плоской топологии. Отсюда, например, следует крайне важный факт в основаниях этальной топологии, что Pic(X)=H^1_{Zar}(X,\O_X^*)=H^1_{et}(X,G_
Теорема: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на квази-аффинных T-схемах эффективно.
Что говорит эта теорема? Она говорит, что мы можем локально в плоской топологии клеить квази-аффинные схемы . То есть если у меня есть квази-аффинная T-схема f:X-->T (квази-аффинность значит, что морфизм f:X-->T является квази-аффинным морфизмом) с данным спуска, тогда эта схема на самом деле приходит как пулбэк схемы на S. Это потрясающе важная теорема, например, из неё следует такой хорошо-знакомый всем факт:
Следствие: Пусть G -- аффиная алгебраическая группа над схемой S, тогда множество G-торсоров над S в плоской/этальной/Зариской топологии находится в естественной биекцией с множеством H^1_{fl}(S,G)/H^1_{'et}(S,G)/H^1_{Zar}(S,G)
Естественный вопрос заключается в том, что происходит для произвольных T-cхем, эффективен ли спуск для них? Ответ -- нет, в общем случае спуск схем не всегда эффективен, но он эффективен во многих случаях. А именно, главная идея заключается в том, чтобы вместе со схемой спускать обильный пучок. В частности, мы будем всегда вынуждены ограничиваться квази-проективными схемами.
Теорема 1: Пусть p:T --> S строго плоский морфизм схем, тогда любое данное спуска на категории T-cхем с выбранным T-обильным пуском является эффективным.
Давайте расшифруем эту теорему. Она говорит, что если есть T-cхема f:X -->T и T-обильный пучок \L на X (в частности, X обязана быть квази-проективной схемой над T), тогда выбор T^2-изоморфизма схем \phi:p_1^*X --> p_2^*X и изоморфизма пучков \psi:q_1^*\L --> \phi^*q_2^* \L (где q_i:p_i^*X --> X -- естественная проекция) с естественным условием коцикла на \phi и "\phi-линейным" условием коцикла на \psi (детали опущены, но условно нам нужно обычное условие коцикла на \phi после отождествления всех расслоенных произведение X\times_T T^3 при помощи \phi) задаёт нам единственным образом S-cхему g:Y --> S и обильный S-пучок \N на Y, так что p^*(Y,N)\cong (X,L).
Эта теорема является главной теоремой про спуск схем, и все остальные (известные мне), так или иначе, сводятся к данной. Давайте сформулируем несколько "следcтвий":
Следствие 1: Пусть p: Spec L --> Spec K морфизм спектров полей, тогда данное спуска на категории квази-проективных схем всегда эффективно.
Идея доказательства: свести с помощью spreading-out техник к случаю конечного расширения L/K. Далее, в случае чисто несепарабельного расширения можно показать руками, что спуск всегда эффективен. Таким образом вопрос сводится к случаю сепарабельного расширения, увеличив поле, можно считать, что это расширение Галуа. В этом случае Следствие 1 действительно является следствием Теоремы, мы выберем любой обильный пучок L' и "усредним" его относительно действия группы Галуа, получив пучок L. Данное спуска на X продолжится на пару (X, L), и по теореме 1 этот спуск уже будет эффективен.
Куда более нетривиально следующее следствие:
Cледствие 2 Пусть p: Spec R' --> Spec R есть строго плоский морфизм двух колец дискретного нормирования, и пусть G -- гладкая отделимая групповая схема конечного типа на R', тогда любое данное спуска на G эффективно.
Доказательство этой теоремы изложено в книжке Neron Models, глава 6. Оно состоит из двух принципиально разных шагов: первый -- это доказать квази-проективность любой гладкой отделимой групповой схемы конечного типа над DVR, а именно, нужно доказать, что дополнение до любой R'-плотной S-аффиной подсхемы в G задаёт S-обильный дивизор на G и научиться строить такие подсхемы. Второй шаг заключается в том, чтобы имея такое описание обильных дивизоров, суметь вывести из эффективности спуска на общем слое эффективность над R'. Обозначим K':=Frac(R'), K:=Frac(R), тогда, грубо говоря, эффективность на общем слое позволяет нам найти там открытую аффиную плотную подсхему U_{K'}, такую что данное спуска на G_{K'} ограничивается на данное спуска на U_{K'}, а потом взять схемное замыкание G_{K'}-U_{K'} в G, которое задаст нам обильный дивизор с данным спуска, что позволит воспользоваться Теоремой 1, чтобы завершить доказательство. Проблема в том, что непонятно как контролировать замкнутый слой этого замыкания, поэтому действовать нужно немного иначе. Отмечу, что в случае, когда K'/K не является алгебраическим расширением, доказательство становится чрезвычайно техническим.
Посмотрев на Следствия 1 и 2, возникает естественный вопрос: Насколько важно иметь данное спуска для пары (X,\L) в Теореме 1? Можно ли заключить, что спуск всегда эффективен на категории квази-проективных схем? Ещё более оптимистический вопрос звучит следующим образом: А существует ли вообще пример схемы и данного спуска на ней, что этот спуск неэффективен?
Оказывается, что с первого взгляда дела обстоят настолько плохо, насколько это возможно. А именно, в следующем посту я приведу пример относительной нормальной проективной кривой над DVR и данного спуска на ней, такой что этот спуск неэффективен. Это даст пример схемы на которой спуск неэффективен, более того, в этом примере T-схема f:X -->T будет T-проективной. Это значит, что Теорема 1 -- это максимум из того, что мы можем доказать в общем случае. Однако перед тем как закончить мне нужно сказать про улучшение Теоремы 1 Артиным, которое условно говорит, что если немного увеличить категорию схем, то спуск всегда будет эффективным (по крайней мере если ограничиться конечно-представленными строго плоскими морфизмами), а значит всё не так уж плохо, как могло показаться на первый взгляд.
Теорема: Пусть f:T --> S есть строго-плоский конечно-представленный морфизм схем, тогда любое данное спуска на категории алгебраических пространств эффективно.
