|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2018-05-11 23:11:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Квази-когерентные пучки на (жёстко-)аналитических пространствах
В этом посте я хочу показать, что квази-когерентные пучки на жёстко-аналитических пространствах ведут себя не так, как можно было бы ожидать. Например, существуют квази-когерентные пучки на аффиноидных пространствах с ненулевыми старшими когомологиями. Кроме того, категория квази-когерентных пучков на жёстко-аналитических пространствах не замкнута относительно фильтрованных копределов (но это я покажу в одном из следующих постов). Следует отметить, что все конструкции применимы в случае комплесно аналитических пространств с некоторыми оговорками: аффинноидные пространства нужно заменить на Штейновы, Sp k< T> на открытый одномерный диск радиуса 1, и некоторые конструкции нужно делать чуть более аккуратно в комплексном случае, потому что в этом сеттинге нет явной биекции между алгебрами/конечными модулями и Штейновыми многообразиями/когерентными пучками на них.
Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве называется когерентным, если
1) существует допустимое открытое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X, такое что для каждого i\in I существуют натуральное число s_i с сюрьективным морфизмом f:\O_{U_i}^{s_i}-->F.
2) для любого допустимого открытого подмножества U\subset X и любого морфизма f:\O_U^t-->F ядро является пучком конечного типа (удовлетворяет пункту 1).
Замечание: Для определения когерентных пучков на комплексно-аналитических пространствах (или вообще на любых локально-окольцованных пространствах) нужно просто убрать везде из определения слово "допустимый" (проблема в случае жёстко-аналитических пространств заключается в том, что они не являются топологическими пространствами, а только G-топологизированными пространствами)
Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве Х называется квази-когерентным, если существует допустимое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X и индуктивная система когерентных пучков {F_{i,n}} на U_i для каждого i\in I, что F|_{U_i} изоморфен индуктивному пределу colim_n F_{i,n}.
В жёстко-аналитической геометрии существует две важные теоремы про когерентные пучки:
Теорема Киля: Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Х cуществует конечный А-модуль M, такой что F=M^~ (то есть F(Sp B)=B\otimes_A M для любой аффиноидной подобласти SpB \subset SpA)
Теорема Картана B/Тейта:Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Sp A старшие когомологии H^i(X,F)=0 для любого i>0.
Замечание: Теорема Киля не имеет аналогов в комплексном случае, теорема Тейта же верна в комплексной ситуации и называется просто теоремой Картана B.
Естественный вопрос:"верны ли аналоги этих теорем для квази-когерентных пучков?" (В случае потенциальной теоремы Киля для квази-когерентных пучков нужно убрать требование конечности для модуля М). По крайней мере мы знаем, что оба аналога верны в случае схем.
Оказывается, что ответ:"нет". На самом деле достаточно построить контрпример к теореме Картана B, потому что если посмотреть на доказательство Тейта своей теоремы, то можно увидеть, что на самом деле Тейт доказывает эту теорему для любого пучка вида M^{~} (важно, что в определении M^~ мы берём обычное тензорное произведение, а не пополненное!). Поэтому любой пучок \O_X-модулей на аффиноидном пространстве, для которого неверна теорема Картана B, автоматически не может быть вида M^~ для любого А-модуля M.
Давайте теперь построим пример такого пучка. Пусть X=Sp K< T> есть "единичный неархимедов шар" (в комплексном случае нужно брать открытый шар радиуса 1). И выберем две произвольные точки x,y\in X(K). Определим U':=X\{x} и U'':=X\{y} -- открытое допустимое покрытие пространства Х, и пусть U будет пересечением U'\cap U''.
Определим пучок F':=\sum_{i\in \Z} \O_{U'}a_i на U' и пучок F'':=\sum_{i\in \Z} \O_{U''}b_i на U'' и заметим, что оба пучка являются квази-когерентными как прямые суммы когерентных (когерентность структурного пучка \O в комплексном случае -- это содержательная теорема Ока. В жёстко-аналитическом случае это проще, но там неочевидно, что структурный "пучок" вообще является пучком. По модулю этого факта когерентность не так сложна).
Теперь чтобы склеить F' и F'' нужно задать их изоморфизм на пересечение U'\cap U''=U. Для этого выберем произвольную аналитическую функцию h на U с существенными особенностями в x и y (которая не продолжается до мероморфной в обе точки) и зададим два изоморфизма свободного пучка счётного ранга \sum_{n\in \Z}\O_U e_i с обоими ограничениями F'|_{U} и F''|_{U} следующим образом:
\phi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F'|_{U}, где
\phi/(e_{2m})=a_{2m}|_{U} и \phi(e_{2m+1})=a_{2m+1}|_{U}+he_{2m+2}|_{U}
\psi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F''|_{U}, где
\psi(e_{2m})=b_{2m}|_{U}+hb_{2m+1}|_{U} и \psi(e_{2m+1})=b_{2m+1}|_{U}.
Теперь мы можем склеить наши пучки F' и F'' на U по \phi\circ \psi^{-1} (очевидно, что f и g являются изоморфизмами), так как у нас покрытие из всего двух карт, поэтому нам не нужно проверять никакие условия коцикла. Обозначим эту склейку F' и F'' за F, который уже является пучком на X. Пучок F является квази-когерентным по определению, так как F|_{U'}=F' и F|_{U''}=F'' являются пределами когерентных пучков и покрытие {U',U''} является допустимым.
Теперь нам нужно показать, что у пучка F имеются старшие когомологии. Сведём задачу к вычислению глобальных сечений F, а именно рассмотрим точную последовательность:
0 --> F-T->F--> F/TF --> 0,
где первое отображение есть умножение на T (напомню, что T есть выбранная образующая в K< T>), это отображение очевидно инъективно (из локального описания F) и фактор равен пучку небоскрёбу в нуле, поэтому H^0(X, F/TF)\neq 0. Более того, мы имеем точную последовательность когомологий
H^0(X,F) --> H^0(X,F/TF)-->H^1(X,F),
поэтому чтобы доказать, что H^1(X,F) не равен нулю, достаточно доказать, что пучок F не имеет глобальных сечений! А это уже посильная задача. Но нам понадобится следующая техническая лемма:
Лемма: Пусть X нормальное (все локальные кольца нормальны) жёстко-аналитическое (или комплексно-аналитическое) пространство, V\subset X допустимое подмножество и G локально (то есть в каком-то допустимом открытом покрытии) изоморфен \sum_{i\in \Z} \O_X, тогда морфизм ограничения G(X) --> G(U) инъективен.
Доказательство: Я докажу это в жёстко-аналитическом случае. В комплесном случае аргумент можно адаптировать, по существу ничего не меняется.
Шаг 1: Свести к случае G=\O_X, нужно сначала показать, что достаточно работать локально, чтобы считать, что G=\sum_{i\in \Z} \O_X. Далее практически тавтологичный аргумент позволяет считать, что G=\O_X.
Шаг 2: Свести к случаю X=Sp A есть связный аффиноид и V=Sp B есть связная аффиноидная подобласть. Доказательство достаточно простое: выберем допустимое покрытие X аффиноидами, чтобы свести к случае аффиноида Х, потом выберем допустимое аффиноидное покрытие V, чтобы свести к случае аффиноидной подобласти. Повторим аргумент, чтобы добиться связности SpA и SpB.
Шаг 3: Доказать, что любой подаффиноидной области Sp B \subset Sp A канонический морфизм A-->B является плоским. Это стандартный факт в теории жёстко-аналитических (комплексных) пространств, это теорема 4.1/7 в книжке Bosch "Rigid and Formal Geometry".
Шаг 4: Доказать, что из нормальности Sp A (все локальные кольца A в смысле жёсткой геометрии) следует нормальность кольца А. Вкратце доказывается это следующим образом: A--нормально если и только если все локализации А в максимальных идеалах нормальны. Поэтому достаточно показать, что все локализации в максимальных идеалах A_{\m_x} нормальны (Идеал \m_x соответсвует точке x\in Sp A). Теорема Киля (другая) гарантирует нам превосходность всех локальных колец \O_{X,x}, а тогда теорема 23.9 из книжки Матсумуры "Commutative Ring Theory"+критерий нормальности Серра говорят нам, что \O_{X,x} нормально, если и только если его пополнение \O_{X,x}^ нормально. Но в теорема 4.1/2 книжки Bosch'a доказано, что \O_{X,x}^=A_{\m_x}^, воспользуемся ещё раз теоремой 23.9 из книжки матсумуры (зная нётеровость A_{\m_x} для любой аффиноидной алгебры А!), чтобы заключить нормальность A_{\m}.
Шаг 5: Конец аргумента. Из всех предыдущих шагов имеем, что Sp A -- связно => А без идемпотентов + нормально => область целостности. Морфизм A=\O_X(X)-->\O_X(V)=B плоский => инъективный, так как А не имеет делителей нуля. Победа.
Окей, теперь посчитаем глобальные сечения. Лемма гарантирует, что F(X)-->F(U) есть вложение. Поэтому достаточно показать, что все глобальные сечения F зануляются на U. Из построения F мы знаем, что F|_{U}=\sum_{i\in \Z} \O_U e_i, хочется сказать, что любое сечение F над U есть конечная линейная комбинация e_i'ых. Но тут есть небольшая проблема, так как мы берём бесконечную прямую сумму, то наивная конструкция прямой суммы не будет давать нам пучок и нам нужно пучковизовывать наивную конструкцию. Но также U не является квази-компактным жёстко-аналитическим пространством, поэтому априори непонятно почему любое сечение есть конечная линейная комбинация e_i'ых (например, это неверно для топологического пространства X:=\Z c дискретной топологией и набора пучков небоскрёбов в каждой точке \Z_n. Тогда (\sum_{\i \in \Z}\Z_n)(X)=\prod_{i\in \Z} \Z_n(X)!). Однако нас спасает наша Лемма! Выберем любой подаффинод V\subset U, тогда F(U)--> F(V) инъективен, а на F(V)=\sum_{i\in \Z} \O_V(V)e_i из-за нётеровости V/явной конструкции прямой суммы когерентных пучков на аффиноидном пространстве [этот шаг требует чуть другого аргумента в комплексном случае, который в свою очередь тоже основывается на Лемме выше]. Окей, таким образом мы всё-таки можем сказать, что любое сечение f\in F(U) есть конечная прямая сумма
f=\sum_{i=M}^N f_ie_{i}, где f_i\in \O_U(U).
Нужно понять какие ограничения на f_i накладывает условие, что f на самом деле есть глобальное сечение F.
С одной стороны мы знаем, что если f=g|_{U} для некоторого g\in F(X), тогда f=(g|_{U'})|_{U}, то есть ограничение какого-то сечения с U'. Но согласно нашему построению F (а точнее выбору \phi и \psi) это влечёт следующие условия:
* f_i аналитично в x при чётном i и f_i-hf_{i+1} аналитично в х при нечётном i.
Аналогичное рассуждение с заменой U' на U'' показывает, что у нас есть ещё одно условие на f_i. А именно,
* f_i-hf_{i+1} аналитично в y при чётном i и f_i аналитично в y при нечётном i.
Но теперь применим эти условия к i=M и i=M-1. Пусть M чётно, если оно нечётно аргумент ровно такой же с точность до замены x на y. Тогда первое условие для i=M влечёт аналитичность f_M в х. Первое же условие для i=M-1 уже влечёт аналитичность f_{M-1}-hf_M, но f_{M-1} равно 0 в силу выбора M! Следовательно hf_M тоже аналитично в x. Но это значит, что h=(hf_M)/f_M есть мероморфная функция в x, противоречие с выбором h!
Подытоживая всё сказанное выше, мы получаем, что H^1(X,F)\neq 0 и F не равен M^~ для любого А-модуля M!
В этом посте я хочу показать, что квази-когерентные пучки на жёстко-аналитических пространствах ведут себя не так, как можно было бы ожидать. Например, существуют квази-когерентные пучки на аффиноидных пространствах с ненулевыми старшими когомологиями. Кроме того, категория квази-когерентных пучков на жёстко-аналитических пространствах не замкнута относительно фильтрованных копределов (но это я покажу в одном из следующих постов). Следует отметить, что все конструкции применимы в случае комплесно аналитических пространств с некоторыми оговорками: аффинноидные пространства нужно заменить на Штейновы, Sp k< T> на открытый одномерный диск радиуса 1, и некоторые конструкции нужно делать чуть более аккуратно в комплексном случае, потому что в этом сеттинге нет явной биекции между алгебрами/конечными модулями и Штейновыми многообразиями/когерентными пучками на них.
Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве называется когерентным, если
1) существует допустимое открытое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X, такое что для каждого i\in I существуют натуральное число s_i с сюрьективным морфизмом f:\O_{U_i}^{s_i}-->F.
2) для любого допустимого открытого подмножества U\subset X и любого морфизма f:\O_U^t-->F ядро является пучком конечного типа (удовлетворяет пункту 1).
Замечание: Для определения когерентных пучков на комплексно-аналитических пространствах (или вообще на любых локально-окольцованных пространствах) нужно просто убрать везде из определения слово "допустимый" (проблема в случае жёстко-аналитических пространств заключается в том, что они не являются топологическими пространствами, а только G-топологизированными пространствами)
Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве Х называется квази-когерентным, если существует допустимое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X и индуктивная система когерентных пучков {F_{i,n}} на U_i для каждого i\in I, что F|_{U_i} изоморфен индуктивному пределу colim_n F_{i,n}.
В жёстко-аналитической геометрии существует две важные теоремы про когерентные пучки:
Теорема Киля: Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Х cуществует конечный А-модуль M, такой что F=M^~ (то есть F(Sp B)=B\otimes_A M для любой аффиноидной подобласти SpB \subset SpA)
Теорема Картана B/Тейта:Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Sp A старшие когомологии H^i(X,F)=0 для любого i>0.
Замечание: Теорема Киля не имеет аналогов в комплексном случае, теорема Тейта же верна в комплексной ситуации и называется просто теоремой Картана B.
Естественный вопрос:"верны ли аналоги этих теорем для квази-когерентных пучков?" (В случае потенциальной теоремы Киля для квази-когерентных пучков нужно убрать требование конечности для модуля М). По крайней мере мы знаем, что оба аналога верны в случае схем.
Оказывается, что ответ:"нет". На самом деле достаточно построить контрпример к теореме Картана B, потому что если посмотреть на доказательство Тейта своей теоремы, то можно увидеть, что на самом деле Тейт доказывает эту теорему для любого пучка вида M^{~} (важно, что в определении M^~ мы берём обычное тензорное произведение, а не пополненное!). Поэтому любой пучок \O_X-модулей на аффиноидном пространстве, для которого неверна теорема Картана B, автоматически не может быть вида M^~ для любого А-модуля M.
Давайте теперь построим пример такого пучка. Пусть X=Sp K< T> есть "единичный неархимедов шар" (в комплексном случае нужно брать открытый шар радиуса 1). И выберем две произвольные точки x,y\in X(K). Определим U':=X\{x} и U'':=X\{y} -- открытое допустимое покрытие пространства Х, и пусть U будет пересечением U'\cap U''.
Определим пучок F':=\sum_{i\in \Z} \O_{U'}a_i на U' и пучок F'':=\sum_{i\in \Z} \O_{U''}b_i на U'' и заметим, что оба пучка являются квази-когерентными как прямые суммы когерентных (когерентность структурного пучка \O в комплексном случае -- это содержательная теорема Ока. В жёстко-аналитическом случае это проще, но там неочевидно, что структурный "пучок" вообще является пучком. По модулю этого факта когерентность не так сложна).
Теперь чтобы склеить F' и F'' нужно задать их изоморфизм на пересечение U'\cap U''=U. Для этого выберем произвольную аналитическую функцию h на U с существенными особенностями в x и y (которая не продолжается до мероморфной в обе точки) и зададим два изоморфизма свободного пучка счётного ранга \sum_{n\in \Z}\O_U e_i с обоими ограничениями F'|_{U} и F''|_{U} следующим образом:
\phi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F'|_{U}, где
\phi/(e_{2m})=a_{2m}|_{U} и \phi(e_{2m+1})=a_{2m+1}|_{U}+he_{2m+2}|_{U}
\psi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F''|_{U}, где
\psi(e_{2m})=b_{2m}|_{U}+hb_{2m+1}|_{U} и \psi(e_{2m+1})=b_{2m+1}|_{U}.
Теперь мы можем склеить наши пучки F' и F'' на U по \phi\circ \psi^{-1} (очевидно, что f и g являются изоморфизмами), так как у нас покрытие из всего двух карт, поэтому нам не нужно проверять никакие условия коцикла. Обозначим эту склейку F' и F'' за F, который уже является пучком на X. Пучок F является квази-когерентным по определению, так как F|_{U'}=F' и F|_{U''}=F'' являются пределами когерентных пучков и покрытие {U',U''} является допустимым.
Теперь нам нужно показать, что у пучка F имеются старшие когомологии. Сведём задачу к вычислению глобальных сечений F, а именно рассмотрим точную последовательность:
0 --> F-T->F--> F/TF --> 0,
где первое отображение есть умножение на T (напомню, что T есть выбранная образующая в K< T>), это отображение очевидно инъективно (из локального описания F) и фактор равен пучку небоскрёбу в нуле, поэтому H^0(X, F/TF)\neq 0. Более того, мы имеем точную последовательность когомологий
H^0(X,F) --> H^0(X,F/TF)-->H^1(X,F),
поэтому чтобы доказать, что H^1(X,F) не равен нулю, достаточно доказать, что пучок F не имеет глобальных сечений! А это уже посильная задача. Но нам понадобится следующая техническая лемма:
Лемма: Пусть X нормальное (все локальные кольца нормальны) жёстко-аналитическое (или комплексно-аналитическое) пространство, V\subset X допустимое подмножество и G локально (то есть в каком-то допустимом открытом покрытии) изоморфен \sum_{i\in \Z} \O_X, тогда морфизм ограничения G(X) --> G(U) инъективен.
Доказательство: Я докажу это в жёстко-аналитическом случае. В комплесном случае аргумент можно адаптировать, по существу ничего не меняется.
Шаг 1: Свести к случае G=\O_X, нужно сначала показать, что достаточно работать локально, чтобы считать, что G=\sum_{i\in \Z} \O_X. Далее практически тавтологичный аргумент позволяет считать, что G=\O_X.
Шаг 2: Свести к случаю X=Sp A есть связный аффиноид и V=Sp B есть связная аффиноидная подобласть. Доказательство достаточно простое: выберем допустимое покрытие X аффиноидами, чтобы свести к случае аффиноида Х, потом выберем допустимое аффиноидное покрытие V, чтобы свести к случае аффиноидной подобласти. Повторим аргумент, чтобы добиться связности SpA и SpB.
Шаг 3: Доказать, что любой подаффиноидной области Sp B \subset Sp A канонический морфизм A-->B является плоским. Это стандартный факт в теории жёстко-аналитических (комплексных) пространств, это теорема 4.1/7 в книжке Bosch "Rigid and Formal Geometry".
Шаг 4: Доказать, что из нормальности Sp A (все локальные кольца A в смысле жёсткой геометрии) следует нормальность кольца А. Вкратце доказывается это следующим образом: A--нормально если и только если все локализации А в максимальных идеалах нормальны. Поэтому достаточно показать, что все локализации в максимальных идеалах A_{\m_x} нормальны (Идеал \m_x соответсвует точке x\in Sp A). Теорема Киля (другая) гарантирует нам превосходность всех локальных колец \O_{X,x}, а тогда теорема 23.9 из книжки Матсумуры "Commutative Ring Theory"+критерий нормальности Серра говорят нам, что \O_{X,x} нормально, если и только если его пополнение \O_{X,x}^ нормально. Но в теорема 4.1/2 книжки Bosch'a доказано, что \O_{X,x}^=A_{\m_x}^, воспользуемся ещё раз теоремой 23.9 из книжки матсумуры (зная нётеровость A_{\m_x} для любой аффиноидной алгебры А!), чтобы заключить нормальность A_{\m}.
Шаг 5: Конец аргумента. Из всех предыдущих шагов имеем, что Sp A -- связно => А без идемпотентов + нормально => область целостности. Морфизм A=\O_X(X)-->\O_X(V)=B плоский => инъективный, так как А не имеет делителей нуля. Победа.
Окей, теперь посчитаем глобальные сечения. Лемма гарантирует, что F(X)-->F(U) есть вложение. Поэтому достаточно показать, что все глобальные сечения F зануляются на U. Из построения F мы знаем, что F|_{U}=\sum_{i\in \Z} \O_U e_i, хочется сказать, что любое сечение F над U есть конечная линейная комбинация e_i'ых. Но тут есть небольшая проблема, так как мы берём бесконечную прямую сумму, то наивная конструкция прямой суммы не будет давать нам пучок и нам нужно пучковизовывать наивную конструкцию. Но также U не является квази-компактным жёстко-аналитическим пространством, поэтому априори непонятно почему любое сечение есть конечная линейная комбинация e_i'ых (например, это неверно для топологического пространства X:=\Z c дискретной топологией и набора пучков небоскрёбов в каждой точке \Z_n. Тогда (\sum_{\i \in \Z}\Z_n)(X)=\prod_{i\in \Z} \Z_n(X)!). Однако нас спасает наша Лемма! Выберем любой подаффинод V\subset U, тогда F(U)--> F(V) инъективен, а на F(V)=\sum_{i\in \Z} \O_V(V)e_i из-за нётеровости V/явной конструкции прямой суммы когерентных пучков на аффиноидном пространстве [этот шаг требует чуть другого аргумента в комплексном случае, который в свою очередь тоже основывается на Лемме выше]. Окей, таким образом мы всё-таки можем сказать, что любое сечение f\in F(U) есть конечная прямая сумма
f=\sum_{i=M}^N f_ie_{i}, где f_i\in \O_U(U).
Нужно понять какие ограничения на f_i накладывает условие, что f на самом деле есть глобальное сечение F.
С одной стороны мы знаем, что если f=g|_{U} для некоторого g\in F(X), тогда f=(g|_{U'})|_{U}, то есть ограничение какого-то сечения с U'. Но согласно нашему построению F (а точнее выбору \phi и \psi) это влечёт следующие условия:
* f_i аналитично в x при чётном i и f_i-hf_{i+1} аналитично в х при нечётном i.
Аналогичное рассуждение с заменой U' на U'' показывает, что у нас есть ещё одно условие на f_i. А именно,
* f_i-hf_{i+1} аналитично в y при чётном i и f_i аналитично в y при нечётном i.
Но теперь применим эти условия к i=M и i=M-1. Пусть M чётно, если оно нечётно аргумент ровно такой же с точность до замены x на y. Тогда первое условие для i=M влечёт аналитичность f_M в х. Первое же условие для i=M-1 уже влечёт аналитичность f_{M-1}-hf_M, но f_{M-1} равно 0 в силу выбора M! Следовательно hf_M тоже аналитично в x. Но это значит, что h=(hf_M)/f_M есть мероморфная функция в x, противоречие с выбором h!
Подытоживая всё сказанное выше, мы получаем, что H^1(X,F)\neq 0 и F не равен M^~ для любого А-модуля M!
