Пустой копредел не коммутирует с пустым пределом
Одно из важных свойств фильтрованных копределов -- это коммутирование с конечными пределами в категории множеств Sets.

Теорема: Пусть F:CxD --> Sets функтор, где C есть фильтрованная малая категория и G конечная категория. Тогда естественное отображение

colim_C lim_D F(c,d) --> lim_D colim_C F(c, d)

является изоморфизмом.

Это утверждение, например, полезно, чтобы проверять, что непрерывный морфизм сайтов D-->C, коммутирующий с конечными пределами, индуцирует морфизм топосов Shv(C)--> Shv(D) (отображение пулбэка f^-1 точно). Отмечу, что непрерывный морфизм сайтов не индуцирует морфизм топосов в общем случае (!).

В определении фильтрованной системы есть странное условие непустоты этой системы, я долго не мог понять зачем оно нужно. Оказывается, что без этого условия фильтрованные копределы не будут коммутировать с конечными пределами. А именно пустой копредел не будет коммутировать с пустым пределом (и только с ним!).

Действительно, предел по пустой диаграмме в любой категории есть просто финальный объект. Само определение предела влечёт, что для (единственного) функтора из пустой категории F:\emptyset--> C, lim_{\emptyset} F суть объект в C, что любой другой объект имеет ровно один морфизм в lim_{\emptyset} F. Финальный объект в Sets есть одноточечное множеств {*}.

Аналогично, копредел по пустой диаграмме colim_{\emptyset} F есть ни что иное, как начальный объект в категории С. В случае категории Sets это есть пустое множество \emptyset.

Тогда замечаем, что для пустой диаграммы F:\emptyset--> Sets отображение

colim lim FxF --> lim colim FxF есть естественное отображение

\emptyset --> {*}, которое очевидно не является изоморфизмом!