|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2017-08-10 21:25:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Несколько контрпримеров в теории групповых схем II
Продолжение вот этого поста .
Утверждение: Пусть G гладкая связная расщепимая разрешимая линейная алгебраическая группа над совершенным полем k, тогда G есть поляпрямое произведение максимального тора и связной гладкой унипотентной подгруппы (на самом деле унипотентного радикала).
Контрпример: Утверждение неверно для нерасщепимых разрешимых групп (такое случается только над несовершенными полями, и пример существует над произвольным несовершенным полем).
Пример такой же, как в прошлом пункте. Пусть k несовершенное полем и k'/k чисто несепарабельное расширение полей степени p. Рассмотрим ограничение скаляров Вейля G:=R_{k'/k}G_m. Это группа неприводимая, так как является открытой подсхемой в неприводимой схеме R_{k'/k}A^1_{k'}=A^{[k':k]}_k. А значит и связная. Кроме того эта группа гладкая по инфинитизимальному критерию гладкости. Кроме того, ограничение скаляров Вейля сохраняет аффинность схемы, так как оно коммутирует с замкнутыми вложениями и переводит A^n в A^{n[k':k]}. В итоге, G является гладкой, связной линейной алгебраической группой.
Рассмотрим естественный гомоморфизм G_m \to G, определённый на уровне R-точек как естественное вложение G_m(R)--> G_m(R\otimes_k k'). Это мономорфизм алгебраических групп над полем, значит замкнутое вложение. Обозначим фактор за G/G_m=:U. Я утверждаю, что U является унипотентной группой. Достаточно доказать, что U является группой p-кручения. Так как U гладкая, то это достаточно проверять на k_s-точках (для любой гладкой(!) схемы X точки X(k_s) плотны в X). Мы знаем, что U(k_s)=G(k_s)/G_m(k_s)=G_m(k_s\otimes_k k')/G_m(k_s)=(k_s\otimes_k k')^*/(k_s)^*. Заметим, что для любого элемента y\in (k_s\otimes_k k')* верно, что y^p\in (k_s)* (так как k'/k является чисто несепарабельным расширением степени p). Другими словами, для любой точки y\in U(k_s) мы имеем y^p=0, то есть U есть группа p-кручения, а значит U является унипотентной группой. Мы заключаем, что G является разрешимой группой, как расширение унипотентной группы (в частности, разрешимой) при помощи тора (в частности, расщепимой группы).
Осталось показать, что G не содержит ни одной гладкой связной унипотентной подгруппы. Доказательство аналогично доказательству последнего примера в предыдущем посте, где мы никак не использовали специфику поля характеристики 2 на этом этапе. Следовательно в G нет вообще никаких связных гладких унипотентных подгрупп, а значит эта группа не может быть полупрямым произведение унипотентной подгруппы и тора.
Утверждение: Пусть G редуктивная группа над полем k и f:G-g->G'-h->G'' композиция центральных изогений, тогда f также является центральной изогенией.
Контрпример: Утверждение неверно для нередуктивных групп. Пример существует над любым полем положительной характеристики.
Рассмотрим группу универхнетреугольных матриц 3x3 U_3 над полем характеристики p. Она содержит нормальную подгруппу изоморфную G_a (матрицы с единицами на диагоналях и ненулевых элементов в крайнем верхнем правом углу). Фактор по этой подгруппе изоморфен G_a\times G_a. Рассмотрим отображение Фробениуса на каждой из этих групп и соответсвуюшие ядра Фробениусов: Ker(Fr_{G_a})=\alpha_p, Ker(Fr_{G_a\times G_a})=\alpha_p \times \alpha_p и ker(Fr_{U_3}) есть некоторая конечная групповая схема ранга p^{dim U_3}=p^3. Следующая тройка точна
0 \to \alpha_p \to Ker_{U_3} \to \alpha_p \times \alpha_p \to 0. (*)
Действительно, эта последовательность получается применением Ker(Fr) к короткой точной тройке
0 \to G_a \to U_3 \to G_a\times G_a \to 0,
а значит (*) автоматически точна слева. Она также точна справа из соображения рангов. Заметим, что изогений Fr:U_3 \to U_3^(p) нецентральна (ядро не лежит в центре) в силу некоммутативности U_3, однако она раскладывается в композицию фактора U_3 по \alpha_p и фактора U_3/\alpha_p по Ker Fr_{U_3}/\alpha_p (изоморфно \alpha_p\times \alpha_p по доказанному выше). Осталось показать, что \alpha_p \times \alpha_p действительно центрально в U_3/\alpha_p. Это проверяется прямым вычислением на уровне R-точек (если бы я умел красиво писать матрицы в тифаретнике, то провёл бы эти вычисления тут).
Утверждение: Пусть G гладкая связная разрешимая линейная алгебраическая группа над полем k, B борелевская подгруппа и N подгруппа, нормальная в G. Тогда B\cap N есть борелевская подгруппа в N.
Контрпример: Утверждение неверно для ненормальных подгрупп.
Пусть G=GL_3, B стандартная борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц. Выберем базис {e_1,e_2,e_3} в k^3 и определим U как группу преобразований, сохраняющих вектора e_1 и e_2 на месте и посылающих e_3 в span(e_2,e_3). Пусть теперь N:=Z_G(U) будет централизатором U в G. Не самое приятное вычисление с матрицами показывает, что N состоит из матриц вида
(a,0,d)
(b,c,e)
(0,0,c).
То есть N есть связная, гладкая разрешимая (нормальная подгруппа из матриц c с=а) подгруппа размерности 5, в частности, она является борелевской подгруппой в самой себе. Однако N\cap B есть подгруппа матриц в N c b=0, а значит N\cap B не является борелевской подгруппой в N.
Утверждение: Пусть G редуктивная группа над полем k или произвольная линейная группа над полем характеристики 0, тогда ker Ad_G=Z_G, где Z_G есть центр G и Ad_G есть присоединённое действие G на своей алгебре Ли.
Контрпример: Утверждение неверно для нередуктивных групп в характеристике p. Пример существует над любом полем ненулевой характеристики.
Пусть k поле характеристики p>2 (cуществует аналог над полями характеристики 2, но он чуть сложнее)
Рассмотрим 2-коцикл b:G_a\times G_a \to G_a, определённый как b(x,y)=(x^{p^2}y^p-x^py^{p^2}). Явные вычисления (которые я опущу) показывают, что это действительно анти-коммутативный коцикл. Значит он задаёт центральное расширение G_a при помощи G_a c умножением
(x,y)(x',y')=(x+x'+b(y,y'),y+y'), обратным элементом вида (x,y)^{-1}=(-x,-y) и единицей (0,0). Заметим, что коцикл b не является симметрическим (так как он кососимметрический и char k \neq 2), а значит получившаяся группа G некоммутативна.
Однако, я утверждаю, что представление Ad_G:G-->GL(g) тривиально. Действительно, мы можем определить это представление на уровне R-точек следующим образом. Точка x\in G(R) переходит в автоморфизм сопряжения на x (это сопряжение корректно определено, так как G(R) точки естественным образом вкладываются в G(R[e]/e^2) точки) в G(R[e]/e^2)-точках, которые ограничиваются в G(R) точку единицей. То есть необходимо проверить, что для любой k-алгебры R сопряжение на (x,y) тривиально действует на точках вида (x'e,y'e), где x,x',y,y' \in R.
Давайте проверим
(x,y)(x'e,y'e)(-x,-y)=(x+x'e+b(y,y'e),y+y'e)
=(x'e+b(y+y'e,-y),y'e)=(x'e,y'e).
Действительно действие тривиально, а значит ker Ad_G=G\neq Z_G.
Утверждение: Пусть f:G\to G' центральная изогения, тогда системы корней G и G' изоморфны.
Контрпример: Утверждение неверно для нецентральных изогений (в характеристике 0 все изогении центральны).
Построим исключительную изогению над любым полем k характеристики 2. Пусть q=x_0^2+x_1x_2+...+x_{2n-1}x_{2n} стандартная невырожденная расщепимая квадратичная форма на векторном пространстве V c базисом {e_0,...,e_2n}. Напомним, что для нечётных m опрделение SO_m в характеристики 2 совпадает с наивным, а именно, SO(2n+1)=ker(det|_{O(q)}). Рассмотрим биленейную форму B_q(x,y):=q(x+y)-q(x)-q(y)=x_1y_2+x_2y_1+
g:SO_{2n+1}=SO(q) --> Sp(B')=Sp_{2n}.
Осталось показать, что g действительно является изогенией. Сначала посчитаем ядро, R-точки ядра состоят из R-линейных автоморфизмов V\otimes_k R, которые сохраняют q\otimes_k R, ограничиваюся на V\otimes R/e_0 eдиницией, и которые имеют единичный детерминант. Заметим, что это значит, что R-точки ядра должны действовать тривиально на e_i при i>0. Пусть A\in (ker g)(R) и пусть A(e_0)=a_0e_0+a_1e_1+...+a_{2n}e_{2n}. По определению det A=1, значит a_0. Кроме того, A должно сохранять q\otimes_k R, а значит
(x_0+a_1x_1+...a_{2n}x_{2n})^2+x_1x_2+..
Другими словами, a_i^2 должно быть равно 0. Обратно, заметим, что R-линейное преобразование V\otimes_k R, которое имеет вид
(1 ,0,...,0)
(a_1 ,1,...,0)
.
.
.
(a_{2n},0,..,1) с условием a_i^2=0 лежит в R-точках ядра g.
Таким образом, ker g=(\alpha_2)^{2n} -- конечная схема. Осталось проверить сюрьективность. Так как образ группы при гомоморфизме групп всегда замкнут, то достаточно доказать, что dim SO_{2n+1}=Sp_{2n}. Размерность SO_n равна n(n-1)/2, размерность Sp_{2n} равна 2n^2+n. Подставляем, получаем dim SO_{2n+1}=(2n+1)(2n)/2=2n^2+n=dim Sp_{2n}. А значит, g сюрьективно, и действительно является изогенией.
Однако, SO_{2n+1} имеет систему корней B_n, а Sp_{2n} --- С_n, и они неизоморфны при n>2.
Утверждение: Пусть G редуктивная группа над полем k, тогда функтор групповых автоморфизмов Aut_{G/k} представим схемой конечного типа над k.
Контрпример: Утверждение неверно для нередуктивных групп в характеристике p. В частности, оно неверно для G_a над любым полем характеристики p.
Пусть G=G_a над полем k характеристики p. Пусть функтор Aut_{G_a/k} представим cхемой X, заметим, что этот функтор коммутирует с фильтрованными пределами по аффинным схемам, то есть если дана система колец и R=\colim R_i, то Aut(G_a/R)=colim Aut(G_a/R_i). По критерию Гротендика (конец EGA IV_3 8.14.2) такая схема X обязательно локально конечно-представлена. Касательное пространство схемы локально-конечного типа есть конечномерное векторное пространство над k. С другой стороны касательное пространство к схеме в точке x\in X(k) —- это точки X(k[e]/e^2), которые ограничиваются в точку x\in X(k). То есть T_e Aut_{G_a/k}=Aut(A^1_{k[e]}/k[e]), которые ограничиваются в тождественный морфизм. Любой k[e]/e^2-линейный морфизм k[e][x] \to k[e][x] однозначно определяется тем, куда переходит х. Я утверждаю, что всё вида x \mapsto x+a_1*e*x^p+a_2*e*x^{p^2}+...+a_n*e*x^{p^n}
Продолжение вот этого поста .
Утверждение: Пусть G гладкая связная расщепимая разрешимая линейная алгебраическая группа над совершенным полем k, тогда G есть поляпрямое произведение максимального тора и связной гладкой унипотентной подгруппы (на самом деле унипотентного радикала).
Контрпример: Утверждение неверно для нерасщепимых разрешимых групп (такое случается только над несовершенными полями, и пример существует над произвольным несовершенным полем).
Пример такой же, как в прошлом пункте. Пусть k несовершенное полем и k'/k чисто несепарабельное расширение полей степени p. Рассмотрим ограничение скаляров Вейля G:=R_{k'/k}G_m. Это группа неприводимая, так как является открытой подсхемой в неприводимой схеме R_{k'/k}A^1_{k'}=A^{[k':k]}_k. А значит и связная. Кроме того эта группа гладкая по инфинитизимальному критерию гладкости. Кроме того, ограничение скаляров Вейля сохраняет аффинность схемы, так как оно коммутирует с замкнутыми вложениями и переводит A^n в A^{n[k':k]}. В итоге, G является гладкой, связной линейной алгебраической группой.
Рассмотрим естественный гомоморфизм G_m \to G, определённый на уровне R-точек как естественное вложение G_m(R)--> G_m(R\otimes_k k'). Это мономорфизм алгебраических групп над полем, значит замкнутое вложение. Обозначим фактор за G/G_m=:U. Я утверждаю, что U является унипотентной группой. Достаточно доказать, что U является группой p-кручения. Так как U гладкая, то это достаточно проверять на k_s-точках (для любой гладкой(!) схемы X точки X(k_s) плотны в X). Мы знаем, что U(k_s)=G(k_s)/G_m(k_s)=G_m(k_s\otimes_k k')/G_m(k_s)=(k_s\otimes_k k')^*/(k_s)^*. Заметим, что для любого элемента y\in (k_s\otimes_k k')* верно, что y^p\in (k_s)* (так как k'/k является чисто несепарабельным расширением степени p). Другими словами, для любой точки y\in U(k_s) мы имеем y^p=0, то есть U есть группа p-кручения, а значит U является унипотентной группой. Мы заключаем, что G является разрешимой группой, как расширение унипотентной группы (в частности, разрешимой) при помощи тора (в частности, расщепимой группы).
Осталось показать, что G не содержит ни одной гладкой связной унипотентной подгруппы. Доказательство аналогично доказательству последнего примера в предыдущем посте, где мы никак не использовали специфику поля характеристики 2 на этом этапе. Следовательно в G нет вообще никаких связных гладких унипотентных подгрупп, а значит эта группа не может быть полупрямым произведение унипотентной подгруппы и тора.
Утверждение: Пусть G редуктивная группа над полем k и f:G-g->G'-h->G'' композиция центральных изогений, тогда f также является центральной изогенией.
Контрпример: Утверждение неверно для нередуктивных групп. Пример существует над любым полем положительной характеристики.
Рассмотрим группу универхнетреугольных матриц 3x3 U_3 над полем характеристики p. Она содержит нормальную подгруппу изоморфную G_a (матрицы с единицами на диагоналях и ненулевых элементов в крайнем верхнем правом углу). Фактор по этой подгруппе изоморфен G_a\times G_a. Рассмотрим отображение Фробениуса на каждой из этих групп и соответсвуюшие ядра Фробениусов: Ker(Fr_{G_a})=\alpha_p, Ker(Fr_{G_a\times G_a})=\alpha_p \times \alpha_p и ker(Fr_{U_3}) есть некоторая конечная групповая схема ранга p^{dim U_3}=p^3. Следующая тройка точна
0 \to \alpha_p \to Ker_{U_3} \to \alpha_p \times \alpha_p \to 0. (*)
Действительно, эта последовательность получается применением Ker(Fr) к короткой точной тройке
0 \to G_a \to U_3 \to G_a\times G_a \to 0,
а значит (*) автоматически точна слева. Она также точна справа из соображения рангов. Заметим, что изогений Fr:U_3 \to U_3^(p) нецентральна (ядро не лежит в центре) в силу некоммутативности U_3, однако она раскладывается в композицию фактора U_3 по \alpha_p и фактора U_3/\alpha_p по Ker Fr_{U_3}/\alpha_p (изоморфно \alpha_p\times \alpha_p по доказанному выше). Осталось показать, что \alpha_p \times \alpha_p действительно центрально в U_3/\alpha_p. Это проверяется прямым вычислением на уровне R-точек (если бы я умел красиво писать матрицы в тифаретнике, то провёл бы эти вычисления тут).
Утверждение: Пусть G гладкая связная разрешимая линейная алгебраическая группа над полем k, B борелевская подгруппа и N подгруппа, нормальная в G. Тогда B\cap N есть борелевская подгруппа в N.
Контрпример: Утверждение неверно для ненормальных подгрупп.
Пусть G=GL_3, B стандартная борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц. Выберем базис {e_1,e_2,e_3} в k^3 и определим U как группу преобразований, сохраняющих вектора e_1 и e_2 на месте и посылающих e_3 в span(e_2,e_3). Пусть теперь N:=Z_G(U) будет централизатором U в G. Не самое приятное вычисление с матрицами показывает, что N состоит из матриц вида
(a,0,d)
(b,c,e)
(0,0,c).
То есть N есть связная, гладкая разрешимая (нормальная подгруппа из матриц c с=а) подгруппа размерности 5, в частности, она является борелевской подгруппой в самой себе. Однако N\cap B есть подгруппа матриц в N c b=0, а значит N\cap B не является борелевской подгруппой в N.
Утверждение: Пусть G редуктивная группа над полем k или произвольная линейная группа над полем характеристики 0, тогда ker Ad_G=Z_G, где Z_G есть центр G и Ad_G есть присоединённое действие G на своей алгебре Ли.
Контрпример: Утверждение неверно для нередуктивных групп в характеристике p. Пример существует над любом полем ненулевой характеристики.
Пусть k поле характеристики p>2 (cуществует аналог над полями характеристики 2, но он чуть сложнее)
Рассмотрим 2-коцикл b:G_a\times G_a \to G_a, определённый как b(x,y)=(x^{p^2}y^p-x^py^{p^2}). Явные вычисления (которые я опущу) показывают, что это действительно анти-коммутативный коцикл. Значит он задаёт центральное расширение G_a при помощи G_a c умножением
(x,y)(x',y')=(x+x'+b(y,y'),y+y'), обратным элементом вида (x,y)^{-1}=(-x,-y) и единицей (0,0). Заметим, что коцикл b не является симметрическим (так как он кососимметрический и char k \neq 2), а значит получившаяся группа G некоммутативна.
Однако, я утверждаю, что представление Ad_G:G-->GL(g) тривиально. Действительно, мы можем определить это представление на уровне R-точек следующим образом. Точка x\in G(R) переходит в автоморфизм сопряжения на x (это сопряжение корректно определено, так как G(R) точки естественным образом вкладываются в G(R[e]/e^2) точки) в G(R[e]/e^2)-точках, которые ограничиваются в G(R) точку единицей. То есть необходимо проверить, что для любой k-алгебры R сопряжение на (x,y) тривиально действует на точках вида (x'e,y'e), где x,x',y,y' \in R.
Давайте проверим
(x,y)(x'e,y'e)(-x,-y)=(x+x'e+b(y,y'e),y+y'e)
=(x'e+b(y+y'e,-y),y'e)=(x'e,y'e).
Действительно действие тривиально, а значит ker Ad_G=G\neq Z_G.
Утверждение: Пусть f:G\to G' центральная изогения, тогда системы корней G и G' изоморфны.
Контрпример: Утверждение неверно для нецентральных изогений (в характеристике 0 все изогении центральны).
Построим исключительную изогению над любым полем k характеристики 2. Пусть q=x_0^2+x_1x_2+...+x_{2n-1}x_{2n} стандартная невырожденная расщепимая квадратичная форма на векторном пространстве V c базисом {e_0,...,e_2n}. Напомним, что для нечётных m опрделение SO_m в характеристики 2 совпадает с наивным, а именно, SO(2n+1)=ker(det|_{O(q)}). Рассмотрим биленейную форму B_q(x,y):=q(x+y)-q(x)-q(y)=x_1y_2+x_2y_1+
g:SO_{2n+1}=SO(q) --> Sp(B')=Sp_{2n}.
Осталось показать, что g действительно является изогенией. Сначала посчитаем ядро, R-точки ядра состоят из R-линейных автоморфизмов V\otimes_k R, которые сохраняют q\otimes_k R, ограничиваюся на V\otimes R/e_0 eдиницией, и которые имеют единичный детерминант. Заметим, что это значит, что R-точки ядра должны действовать тривиально на e_i при i>0. Пусть A\in (ker g)(R) и пусть A(e_0)=a_0e_0+a_1e_1+...+a_{2n}e_{2n}. По определению det A=1, значит a_0. Кроме того, A должно сохранять q\otimes_k R, а значит
(x_0+a_1x_1+...a_{2n}x_{2n})^2+x_1x_2+..
Другими словами, a_i^2 должно быть равно 0. Обратно, заметим, что R-линейное преобразование V\otimes_k R, которое имеет вид
(1 ,0,...,0)
(a_1 ,1,...,0)
.
.
.
(a_{2n},0,..,1) с условием a_i^2=0 лежит в R-точках ядра g.
Таким образом, ker g=(\alpha_2)^{2n} -- конечная схема. Осталось проверить сюрьективность. Так как образ группы при гомоморфизме групп всегда замкнут, то достаточно доказать, что dim SO_{2n+1}=Sp_{2n}. Размерность SO_n равна n(n-1)/2, размерность Sp_{2n} равна 2n^2+n. Подставляем, получаем dim SO_{2n+1}=(2n+1)(2n)/2=2n^2+n=dim Sp_{2n}. А значит, g сюрьективно, и действительно является изогенией.
Однако, SO_{2n+1} имеет систему корней B_n, а Sp_{2n} --- С_n, и они неизоморфны при n>2.
Утверждение: Пусть G редуктивная группа над полем k, тогда функтор групповых автоморфизмов Aut_{G/k} представим схемой конечного типа над k.
Контрпример: Утверждение неверно для нередуктивных групп в характеристике p. В частности, оно неверно для G_a над любым полем характеристики p.
Пусть G=G_a над полем k характеристики p. Пусть функтор Aut_{G_a/k} представим cхемой X, заметим, что этот функтор коммутирует с фильтрованными пределами по аффинным схемам, то есть если дана система колец и R=\colim R_i, то Aut(G_a/R)=colim Aut(G_a/R_i). По критерию Гротендика (конец EGA IV_3 8.14.2) такая схема X обязательно локально конечно-представлена. Касательное пространство схемы локально-конечного типа есть конечномерное векторное пространство над k. С другой стороны касательное пространство к схеме в точке x\in X(k) —- это точки X(k[e]/e^2), которые ограничиваются в точку x\in X(k). То есть T_e Aut_{G_a/k}=Aut(A^1_{k[e]}/k[e]), которые ограничиваются в тождественный морфизм. Любой k[e]/e^2-линейный морфизм k[e][x] \to k[e][x] однозначно определяется тем, куда переходит х. Я утверждаю, что всё вида x \mapsto x+a_1*e*x^p+a_2*e*x^{p^2}+...+a_n*e*x^{p^n}
