|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2017-05-16 00:52:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Несколько контрпримеров в теории групповых схем.
Утверждение: Любая групповая схема G над полем нулевой характеристики гладкая.
Контрпример: Утверждение не верно в хар-ке p.
Рассмотрим пример \alpha_p:=Spec k[x]/x^p с естественной групповой структурой. Схема \alpha_p не гладкая, так как она не приведена.
Утверждение: Связная групповая схема над полем неприводима.
Контрпример: Утверждение неверно даже над DVR для плоских групповых схем.
Рассмотрим схему \mu_p=Spec Z_p[x]/(x^p-1), она не неприводима, так как x-1 делитель нуля. Однака эта схема связна, так как в кольце Z_p[x]/(x^p-1) нет идемпотентов.
Утверждение: Пусть G приведённая групповая схема над совершенным полем, тогда G гладкая.
Контрпример: Утверждение неверно над любым несовершенным полем.
Выберем a \in k-k^p, рассмотрим схему G:=Spec k[x_0, x_1, ..., x_{p-1}]/F, где F:=x_0^p+ax_1^p+...a^{p-1}x_{p-1}^p-1. Заметим, что G приведена и неприводима, так как F неприводимый многочлен. Действительно, F либо неприводим, либо является p-ой степенью. Второй вариант невозможен в силу выбора a. Покажем, что схема G не является геометрически приведённой, как следствие, она не является гладкой. Выберем b \in \bar k, такой что b^p=a, тогда над \bar k мы имеем
x_0^p+ax_1^p+...a^{p-1}x_{p-1}^p-1=(x_0+b
Проверим, что G дейсвительно является групповой схемой. По лемме Йонеды достаточно функториально по R определить структуру группы на G(R) для всех k-алгебр R. Обозначим расширение k(a^{1/p}) за k', тогда G(R)={x \in R':=k' \otimes_k R| Nm_{R'/R}(x)=1}. Элементы нормы 1 образуют группу, победа.
Утверждение: Пусть G групповая схема над полем, тогда G отделима.
Контрпример1: Утверждение неверно в случае плоских групповых схем.
Пусть S:=A^1_k, G -- аффинная прямая с двойной точкой в начале координат. G плоская над S, так как G покрывается двумя открытыми картами U и V, которые отображаются изоморфно на S. Более того, G имеет структуру групповой схемы над S. Действительно, G\times_S G=U\times_S U \cup V\times_S U \cup U\times_S V \cup V\times_S V. Заметим, что каждая часть в этом объединение канонически изоморфна S. Зададим отображение m:G\times_S G \to G, как единственное отображение, которое отображает первую и последнюю части изоморфно на U, а вторую и третью на V. Корректность этого определения следует непосредственно из построения и замечания, что U \cap V канонически изоморфно S\0.
Осталось проверить наличие единичного элемента и ассоциативность, все эти проверки довольно просты. Вероятно, я их позже запишу аккуратно.
Контрпример2: Утверждение неверно для групповых алгебраических пространств над полем.
Cм. следующий пункт.
Утверждение: Пусть G квази-отделимое групповое алгебраическое пространство над полем, тогда G есть групповая схема.
Контрпример:: Утверждение неверно для не квази-отделимых групповых алгебраических пространств.
Пусть k поле характеристики 0. Рассмотрим G:=A^1_k/\Z, где \Z действует на A^1_k сдвигами. Это действие свободное, значит оно задаёт этальное отношение эквивалентности. Следовательно, фактор A^1_k/\Z=G является алгебраическим пространством. Более того, на факторе имеется естественная групповая структура, индуцированная групповой структурой на A^1. Я утверждаю, что G не является схемой. Действительно, если G схема, то A^1 \to G есть этальный морфизм, следовательно G связная и гладкая (в частности, неприводимая) групповая схема. Более того, для любой открытой аффинной подсхемы \O_X(U) есть подкольцо в \Z инварианта поля частных A^1. То есть \O_X(U) вкладывается в инварианты k(x) относильно действия x \mapsto x+n. Cледовательно, \O_X(U)=k, то есть любая открытая аффинная подсхема G есть точка. Из связности G заключаем, что G=Spec k. Однако отображение A^1_k \to Spec k не этально.
Утверждение: Пусть G расщепимая разрешимая алгебраическая группа над совершенным полем k, а H подгруппа в G. Тогда H также расщепимая разрешимая группа.
Контрпример: Утверждение неверно над несовершенными полями.
Пусть k несоврешенное поле характеристики p и a\in k-k^p. Пусть G задана уравнением y^p=x-ax^p в G_a^2. Групповая структруа на G_a^2 индуцирует групповую структуру на G. Заметим, что над алгебраическим замыканием G изоморфно G_a. Действительно, пусть b^p=a, тогда
y^p=x-ax^p
(y-bx)^p=x, сделаем замену координат z=y-bx.
z^p=x.
Теперь определим F:k[z,x]/(z^p-x) --> k[t], где F(z)=t, F(x)=-t^p. Легко видеть, что F изоморфизм, а значит G_{\bar k} изоморфно как схема A^1_{\bar k} (в частности, G гладкая над k). Из классификации одномерных гладких алгебраических групп следует, что G_{\bar k} изоморфно A^1_{\bar k} как алгебраическая группа.
Покажем, что G не изоморфно G_a над k (это равносильно нерасщепимости G). Рассмотрим замыкание G' схемы G \subset P^2_{k}. Оно определено однородным уравнением Y^p=XZ^{p-1}-aX^p. Я утверждаю, что G' является регулярной (но не гладкой!) компактификацией схемы G, такой что G'\G является одной точкой с полем вычетов k(a^{1/p}). В силу единственности регулярной компактификации кривых, из этого будет следовать, что G неизоморфно A^1 на уровне схем.
Рассмотрим 3 стандартные карты на P^2_k, а именно, D_+(X), D_+(Y) и D_+(Z).
В D_+(Z) мы знаем, что G'\cap D_+(Z)=G. Выше мы проверили, что G гладкая, а значит и регулярная.
В D_+(Y) мы имеем G'=Spec k[x,z]/(1-xz^{p-1}-ax^p). В частности x обратим на G'\cap D_+(Y), значит G' \cap D_+(Y) \subset G'\cap D_+(X). Регулярность G'\cap D_Z(Z) мы уже проверили.
В D_+(X) мы имеем G'=Spec k[y,z]/(y^p-z^{p-1}-a)=:Spec A. Опять же, G' \cap D_+(X) \cap D_+(Z) \subset G'\cap D_+(Z), а значит регулярно. С другой стороны, (G'\cap D_+(X))-D+_(Z) задано уравнением Spec k[y,z]/(z,y^p-z^{p-1}-a)=Spec k[y]/(y^p-a)= Spec k(a^{1/p}). Проверим, что эта точка регулярная. Во-первых, dim G'=1 и zA максимальный идеал в A, z не является делителем нуля, значит ht z=1 => dim A_z =1 и z максимальный идеал в A_z. То есть A_z нётерово локальное кольцо размерности 1, в котором максимальный идеал главный, значит A_z DVR, в частности, регулярно.
В итоге мы доказали, что G' регулярная компактификация G такая, что единственная точка "на бесконечности" имеет поле вычетов k(a^{1/p}), значит G не изоморфна A^1 на уровне схем. В частности, G не изоморфна G_a над k.
Утверждение: Пусть G гладкая связная линейная алгебраическая группа над совершенным полем k, тогда G унирациональна.
Замечание: Утверждение остаётся верным над произвольным полем в случае редуктивной группы G (не путать с псевдо-редуктивными группами)
Контрпример: Утверждение неверно над несовершенными полями.
Рассмотрим групповую схему G над полем функциональным полем k(t) (k несовершенное поле хар-ки p), заданную уравнением y^p=x-tx^p в A^2_k. Рассуждения из предыдущего пункта показывают, что G есть гладкая линейная алгебраическая группа над k(t). Покажем, что G имеет ровно одну k(t) рациональную точку, а именно, G(k(t))={(0,0)}.
Продифференцировав решение y^p=x-tx^p, получаем что $dx=x^p$. Из соображений степени заключаем, что x\in k[t]. Для любого неприводимого многочлена q мы имеем pord_q(y)=ord_q(y^p)=ord_q(x-tx^p)=ord_q(x)
Предположим, что G унирационально, тогда из бесконечности поля k(t) следует, что G(k(t)) плотны в топологии Зарисски в G. G является схемой конечного типа над полем (в частности, Джекобсоновой) размерности 1, значит G содержит бесконечное число замкнутых точек. В частности, G(k(t)) не плотны. Противоречие.
Утверждение: Пусть G гладкая связная псевдоредуктивная линейная алгебраическая группа над совершенным полем k, тогда G редуктивная группа.
Контрпример: Утверждение неверно над несовершенными полями.
Пусть k сепарабельно замкнутое полем характеристики 2 и k':=k(a^{1/2}) чисто несепарабельное расширение степени 2. Рассмотрим ограничение скаляров Вейля G:=Res_{k'/k} G_m. Инфинитезимальный критерий гладкости говорит, что Res_{k'/k} G_m гладкая схема. Допустим, что унипотентный радикал не тривиален. То есть существует нетривиальная гладкая, связная, нормальная унипотентная подгруппа U в G. Для любой унипотентной группы в характеристике p существует n, такое что U(k) убивается умножением на p^n. Следовательно, U(k)\subset G[2^n](k), заметим, что G[2^n](k)=G_m[2^n](k')=\mu_{2^n}(k')={e}
Покажем, что G не является редуктивной. Рассмотрим отображение нормы Nm_{k'/k}:Res_{k'/k} G_m \to G_m, ядро U есть одномерная группа элементов нормы 1. Вычисления показывают, что U_{\bar k}^{red} изоморфна G_a (но сама подсхема U не гладкая, т.к. не геометрически приведённая), то есть унипотентный радикал G_{\bar k} нетривиален [to be added later].
Контрпример не является спецификой характеристики 2 или сепарабельной замкнутости k. Общий факт гласит, что ограничение скаляров Вейля сохраняет псевдоредуктивность, но не сохраняет редуктивность.
P.S. Пост будет обновляться, вероятно, когда-нибудь я научусь вставлять формулы в тифаретник и перепишу это в более читаемой форме.
Утверждение: Любая групповая схема G над полем нулевой характеристики гладкая.
Контрпример: Утверждение не верно в хар-ке p.
Рассмотрим пример \alpha_p:=Spec k[x]/x^p с естественной групповой структурой. Схема \alpha_p не гладкая, так как она не приведена.
Утверждение: Связная групповая схема над полем неприводима.
Контрпример: Утверждение неверно даже над DVR для плоских групповых схем.
Рассмотрим схему \mu_p=Spec Z_p[x]/(x^p-1), она не неприводима, так как x-1 делитель нуля. Однака эта схема связна, так как в кольце Z_p[x]/(x^p-1) нет идемпотентов.
Утверждение: Пусть G приведённая групповая схема над совершенным полем, тогда G гладкая.
Контрпример: Утверждение неверно над любым несовершенным полем.
Выберем a \in k-k^p, рассмотрим схему G:=Spec k[x_0, x_1, ..., x_{p-1}]/F, где F:=x_0^p+ax_1^p+...a^{p-1}x_{p-1}^p-1. Заметим, что G приведена и неприводима, так как F неприводимый многочлен. Действительно, F либо неприводим, либо является p-ой степенью. Второй вариант невозможен в силу выбора a. Покажем, что схема G не является геометрически приведённой, как следствие, она не является гладкой. Выберем b \in \bar k, такой что b^p=a, тогда над \bar k мы имеем
x_0^p+ax_1^p+...a^{p-1}x_{p-1}^p-1=(x_0+b
Проверим, что G дейсвительно является групповой схемой. По лемме Йонеды достаточно функториально по R определить структуру группы на G(R) для всех k-алгебр R. Обозначим расширение k(a^{1/p}) за k', тогда G(R)={x \in R':=k' \otimes_k R| Nm_{R'/R}(x)=1}. Элементы нормы 1 образуют группу, победа.
Утверждение: Пусть G групповая схема над полем, тогда G отделима.
Контрпример1: Утверждение неверно в случае плоских групповых схем.
Пусть S:=A^1_k, G -- аффинная прямая с двойной точкой в начале координат. G плоская над S, так как G покрывается двумя открытыми картами U и V, которые отображаются изоморфно на S. Более того, G имеет структуру групповой схемы над S. Действительно, G\times_S G=U\times_S U \cup V\times_S U \cup U\times_S V \cup V\times_S V. Заметим, что каждая часть в этом объединение канонически изоморфна S. Зададим отображение m:G\times_S G \to G, как единственное отображение, которое отображает первую и последнюю части изоморфно на U, а вторую и третью на V. Корректность этого определения следует непосредственно из построения и замечания, что U \cap V канонически изоморфно S\0.
Осталось проверить наличие единичного элемента и ассоциативность, все эти проверки довольно просты. Вероятно, я их позже запишу аккуратно.
Контрпример2: Утверждение неверно для групповых алгебраических пространств над полем.
Cм. следующий пункт.
Утверждение: Пусть G квази-отделимое групповое алгебраическое пространство над полем, тогда G есть групповая схема.
Контрпример:: Утверждение неверно для не квази-отделимых групповых алгебраических пространств.
Пусть k поле характеристики 0. Рассмотрим G:=A^1_k/\Z, где \Z действует на A^1_k сдвигами. Это действие свободное, значит оно задаёт этальное отношение эквивалентности. Следовательно, фактор A^1_k/\Z=G является алгебраическим пространством. Более того, на факторе имеется естественная групповая структура, индуцированная групповой структурой на A^1. Я утверждаю, что G не является схемой. Действительно, если G схема, то A^1 \to G есть этальный морфизм, следовательно G связная и гладкая (в частности, неприводимая) групповая схема. Более того, для любой открытой аффинной подсхемы \O_X(U) есть подкольцо в \Z инварианта поля частных A^1. То есть \O_X(U) вкладывается в инварианты k(x) относильно действия x \mapsto x+n. Cледовательно, \O_X(U)=k, то есть любая открытая аффинная подсхема G есть точка. Из связности G заключаем, что G=Spec k. Однако отображение A^1_k \to Spec k не этально.
Утверждение: Пусть G расщепимая разрешимая алгебраическая группа над совершенным полем k, а H подгруппа в G. Тогда H также расщепимая разрешимая группа.
Контрпример: Утверждение неверно над несовершенными полями.
Пусть k несоврешенное поле характеристики p и a\in k-k^p. Пусть G задана уравнением y^p=x-ax^p в G_a^2. Групповая структруа на G_a^2 индуцирует групповую структуру на G. Заметим, что над алгебраическим замыканием G изоморфно G_a. Действительно, пусть b^p=a, тогда
y^p=x-ax^p
(y-bx)^p=x, сделаем замену координат z=y-bx.
z^p=x.
Теперь определим F:k[z,x]/(z^p-x) --> k[t], где F(z)=t, F(x)=-t^p. Легко видеть, что F изоморфизм, а значит G_{\bar k} изоморфно как схема A^1_{\bar k} (в частности, G гладкая над k). Из классификации одномерных гладких алгебраических групп следует, что G_{\bar k} изоморфно A^1_{\bar k} как алгебраическая группа.
Покажем, что G не изоморфно G_a над k (это равносильно нерасщепимости G). Рассмотрим замыкание G' схемы G \subset P^2_{k}. Оно определено однородным уравнением Y^p=XZ^{p-1}-aX^p. Я утверждаю, что G' является регулярной (но не гладкой!) компактификацией схемы G, такой что G'\G является одной точкой с полем вычетов k(a^{1/p}). В силу единственности регулярной компактификации кривых, из этого будет следовать, что G неизоморфно A^1 на уровне схем.
Рассмотрим 3 стандартные карты на P^2_k, а именно, D_+(X), D_+(Y) и D_+(Z).
В D_+(Z) мы знаем, что G'\cap D_+(Z)=G. Выше мы проверили, что G гладкая, а значит и регулярная.
В D_+(Y) мы имеем G'=Spec k[x,z]/(1-xz^{p-1}-ax^p). В частности x обратим на G'\cap D_+(Y), значит G' \cap D_+(Y) \subset G'\cap D_+(X). Регулярность G'\cap D_Z(Z) мы уже проверили.
В D_+(X) мы имеем G'=Spec k[y,z]/(y^p-z^{p-1}-a)=:Spec A. Опять же, G' \cap D_+(X) \cap D_+(Z) \subset G'\cap D_+(Z), а значит регулярно. С другой стороны, (G'\cap D_+(X))-D+_(Z) задано уравнением Spec k[y,z]/(z,y^p-z^{p-1}-a)=Spec k[y]/(y^p-a)= Spec k(a^{1/p}). Проверим, что эта точка регулярная. Во-первых, dim G'=1 и zA максимальный идеал в A, z не является делителем нуля, значит ht z=1 => dim A_z =1 и z максимальный идеал в A_z. То есть A_z нётерово локальное кольцо размерности 1, в котором максимальный идеал главный, значит A_z DVR, в частности, регулярно.
В итоге мы доказали, что G' регулярная компактификация G такая, что единственная точка "на бесконечности" имеет поле вычетов k(a^{1/p}), значит G не изоморфна A^1 на уровне схем. В частности, G не изоморфна G_a над k.
Утверждение: Пусть G гладкая связная линейная алгебраическая группа над совершенным полем k, тогда G унирациональна.
Замечание: Утверждение остаётся верным над произвольным полем в случае редуктивной группы G (не путать с псевдо-редуктивными группами)
Контрпример: Утверждение неверно над несовершенными полями.
Рассмотрим групповую схему G над полем функциональным полем k(t) (k несовершенное поле хар-ки p), заданную уравнением y^p=x-tx^p в A^2_k. Рассуждения из предыдущего пункта показывают, что G есть гладкая линейная алгебраическая группа над k(t). Покажем, что G имеет ровно одну k(t) рациональную точку, а именно, G(k(t))={(0,0)}.
Продифференцировав решение y^p=x-tx^p, получаем что $dx=x^p$. Из соображений степени заключаем, что x\in k[t]. Для любого неприводимого многочлена q мы имеем pord_q(y)=ord_q(y^p)=ord_q(x-tx^p)=ord_q(x)
Предположим, что G унирационально, тогда из бесконечности поля k(t) следует, что G(k(t)) плотны в топологии Зарисски в G. G является схемой конечного типа над полем (в частности, Джекобсоновой) размерности 1, значит G содержит бесконечное число замкнутых точек. В частности, G(k(t)) не плотны. Противоречие.
Утверждение: Пусть G гладкая связная псевдоредуктивная линейная алгебраическая группа над совершенным полем k, тогда G редуктивная группа.
Контрпример: Утверждение неверно над несовершенными полями.
Пусть k сепарабельно замкнутое полем характеристики 2 и k':=k(a^{1/2}) чисто несепарабельное расширение степени 2. Рассмотрим ограничение скаляров Вейля G:=Res_{k'/k} G_m. Инфинитезимальный критерий гладкости говорит, что Res_{k'/k} G_m гладкая схема. Допустим, что унипотентный радикал не тривиален. То есть существует нетривиальная гладкая, связная, нормальная унипотентная подгруппа U в G. Для любой унипотентной группы в характеристике p существует n, такое что U(k) убивается умножением на p^n. Следовательно, U(k)\subset G[2^n](k), заметим, что G[2^n](k)=G_m[2^n](k')=\mu_{2^n}(k')={e}
Покажем, что G не является редуктивной. Рассмотрим отображение нормы Nm_{k'/k}:Res_{k'/k} G_m \to G_m, ядро U есть одномерная группа элементов нормы 1. Вычисления показывают, что U_{\bar k}^{red} изоморфна G_a (но сама подсхема U не гладкая, т.к. не геометрически приведённая), то есть унипотентный радикал G_{\bar k} нетривиален [to be added later].
Контрпример не является спецификой характеристики 2 или сепарабельной замкнутости k. Общий факт гласит, что ограничение скаляров Вейля сохраняет псевдоредуктивность, но не сохраняет редуктивность.
P.S. Пост будет обновляться, вероятно, когда-нибудь я научусь вставлять формулы в тифаретник и перепишу это в более читаемой форме.
