|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2017-11-18 00:28:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Контрпример к Seesaw principle в аффинном случае
При изучении абелевых многообразий важной технической леммой является, так называемый, Seesaw Principle.
Теорема: Пусть T целая схема и f:X --> T плоский собственный морфизм с геометрически целыми слоями и пускай L\in Pic(X) есть обратимый пучок. Тогда множество точек (не обязательно замкнутых) t\in T, таких что ограничение L|_{X_t} на слой t изоморфно \O_{X_t}, замкнуто. И, более того, если обозначить это замкнутое множество с приведённой схемной структурой за Z, то L|_{X_Z} изоморфно f^*N для некоторого (единственного) обратимого пучка N\in Pic(Z).
Сначала я должен сказать, что эта теорема несколько удивительна, потому что в ней фигурируют слои, а не геометрические слои. Как правило, чтобы иметь какие-то хорошие свойства P в семействах нужно обычно рассматривать выполнения свойства P на геометрических слоях. Например, как правило, для данного морфизма g:X --> Y множество точек, слои над которыми неприводимые/cвязные, неконструктивно. А в случае геометрической неприводимости/cвязности --- конструктивно.
[Давайте построим конкретный пример. Пусть k любое алгебраически замкнутое поле и X=V(X^2-T) \subset Spec k[X,T] из X имеется естественное отображение f:X --> A^1=Spec k[T]. Посчитаем слой над каждой замкнутой точкой a\in A^1(k), пусть b^2=a (такое b существует, так как k-- алгебраически замкнуто), тогда X_a=Spec k[X]/(X^2-a)=Spec (k[X]/(X-b)\times k[X]/(X+b)) есть несвязная схема, в частности приводимая. Но над общим слоем слой равен Spec k(T)[X]/(X^2-T). Эта схема неприводима, так как X^2-T есть неприводимый многочлен (так как степени 1 по T). Получаем, что X_t несвязная (значит и приводимая) схема над всеми замкнутыми точками, но неприводимая (значит и несвязная) над общей точкой. Если бы условие связность/приводимости слоёв было бы конструктивным условием, то это бы значило, что общая точка в A^1 является конструктивным подмножеством. Но это не так, например, потому что конструктивное подмножество, содержащее общую точку, должно содержать открытое подмножество. Обратим внимание на то, что геометрический слой над общей точкой равен Spec (\bar k(T))[X]/(X^2-T), и эта схема является несвязной, так как квадратный корень из T лежит в \bar k(T) (аргумент аналогичен аргументу над замкнутыми точками). То есть в данном конкретном случае геометрическая связность/неприводимость слоёв всё-таки является конструктивным условием. Ну и на самом деле всегда является. Это доказано в EGA IV_3, 9.7.7]
Возвращаясь к Seesaw principle, идеологическим обоснованием почему локус является хотя бы конструктивным является модифицированный аргумент из первой части вот этого поста . А именно, я утверждаю, что для любой геометрически целой собственной схемы над полем K группа Пикара Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes_K \bar K). В цитируемом выше тексте мы уже показали, что для любой собственной геометрически целой схемы X над полем K Pic(X) вкладывается в Pic(X \otimes_K K_{sep}). То есть, не нарушая общности, мы может можем предполагать, что X -- собственная геометрически целая схема над сепарабельно-замкнутым полем K. Далее, так как X геометрическая целая, то она геометрически приведённая, а значит имеет непустое открытое подмножество U \subset X, такое что U является гладкой схемой, но любая гладкая схема над сепарабельно замкнутым полем K имеет K-точку. Это позволяет нам сказать, что Pic_{X/K} представим и Pic_{X/K}(K')=Pic(X\otimes_K K') для любого расширения K'/K (см. FGA Explained, наличие точки критически важно для верности последнего равенства). Но для любой схемы Y мы имеем вложение Y(K) \to Y(\bar K). Применяя это соображение к Pic_{X/K}, получаем, что Pic(X) \to Pic(X\otimes \bar K) вложение. Таким образом, мы доказали, что для любой геометрически целой схемы собственной схемы X над полем K, Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes \bar K). Давайте теперь использовать это условие в нашем случае, f:X \to T является собственным морфизмом с геометрически целыми слоя, поэтому аргумент выше показывает, что требование тривиальности ограничения пучка L на слой X_t равносильно требованию тривиальности ограничения пучка L на геометрический слой X_t \otimes_{k(t)} \bar k(t). То есть условие на слои из теоремы на самом деле является геометрическим. Поэтому небезнадёжно ожидать, что этот локус хотя бы конструктивный.
Теперь я хотел бы объяснить контрпример в аффинном случае. Я построю гладкий морфизм f:X \to S гладких схем конечного типа \C и обратимый пучок L на S, такой что ограничение L на слой над общей точкой S будет нетривиально (не изоморфно структурному пучку слоя), но ограничение L на слои над всеми замкнутыми точками тривиально. Это повлечёт за собой неконструктивность локуса точек s\in S, таких что L|_{X_s}=O_{X_s}. Более того, в данном примере S будет гладкой кривой, а X одномерной групповой схемой над S с геометрически целыми слоями. Я буду делать всё над \C только потому, что это ярче демонстрирует разницу между алгебраической и аналитической геометриями в несобственном случае. Данную конструкцию можно проделать над любым алгебраически замкнутым полем (с некоторой осторожность в случае характеристики 2, которую я опустил в прошлом посте ).
Перейдём теперь непосредственно к примеру. Положим K:=\C(T), заметим, что K есть индуктивным пределом гладких конечно-порождённых \C-подалгебр, K=colim A_i с dim A_i=1 (каждое из A_i -- локализация C[X] в ненулевом элементе). Пусть G' есть форма G_m, построенная в прошлом посте . Тогда Pic(G')=Z/2Z, и пусть L' будет нетривиальным линейным расслоением на G. Стандартные техники 'spreading out', развитые в EGA IV_3 в главах 8, 9, 11, позволяют найти большое i, такое что G' определено над A_i (грубо говоря, G задана конечным числом уравнением, у них конечное число коэффициентов, поэтому все лежат в какой-то конечной алгебре A_i). Обозначим эту схему за G_i и для любого j>i положим G_j:=G_i \otimes_{A_i} A_j. Далее, увеличивая i, мы можем найти достаточно большое i, такое что морфизмы умножения, обратного элемента и нулевого сечения продолжаются на G_i, и эти отображения удовлетворяют всем необходимым условиям групповых операций. Другими словами, мы можем считать, что G_i групповая схема над Spec A_i. Кроме того, мы можем считать, что L' продолжается до обратимого пучка L_i на G_i. Более сложно показать, что мы можем выбрать i настолько большим, чтобы все слои G_i над Spec A_i были геометрическими целыми и морфизм f_i:G_i \to Spec A_i был гладким, но это так же доказано в EGA IV_3. Давайте я теперь скажу почему можно считать, что все слои G_i над Spec A_i являются торами. Так как G' -- тор, то существует конечное сепарабельное расширение K \subset L, такое что G изоморфно G_m. Применяя техники spreading out опять, мы можем продолжить морфизм Spec L \to Spec K до этального морфизма Spec B_i \to Spec A_i (как всегда, вероятно, после увеличения i). Далее мы имеем изоморфизм G\otimes L \to G_{m,L}, и мы можем продолжить его до G_i\otimes_{A_i} B_i \to G_{m,B_i} для большого i. Ограничивая этот морфизм на слои, получаем что cлой G_i над каждой точкой Spec A_i изоморфны G_m после этального расширения. Но все этальные расширения поля есть просто прямые суммы сепарабельных расширений этого поля. То есть получаем, что ограничение G_i на каждый слой Spec A_i становится изоморфным G_m после сепарабельного расширения полей, то есть все слои торы. Переобозначим теперь G_i за G, A_i за A и L_i за L.
Я утверждаю, что пара (f:G \to Spec A, L) противоречит Seesaw Principle. Так как dim A=1, то Spec A имеет два вида точек: одну общую точку y и замкнутые точки. Выберем любую замкнутую точку x\in Spec A_i, тогда поле вычетов k(x) есть конечное расширение \C, то есть равно \C. Тогда слой G_x:=G\otimes_A k(x) есть тор над \C, над алгебраически замкнутым полем существует ровно один тор, поэтому G_x=G_m, Pic(G_m)=0. Отсюда заключаем, что ограничение пучка L на G_x изоморфно структурному пучку \O_{G_x}. Однако над общем точкой мы имеем, что L|_y=L' по построению, поэтому L|_y=L' \in Pic(G') есть ненулевой элемент! Значит ограничение на общий слой пучка L нетривиально. Другими словами, локус точек, над которыми пучок L тривиален, является множеством замкнутых точек. Но это множество неконструктивно для одномерных схемах над полем (см. предыдущую часть)
При изучении абелевых многообразий важной технической леммой является, так называемый, Seesaw Principle.
Теорема: Пусть T целая схема и f:X --> T плоский собственный морфизм с геометрически целыми слоями и пускай L\in Pic(X) есть обратимый пучок. Тогда множество точек (не обязательно замкнутых) t\in T, таких что ограничение L|_{X_t} на слой t изоморфно \O_{X_t}, замкнуто. И, более того, если обозначить это замкнутое множество с приведённой схемной структурой за Z, то L|_{X_Z} изоморфно f^*N для некоторого (единственного) обратимого пучка N\in Pic(Z).
Сначала я должен сказать, что эта теорема несколько удивительна, потому что в ней фигурируют слои, а не геометрические слои. Как правило, чтобы иметь какие-то хорошие свойства P в семействах нужно обычно рассматривать выполнения свойства P на геометрических слоях. Например, как правило, для данного морфизма g:X --> Y множество точек, слои над которыми неприводимые/cвязные, неконструктивно. А в случае геометрической неприводимости/cвязности --- конструктивно.
[Давайте построим конкретный пример. Пусть k любое алгебраически замкнутое поле и X=V(X^2-T) \subset Spec k[X,T] из X имеется естественное отображение f:X --> A^1=Spec k[T]. Посчитаем слой над каждой замкнутой точкой a\in A^1(k), пусть b^2=a (такое b существует, так как k-- алгебраически замкнуто), тогда X_a=Spec k[X]/(X^2-a)=Spec (k[X]/(X-b)\times k[X]/(X+b)) есть несвязная схема, в частности приводимая. Но над общим слоем слой равен Spec k(T)[X]/(X^2-T). Эта схема неприводима, так как X^2-T есть неприводимый многочлен (так как степени 1 по T). Получаем, что X_t несвязная (значит и приводимая) схема над всеми замкнутыми точками, но неприводимая (значит и несвязная) над общей точкой. Если бы условие связность/приводимости слоёв было бы конструктивным условием, то это бы значило, что общая точка в A^1 является конструктивным подмножеством. Но это не так, например, потому что конструктивное подмножество, содержащее общую точку, должно содержать открытое подмножество. Обратим внимание на то, что геометрический слой над общей точкой равен Spec (\bar k(T))[X]/(X^2-T), и эта схема является несвязной, так как квадратный корень из T лежит в \bar k(T) (аргумент аналогичен аргументу над замкнутыми точками). То есть в данном конкретном случае геометрическая связность/неприводимость слоёв всё-таки является конструктивным условием. Ну и на самом деле всегда является. Это доказано в EGA IV_3, 9.7.7]
Возвращаясь к Seesaw principle, идеологическим обоснованием почему локус является хотя бы конструктивным является модифицированный аргумент из первой части вот этого поста . А именно, я утверждаю, что для любой геометрически целой собственной схемы над полем K группа Пикара Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes_K \bar K). В цитируемом выше тексте мы уже показали, что для любой собственной геометрически целой схемы X над полем K Pic(X) вкладывается в Pic(X \otimes_K K_{sep}). То есть, не нарушая общности, мы может можем предполагать, что X -- собственная геометрически целая схема над сепарабельно-замкнутым полем K. Далее, так как X геометрическая целая, то она геометрически приведённая, а значит имеет непустое открытое подмножество U \subset X, такое что U является гладкой схемой, но любая гладкая схема над сепарабельно замкнутым полем K имеет K-точку. Это позволяет нам сказать, что Pic_{X/K} представим и Pic_{X/K}(K')=Pic(X\otimes_K K') для любого расширения K'/K (см. FGA Explained, наличие точки критически важно для верности последнего равенства). Но для любой схемы Y мы имеем вложение Y(K) \to Y(\bar K). Применяя это соображение к Pic_{X/K}, получаем, что Pic(X) \to Pic(X\otimes \bar K) вложение. Таким образом, мы доказали, что для любой геометрически целой схемы собственной схемы X над полем K, Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes \bar K). Давайте теперь использовать это условие в нашем случае, f:X \to T является собственным морфизмом с геометрически целыми слоя, поэтому аргумент выше показывает, что требование тривиальности ограничения пучка L на слой X_t равносильно требованию тривиальности ограничения пучка L на геометрический слой X_t \otimes_{k(t)} \bar k(t). То есть условие на слои из теоремы на самом деле является геометрическим. Поэтому небезнадёжно ожидать, что этот локус хотя бы конструктивный.
Теперь я хотел бы объяснить контрпример в аффинном случае. Я построю гладкий морфизм f:X \to S гладких схем конечного типа \C и обратимый пучок L на S, такой что ограничение L на слой над общей точкой S будет нетривиально (не изоморфно структурному пучку слоя), но ограничение L на слои над всеми замкнутыми точками тривиально. Это повлечёт за собой неконструктивность локуса точек s\in S, таких что L|_{X_s}=O_{X_s}. Более того, в данном примере S будет гладкой кривой, а X одномерной групповой схемой над S с геометрически целыми слоями. Я буду делать всё над \C только потому, что это ярче демонстрирует разницу между алгебраической и аналитической геометриями в несобственном случае. Данную конструкцию можно проделать над любым алгебраически замкнутым полем (с некоторой осторожность в случае характеристики 2, которую я опустил в прошлом посте ).
Перейдём теперь непосредственно к примеру. Положим K:=\C(T), заметим, что K есть индуктивным пределом гладких конечно-порождённых \C-подалгебр, K=colim A_i с dim A_i=1 (каждое из A_i -- локализация C[X] в ненулевом элементе). Пусть G' есть форма G_m, построенная в прошлом посте . Тогда Pic(G')=Z/2Z, и пусть L' будет нетривиальным линейным расслоением на G. Стандартные техники 'spreading out', развитые в EGA IV_3 в главах 8, 9, 11, позволяют найти большое i, такое что G' определено над A_i (грубо говоря, G задана конечным числом уравнением, у них конечное число коэффициентов, поэтому все лежат в какой-то конечной алгебре A_i). Обозначим эту схему за G_i и для любого j>i положим G_j:=G_i \otimes_{A_i} A_j. Далее, увеличивая i, мы можем найти достаточно большое i, такое что морфизмы умножения, обратного элемента и нулевого сечения продолжаются на G_i, и эти отображения удовлетворяют всем необходимым условиям групповых операций. Другими словами, мы можем считать, что G_i групповая схема над Spec A_i. Кроме того, мы можем считать, что L' продолжается до обратимого пучка L_i на G_i. Более сложно показать, что мы можем выбрать i настолько большим, чтобы все слои G_i над Spec A_i были геометрическими целыми и морфизм f_i:G_i \to Spec A_i был гладким, но это так же доказано в EGA IV_3. Давайте я теперь скажу почему можно считать, что все слои G_i над Spec A_i являются торами. Так как G' -- тор, то существует конечное сепарабельное расширение K \subset L, такое что G изоморфно G_m. Применяя техники spreading out опять, мы можем продолжить морфизм Spec L \to Spec K до этального морфизма Spec B_i \to Spec A_i (как всегда, вероятно, после увеличения i). Далее мы имеем изоморфизм G\otimes L \to G_{m,L}, и мы можем продолжить его до G_i\otimes_{A_i} B_i \to G_{m,B_i} для большого i. Ограничивая этот морфизм на слои, получаем что cлой G_i над каждой точкой Spec A_i изоморфны G_m после этального расширения. Но все этальные расширения поля есть просто прямые суммы сепарабельных расширений этого поля. То есть получаем, что ограничение G_i на каждый слой Spec A_i становится изоморфным G_m после сепарабельного расширения полей, то есть все слои торы. Переобозначим теперь G_i за G, A_i за A и L_i за L.
Я утверждаю, что пара (f:G \to Spec A, L) противоречит Seesaw Principle. Так как dim A=1, то Spec A имеет два вида точек: одну общую точку y и замкнутые точки. Выберем любую замкнутую точку x\in Spec A_i, тогда поле вычетов k(x) есть конечное расширение \C, то есть равно \C. Тогда слой G_x:=G\otimes_A k(x) есть тор над \C, над алгебраически замкнутым полем существует ровно один тор, поэтому G_x=G_m, Pic(G_m)=0. Отсюда заключаем, что ограничение пучка L на G_x изоморфно структурному пучку \O_{G_x}. Однако над общем точкой мы имеем, что L|_y=L' по построению, поэтому L|_y=L' \in Pic(G') есть ненулевой элемент! Значит ограничение на общий слой пучка L нетривиально. Другими словами, локус точек, над которыми пучок L тривиален, является множеством замкнутых точек. Но это множество неконструктивно для одномерных схемах над полем (см. предыдущую часть)
