Ну расскажите мне, как опирается на эксперимент парадокс близнецов?
Не, может я идиот, но я не понимаю, как доказательство неверности теории может использоваться её апологетами в качестве доказательства своей правоты?

Почему время отстаёт именно на движущемся объекте?

Если я верно понял, о чем Вы говорите, то по условию - один близнец ускоряется. :)
Его система отсчета перестанет быть инерциальной, и он это прочувствует на себе вполне предметно, когда его расплющит по креслу перегрузкой.

А если ускоряются оба, то и разницы между ними никакой.

Математику всего этого дела я расписывать тут не буду - шибко не удобно тут. Но там ничего особо хитрого не было.

Ну да, конечно.
Один близнец ускоряется до околосветовой, и тут же возвращается обратно.
Второй близнец ускоряется до околосветовой и летит. Долго. Через 100 лет возвращается.
Кто из них постареет больше?

С самолётами. Два самолёта взлетают одновременно. Один сразу садится. Второй летает долго и опять садится. У какого самолёта часы отстанут, если взлетали и садились они по одинаковым траеткториям, а следовательно, никакой разницы в инерциальности систем нет?

Математика-то не хитрая.
Теория какая-то кривая.

Второй. А в чем тут проблемы? Моменты ускорений зависят от "программы полета".
Ессно, что и течение времени будет зависеть. Посмотрите на формулы - прикиньте.

Чего тут сложного?

Когда самолёт летит - он летит без ускорения. Ускорения - они при взлёте и посадке. Взлёт и посадка первого и второго самолёта идентичны.

Первый самолёт:
/^\
второй самолёт:
/^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^\

Отличие только в том, что второй самолёт движется, а первый - нет. Время отстаёт на том, который движется.

Что не так в вышенаписанном?

Прямые эксперименты - тоже были. Так что, таки да: опирается.